自动控制原理第八部分非线性控制系统分析

1、自动控制原理第八部分自动控制原理第八部分非线性控制系统分析非线性控制系统分析 8.1 8.1 非线性控制系统概述非线性控制系统概述 8.2 8.2 常见非线性特性及其对系统运常见非线性特性及其对系统运动的影响动的影响 8.3 8.3 相平面法相平面法 8.4 8.4 描述函数法描述函数法什么是线性？什么是线性？满足线性叠加原理的系统称满足线性叠加原理的系统称线性系统线性系统。例如：例如： 若若 是方程的解，有是方程的解，有也是方程（也是方程（1 1）的解）的解, , 则方程为线性系统，例如：则方程为线性系统，例如：否则为否则为非线性系统非线性系统。8.1 8.1 非线性控制系统概述非线性控制系

2、统概述),(txfdtdx)(),(tx tx21)()(txtx218.1.1 8.1.1 研究非线性系统的方法研究非线性系统的方法 实际的控制系统：实际的控制系统：线性；线性；非线性。非线性。baxtxf),(局限性局限性：不能成为通用方法。：不能成为通用方法。用相平面法虽然能够获得系统的全部特征，如稳定性、用相平面法虽然能够获得系统的全部特征，如稳定性、过渡过程等，但大于三阶的系统无法应用。李亚普诺夫法则仅限于分析系统的绝对过渡过程等，但大于三阶的系统无法应用。李亚普诺夫法则仅限于分析系统的绝对稳定性问题，而且要求非线性元件的特性满足一定条件。现有成果：稳定性问题，而且要求非线性元件的特

3、性满足一定条件。现有成果：如频率域的波如频率域的波波夫判据，广义圆判据，输入输出稳定性理论等。目前处于发展阶段，远非完善。波夫判据，广义圆判据，输入输出稳定性理论等。目前处于发展阶段，远非完善。 分析非线性系统的主要方法有：分析非线性系统的主要方法有： 描述函数法描述函数法; ; 相平面法相平面法; ; 李雅普诺夫法李雅普诺夫法线性系统通常是非线性系统在一定范围的近似。线性系统通常是非线性系统在一定范围的近似。 2. 系统的稳定性和输出响应不仅与系统的结构和参数有关（与线性系统相系统的稳定性和输出响应不仅与系统的结构和参数有关（与线性系统相同），还与系统的初始条件及输入信号的形式和大小有关。同

4、），还与系统的初始条件及输入信号的形式和大小有关。8.1.2 8.1.2 非线性系统的特点非线性系统的特点1.1.不能应用叠加原理不能应用叠加原理 3. 3.当输入量为正弦函数时，输出的稳态分量则往往是包含有高次谐波分量当输入量为正弦函数时，输出的稳态分量则往往是包含有高次谐波分量的非正弦函数。而且还可能发生一些线性系统不会遇到的现象：的非正弦函数。而且还可能发生一些线性系统不会遇到的现象： 跳跃谐振：输入的跳跃谐振：输入的 连续变化，输出的幅连续变化，输出的幅值和相位在某点发生突变。值和相位在某点发生突变。 倍频振荡或分频振荡：输出的频率可能是输倍频振荡或分频振荡：输出的频率可能是输入频率的

5、整数倍或反之）。入频率的整数倍或反之）。 频率捕捉：在一定的条件下，自振荡频率可频率捕捉：在一定的条件下，自振荡频率可能会被外加信号的频率所改变。能会被外加信号的频率所改变。 4. 4.在无外加作用的情况下，可能会产生具有一定频率和振幅的稳定的等幅在无外加作用的情况下，可能会产生具有一定频率和振幅的稳定的等幅振荡，称为振荡，称为自激振荡或极限环自激振荡或极限环（可观察到（可观察到) ) 。（线性系统只有在临界稳定的情。（线性系统只有在临界稳定的情况下，才产生极限环，且不稳定，不能观察到。）况下，才产生极限环，且不稳定，不能观察到。）8.2 8.2 常见非线性特性及其对系统运动的影响常见非线性特

6、性及其对系统运动的影响 在一个控制系统中在一个控制系统中, ,包含有一个以上的非线性元件，包含有一个以上的非线性元件， 就构成了非线性系统。就构成了非线性系统。 控制系统中的典型非线性特性有：控制系统中的典型非线性特性有：来源：来源：放大器的饱和输出特性、磁饱和、元件的行程限制、功率放大器的饱和输出特性、磁饱和、元件的行程限制、功率限制等等。限制等等。8.2.1 8.2.1 饱和特性饱和特性对系统的影响：对系统的影响： (1)(1)在大信号作用下，等效传递系数下降在大信号作用下，等效传递系数下降跟踪误差跟踪误差 ，响应时间，响应时间 ，稳态误差稳态误差 。(2)(2)可能使振荡减弱。可能使振荡

7、减弱。(3)(3)可利用饱和特性来保护系统或元件的安全运行。可利用饱和特性来保护系统或元件的安全运行。图图8-1 8-1 饱和特性饱和特性xya-a斜率斜率k0饱和非线性的输入输出关系及数学表达式如下：饱和非线性的输入输出关系及数学表达式如下：(8-1)(8-1)axkaaxkxaxkay8.2.2 8.2.2 死区（不灵敏区）特性死区（不灵敏区）特性 图图8-2 8-2 死区特性死区特性-0斜率斜率kxy死区非线性的输入输出关系及数学表达式如下：死区非线性的输入输出关系及数学表达式如下：(8-2)(8-2)xsignxxkxy)(0特征：特征：当输入信号在零位附近变化时，系统当输入信号在零位

8、附近变化时，系统没有输出。当输入信号大于某一数值时才有没有输出。当输入信号大于某一数值时才有输出，且与输入呈线性关。输出，且与输入呈线性关。对系统的影响：对系统的影响： （1 1）使系统产生稳态误差）使系统产生稳态误差 （尤其是测量元件）。（尤其是测量元件）。 （2 2）可能会提高系统的抗干扰能力或减少振荡性。）可能会提高系统的抗干扰能力或减少振荡性。来源：来源：各类液压阀的正重叠量；系统的库伦摩擦；测量变送装置的不灵敏区；调各类液压阀的正重叠量；系统的库伦摩擦；测量变送装置的不灵敏区；调节器和执行机构的死区；弹簧预紧力等。节器和执行机构的死区；弹簧预紧力等。8.2.3 8.2.3 间隙（滞环

9、）特性间隙（滞环）特性图图8-3 8-3 滞环特性滞环特性0yxh-h斜率斜率k其输入输出关系及数学表达式如下：其输入输出关系及数学表达式如下：(8-3)(8-3)0)(0)(0)(y x sgncyhxkyhxky特征：特征：元件开始运动元件开始运动 输入信号输入信号hhh以后，输出随输入线性变化。以后，输出随输入线性变化。元件反向运动元件反向运动 保持在运动方向发生变化瞬间的输出值；保持在运动方向发生变化瞬间的输出值； 输入反向变化输入反向变化2h2h，输出随输入线性变化。，输出随输入线性变化。 造成的影响：造成的影响：间隙间隙输出相位滞后，减小稳定性裕量，动特性变坏输出相位滞后，减小稳定

10、性裕量，动特性变坏自持振荡。自持振荡。所以应尽量避免或减小。所以应尽量避免或减小。来源：来源：传动机构的间隙传动机构的间隙：齿轮传动中的齿隙；齿轮传动中的齿隙；液压传动中的油隙。液压传动中的油隙。8.2.4 8.2.4 继电特性继电特性(8-4)(8-4)图图8-4 8-4 继电特性继电特性0-MMyx其输入输出关系及数学表达式如下：其输入输出关系及数学表达式如下：00 xMxMy来源：来源：继电器是继电特性的典型元件。继电器是继电特性的典型元件。造成的影响造成的影响: :(1(1）改善系统性能，简化系统结构。（）改善系统性能，简化系统结构。（2 2）可能会产生自激振荡，使）可能会产生自激振荡

11、，使系统不稳定或稳态误差增大。系统不稳定或稳态误差增大。其他继电特性还有其他继电特性还有： 在非线性系统中，一些更复杂的非线性特在非线性系统中，一些更复杂的非线性特性，其中有些可看成是上述典型特性的不同性，其中有些可看成是上述典型特性的不同组合。组合。0yx-MM-hh图图8-5 8-5 滞环滞环 + + 继电继电0yx-MM-图图8-6 8-6 死区死区 + + 继电继电0yx-MM-图图8-7 8-7 死区死区 + + 滞环滞环 + + 继电继电8.3 8.3 相平面法相平面法 相平面法是一种求解一、二阶常微分方程的图解法相平面法是一种求解一、二阶常微分方程的图解法, ,即二维状态空间法。

12、这即二维状态空间法。这种方法的实质是将系统的运动过程形象地转化为相平面上一个点的移动种方法的实质是将系统的运动过程形象地转化为相平面上一个点的移动, , 通过通过研究这个点移动的轨迹研究这个点移动的轨迹, , 就能获得系统运动规律的全部信息就能获得系统运动规律的全部信息. . 相平面法可以用来分析一、二阶线性或非线性系统的稳定性、平衡位置、相平面法可以用来分析一、二阶线性或非线性系统的稳定性、平衡位置、时间响应、稳态精度以及初始条件和参数对系统运动的影响时间响应、稳态精度以及初始条件和参数对系统运动的影响.式中式中, , 是是 的线性或非线性函数的线性或非线性函数.),(xxf)(),(txt

13、x),(xxfx (8-8)(8-8)设二阶系统的常微分方程如下：设二阶系统的常微分方程如下：8.3.1 相平面法的基本概念相平面法的基本概念 由微分方程的理论可知，只要由微分方程的理论可知，只要 是解析的，那么在给是解析的，那么在给定的初始条件下，方程的定的初始条件下，方程的解是唯一的解是唯一的。这个唯一的解可以写成时间解的形式这个唯一的解可以写成时间解的形式x(t), 也可以写成以也可以写成以t为参变量的形式，用为参变量的形式，用 这个这个 来表示。来表示。),(xxf)(xfx tx(t)图图8-8 方程的解方程的解xx 3.3.相平面图：相平面及其上的相轨迹族组成的图形称为系统相平面图

14、：相平面及其上的相轨迹族组成的图形称为系统 的的相平面图相平面图。它表示系统在各种初始条件下的。它表示系统在各种初始条件下的 运动过程。运动过程。2.2.相平面相平面: : 平面称为平面称为相平面相平面。对于一个系统，初始条件。对于一个系统，初始条件 不同时，其方程的解也不同。因而针对不同的初不同时，其方程的解也不同。因而针对不同的初始条件，可以绘出不同的相轨迹。始条件，可以绘出不同的相轨迹。若以各种可能的状态作为初始条件，则可得到一组相轨迹族。若以各种可能的状态作为初始条件，则可得到一组相轨迹族。xx1.1.相轨迹：如果我们取相轨迹：如果我们取 x 和和 作为平面的直角坐标，则作为平面的直角

15、坐标，则系统在每一时刻的系统在每一时刻的 均相应于平面上的一点。当均相应于平面上的一点。当 t t 变化时，变化时， 这一这一 点点在在 平面上将绘出一条相应的轨迹平面上将绘出一条相应的轨迹-相轨迹相轨迹。它描述系统的运动过程。它描述系统的运动过程。x ),(xx xx二阶系统微分方程：二阶系统微分方程： 两个独立变量：两个独立变量：位置量位置量速度量速度量构成相平面构成相平面 为相变量。给定初始条件为相变量。给定初始条件 相变量相变量在相平面上的在相平面上的运动坐标轨迹称为运动坐标轨迹称为相轨迹相轨迹。 x xxx ,00)0()0(xxxx xx , x x 0 相平面相平面 ),(00

16、xx 相轨迹相轨迹 ),(xxfx 相平面分析方法相平面分析方法: : 由于相平面图表示了系统在各种初始条件下的运动过程，因而，只要绘出由于相平面图表示了系统在各种初始条件下的运动过程，因而，只要绘出了系统的相平面图，就可以用它来分析：了系统的相平面图，就可以用它来分析：3 3）稳态误差。）稳态误差。下面举二个例子进行说明：下面举二个例子进行说明：1 1）系统的稳定性；）系统的稳定性；2 2）瞬态响应性能；）瞬态响应性能；例例8-18-1. .设系统的微分方程为：设系统的微分方程为：0 xxx 图中的箭头表示系统的图中的箭头表示系统的状态沿相轨迹的移动方向。状态沿相轨迹的移动方向。 其相平面图

17、如右图所示其相平面图如右图所示（绘制方法在下节介绍）（绘制方法在下节介绍）1 1xx 0 p 图图8-9 例例8-18-1的的相平面图相平面图DABCE18 （1）在各种初始条件下（）在各种初始条件下（任意一条相轨迹任意一条相轨迹），），系统系统都趋向都趋向原点（原点（0,0）, ,说说明原点是系统的平衡点，系统是稳定的。明原点是系统的平衡点，系统是稳定的。由图可知：由图可知： 可将其状态转化为转化可将其状态转化为转化为时间响应曲线为时间响应曲线x(t)来验证如图来验证如图8-108-10所示所示 （2）如果初始条件为：）如果初始条件为：x(0)=1， 。则相应的相则相应的相轨迹为轨迹为ABC

18、DE0。系统的瞬态响应为系统的瞬态响应为阻尼振荡形式，最大超调量为阻尼振荡形式，最大超调量为 p，稳，稳态误差为零。态误差为零。0)0(x 1 10 x(t)tABCDE图图8-10 8-10 例例8-18-1的的时间响应曲线时间响应曲线 相轨迹如图相轨迹如图.系统的运动方向如箭头所示。可系统的运动方向如箭头所示。可见，系统的响应与初始条件有关见，系统的响应与初始条件有关,其相轨迹可分为三其相轨迹可分为三个区域：个区域：初始条件：初始条件：tx(t)0 01 1-1-1例例8-8-2. 非线性方程：非线性方程： 03xxx x-1-11 1dx/dt0图图8-11 8-11 例例8-28-2的

19、的相平面图相平面图(3) (3) x(0) 1:)()(xx(1) -(1) -1x( (0) )1 时时原点。系统是稳定的。响应为单调衰减，且无稳态误差。原点。系统是稳定的。响应为单调衰减，且无稳态误差。如图如图8-12所示所示.0)(0)(xx图图8-12 8-12 例例8-28-2的响应曲线的响应曲线相平面法的适用范围相平面法的适用范围: : .3亦亦适适用用的的非非线线性性系系统统不不能能只只考考虑虑基基波波分分量量对对于于一一些些 系系统统的的运运动动过过程程. .函函数数作作用用下下, ,条条件件下下和和各各种种非非周周期期可可用用来来研研究究在在各各种种初初始始4 4非非线线性性

20、系系统统线线性性系系统统适适用用于于(2) 除要求除要求 为解析函数外，别无其它条件为解析函数外，别无其它条件),(xxf(1) 因为相平面是二维的，因为相平面是二维的，只适用于一阶和二阶系统；只适用于一阶和二阶系统；一、一、相轨迹的共同特相轨迹的共同特性性1.1.相轨迹的对称性相轨迹的对称性设二阶系统的方程为：设二阶系统的方程为：0,xxfx (8-9)(8-9)改写为：改写为：xxfdxxdx dxxdxdtdxdxxddtxdx ,(8-10)(8-10)两边除以两边除以 可得：可得：xdtdxxxxfdxxd,-相轨迹的相轨迹的 斜率方程斜率方程(8-11)(8-11)相轨迹的对称性可

21、以从对称点上相轨迹的斜率来判断。相轨迹的对称性可以从对称点上相轨迹的斜率来判断。8.3.2 相轨迹的绘制方法相轨迹的绘制方法即即 是是 的偶函数的偶函数-相轨迹对称于相轨迹对称于 x 轴的条件。轴的条件。),(xxfx ),(),(),(),(xxfxxfxxxfxxxf(8-12)(8-12)1 1）若相轨迹对称于）若相轨迹对称于x轴。轴。 则在所有的对称点则在所有的对称点 和和 上，相轨迹的斜率应大小相等，符号相反。即：上，相轨迹的斜率应大小相等，符号相反。即：),(xx ),(xxx),(xx ),(xxx 0图图8-13 相轨迹对称于相轨迹对称于x轴轴 2) 2) 若相轨迹对称于若相轨

22、迹对称于 轴，则：轴，则：x ),(xx ),(xx x x0),(),(),(),(xxfxxfxxxfxxxf(8-13)(8-13)图图8-14 相轨迹对称于相轨迹对称于 轴轴x 即即 是是 的的 奇函数奇函数-相轨迹对称于相轨迹对称于 轴的轴的条件。条件。),(xxfxx 3 3）若相轨迹对称于原点，其条）若相轨迹对称于原点，其条件是：对称点件是：对称点上的斜率应大小相等，符号相同。上的斜率应大小相等，符号相同。),(),(xxxx图图8-15 相轨迹对称于原点相轨迹对称于原点),(),(xxfxxf(8-14)(8-14)xx 0),(xx ),(xx2.2.相平面上的相平面上的奇点

23、奇点 这样的点称为这样的点称为普通点普通点。通过普通点的相轨迹只。通过普通点的相轨迹只有一条。（即相轨迹曲线不会在普通点相交）有一条。（即相轨迹曲线不会在普通点相交）若相平面中的某点，同时满足若相平面中的某点，同时满足 ，该点相，该点相轨迹的斜率轨迹的斜率 , ,为不定值，这类特殊点称为不定值，这类特殊点称为为奇点奇点。通过奇点的相轨迹不止一条，它是相轨迹。通过奇点的相轨迹不止一条，它是相轨迹曲线的交点。曲线的交点。0),(, 0 xxfx00dxxd由相轨迹的斜率方程由相轨迹的斜率方程 可知可知,相上的相上的点点 只要只要不同时不同时满足满足 , ,则该点则该点相轨迹的斜率是相轨迹的斜率是唯

24、一唯一确定的。确定的。 xxxfdxxd),(),(xx 0),(, 0 xxfx 二阶线性系统：奇点是唯一的，位于原点。二阶线性系统：奇点是唯一的，位于原点。 二阶非线性系统：奇点可能不止一个。二阶非线性系统：奇点可能不止一个。3.x3.x轴上相轨迹的斜率轴上相轨迹的斜率4.4.系统状态沿相轨迹的运动方向系统状态沿相轨迹的运动方向由于在由于在 x 轴上轴上, , ,因此除因此除 的点的点（即（即奇点）外，相轨迹的斜率为奇点）外，相轨迹的斜率为: : 。 即除奇点外，即除奇点外，相轨迹与相轨迹与x 轴垂直相交。轴垂直相交。0 x 0),(xxfdxxd 在相平面的上半平面在相平面的上半平面,

25、, ,即即x( (t) )增大。增大。系统状态沿相轨迹向右运动。系统状态沿相轨迹向右运动。0 x 在相平面的下半平面在相平面的下半平面, , ,即即x( (t) )减小减小. . 系统状态沿相系统状态沿相轨迹向左运动。轨迹向左运动。0 x 0 x x图图8-16 系统状态沿相轨系统状态沿相轨 迹的运动方向迹的运动方向 x x 0 左行 右行 增幅、恒速 增幅、增速 增幅、减速 减幅、恒速 减幅、增速 减幅、减速 垂直穿越 例例： 二阶系统二阶系统作出该系统的相平面图。作出该系统的相平面图。 解：解： 因为因为斜率方程斜率方程 初值（初值（0, 100, 10）和（）和（0, -100, -10

26、）。）。 0 xxx x x 0 相平面相平面 (0,-10) (0,10) 00)0()0(xxxxxxxdxxddxxdxdtxdx 22二、解析法作图二、解析法作图 方程不显含方程不显含 时，采用一次积分法得相轨迹方程作图时，采用一次积分法得相轨迹方程作图方程为方程为 因为因为 代入方程代入方程两边一次积分，得相轨迹方程两边一次积分，得相轨迹方程 x 0)(xfx dxxdxdxdtdtxddtdxdtxddtxdx 22dxxfxdx)(dxxfxdx)(例例： 二阶系统为二阶系统为作相平面图。作相平面图。 解解 方程不显含方程不显含 ，由解析法有，由解析法有 一次积分一次积分 相轨迹

27、方程为椭圆方程相轨迹方程为椭圆方程020 xx x 020 xdxxdxdxxxdx20dxxxdx2012202121cxx22220cxx2 相平面相平面 x 0 0/x 三、绘制相平面图的图解法三、绘制相平面图的图解法 当用解析法求解微分方程比较困难，甚至不可能时，可采用图解法绘制相平当用解析法求解微分方程比较困难，甚至不可能时，可采用图解法绘制相平面图。它有：面图。它有：下面介绍等倾线法下面介绍等倾线法: : 原理原理：任一曲线都可以用一系列足够短的折线来近似任一曲线都可以用一系列足够短的折线来近似，如果我们能用简便的，如果我们能用简便的方法求得相平面中任意一点相轨迹的斜率，就能画出通

28、过该点相轨迹的切线，并方法求得相平面中任意一点相轨迹的斜率，就能画出通过该点相轨迹的切线，并用它来近似该点及其附近的相轨迹曲线。如果点取得足够密，就能用一系列的切用它来近似该点及其附近的相轨迹曲线。如果点取得足够密，就能用一系列的切线来近似相轨迹曲线了。线来近似相轨迹曲线了。（2 2）园弧近似法）园弧近似法( (略略) ) （1 1）等倾线法）等倾线法 等倾线法作图步骤：等倾线法作图步骤：1 1）首先画出等倾线）首先画出等倾线-确立相平面中相轨迹斜率的分布；确立相平面中相轨迹斜率的分布；等倾线等倾线：在相平面中，相轨迹斜率相等的点的连线在相平面中，相轨迹斜率相等的点的连线, ,即即 等倾线应满

29、足方程：等倾线应满足方程：由前述可知，相轨迹的斜率方程为：由前述可知，相轨迹的斜率方程为： xxxfdxxd),()(常数常数dxxd(8-15)(8-15)则等倾线方程为：则等倾线方程为：),(),(xxfxxxxf(8-16)(8-16)2 2）从初始条件开始，用连续的切线段来近画出相轨迹曲线。）从初始条件开始，用连续的切线段来近画出相轨迹曲线。.,;,分布分布相平面中相轨迹斜率的相平面中相轨迹斜率的它们确定了它们确定了族族则可求得一组等倾线则可求得一组等倾线值值给定一组给定一组线线可由上式求得一条等倾可由上式求得一条等倾值值给定一个给定一个.202:02:02:2222等倾线方程等倾线方

30、程代入上式代入上式令令上式改写为上式改写为设系统方程为设系统方程为xxxxxdxxddtdxdxxdtxdxxxdxxdxxxx (8-17)(8-17)(8-18)(8-18)注意：两等倾线之间用其平注意：两等倾线之间用其平 均值来表示相轨迹。均值来表示相轨迹。若给定系统参数：若给定系统参数： =0.5, =1.取不同的取不同的 值，求得等倾线如图值，求得等倾线如图8-8-1717所示：所示： 若给定初始条件为若给定初始条件为A,A,则可作出相则可作出相轨迹为轨迹为ABCDE .ABCDE .图图8-17 等倾线和等倾线和相轨相轨迹迹 可见，等倾线为过原点、斜率为可见，等倾线为过原点、斜率为

31、 的直线的直线。)2(2 =-=-1.41.4 =-1.6=-1.6 =-2=-2 =-3=-3 =1=1 =2=2ABCDExx 0 = -1 1 = =0=0则等倾线为：则等倾线为：xx11(8-19)(8-19)注意注意： 1 1）等倾线法在作图过程中会产生积累误差。一般来说）等倾线法在作图过程中会产生积累误差。一般来说, ,等倾线越密，则近似等倾线越密，则近似程度越好。但等倾线过密，绘图条数增多，致使积累误差加大。所以，一般间隔程度越好。但等倾线过密，绘图条数增多，致使积累误差加大。所以，一般间隔5 51010画一条等倾线较合适。画一条等倾线较合适。 2 2）为减少作图误差，可事先在等

32、倾线上画好表示切线）为减少作图误差，可事先在等倾线上画好表示切线 方向的平行短线，然后从初始状态开始逐步仔细地将它们联成光滑的相轨迹曲线。方向的平行短线，然后从初始状态开始逐步仔细地将它们联成光滑的相轨迹曲线。 3 3）一般，线性系统的等倾线是直线。因此用等倾线法）一般，线性系统的等倾线是直线。因此用等倾线法比较方便。非线性系统的等倾线则有可能是曲线比较方便。非线性系统的等倾线则有可能是曲线, ,甚至是比较复杂的图形甚至是比较复杂的图形-不不适用于等倾线法。适用于等倾线法。 由前述可知，奇点是相平面中斜率不确定的点，即有多条相轨迹以不同由前述可知，奇点是相平面中斜率不确定的点，即有多条相轨迹以

33、不同的斜率通过或逼近该点的斜率通过或逼近该点。constconstx x, ,0 0 x x: :则则, ,0 0 x x由于由于奇点的求法奇点的求法0 0) )x xf(x,f(x,x x0 0 x x: :奇点必须同时满足奇点必须同时满足 所以奇点是所以奇点是平衡点平衡点。奇点及临近的。奇点及临近的相轨迹反映了系统的稳定性问题。相轨迹反映了系统的稳定性问题。一、奇点一、奇点8.3.3 奇点与极限环奇点与极限环二、线性系统的奇点与相轨迹二、线性系统的奇点与相轨迹 由线性理论可知，系统的特征根不同，由线性理论可知，系统的特征根不同，则其稳定性及瞬态响应性能不同。在相则其稳定性及瞬态响应性能不同

34、。在相平面中则表现为相轨迹的形状和奇点性平面中则表现为相轨迹的形状和奇点性质不同。质不同。 二阶线性系统的方程为：二阶线性系统的方程为：022xxx (8-20)(8-20)可见，原点为可见，原点为奇点或稳定点奇点或稳定点。奇点邻域的运动性质奇点邻域的运动性质由于在奇点上，相轨迹的斜率不定，由于在奇点上，相轨迹的斜率不定，所以可以引出无穷条相轨迹。所以可以引出无穷条相轨迹。相轨迹在奇点邻域的运动可以分为相轨迹在奇点邻域的运动可以分为 1.1.趋向趋向于奇点于奇点 2.2.远离远离奇点奇点 3.3.包围包围奇点奇点 00dxxd0bxxax 022xxxnn 24baas221,xbxxadxx

35、dkxabxx，0b 04ba2,124baask2nn2212121,xbxxa022xxx0bnn ：1 dx/dt x 稳定节点稳定节点 1 dx/dt x 不稳定节点不稳定节点 12211ksk 0sk, 01 dx/dt x 稳定焦点稳定焦点 022xxxnn 10 dx/dt x 不稳定焦点不稳定焦点 022xxxnn 0 dx/dt x 中心点中心点 。 dx/dt x 鞍点鞍点 j s 平面平面 j0j0j0节点节点稳定焦点稳定焦点中心中心不稳定节点不稳定节点不稳定焦点不稳定焦点鞍点鞍点 1j0 2j021j012根与相轨迹根与相轨迹三、非线性系统的奇点三、非线性系统的奇点)(

36、)(),(ixixxxxfxxxfxxgii 再用线性方程来讨论相轨迹的形状再用线性方程来讨论相轨迹的形状和奇点的性质。和奇点的性质。),(iixx ),(xxf),(xxg 设：奇点为设：奇点为 ， 线性化为线性化为 即：即： 设非线性系统的方程为：设非线性系统的方程为： 0),(xxfx (8-21)(8-21)则线性化后的方程为：则线性化后的方程为：0),(xxgx (8-22)(8-22),(xxf只要只要 是解析的，总可以将方程在奇点附近线性化。是解析的，总可以将方程在奇点附近线性化。例例8-38-3025 . 02xxxx 非线性系统的方程如下：非线性系统的方程如下：试画出系统的相

37、平面图。试画出系统的相平面图。解：式中解：式中 225 . 0),(xxxxxf由由 求得系统的奇点为求得系统的奇点为：0),(0 xxfx0, 2) 2(0, 0) 1 (xxxx在奇点（在奇点（0,00,0）附近，线性化方程为：）附近，线性化方程为：xxxxxxxgx5 . 02) 0( 5 . 0) 0()22(),(0025 . 0 xxx 即：即：式中阻尼比：式中阻尼比： ， 则奇点则奇点(0,0)(0,0)为稳定焦点。为稳定焦点。10 在奇点（在奇点（-2,0-2,0）附近，令）附近，令y=x+2y=x+2，则方程变为：，则方程变为： 025 . 02yyyy 在在 这一点附近，方

38、程线性化为：这一点附近，方程线性化为：0, 0yy025 . 0yyy yyyyyyygy25 . 05 . 0)0()22(),(0可知，奇点（可知，奇点（-2,0-2,0）为鞍点）为鞍点。 由以上两种奇点类型的相平面图结合由以上两种奇点类型的相平面图结合起来，可以画出系统相平面图的大致形起来，可以画出系统相平面图的大致形状状,如下图所示。如下图所示。x x0-2图图8-24 例例8-38-3非线性系统的相平面图非线性系统的相平面图四、极限环四、极限环 极限环极限环对应于非线性系统特有的自振荡现象对应于非线性系统特有的自振荡现象, ,它它描述了自振荡的振幅和频率描述了自振荡的振幅和频率. .

39、半稳定极限环半稳定极限环不稳定极限环不稳定极限环稳定极限环稳定极限环极限环可分为极限环可分为: 所谓孤立的封闭轨迹所谓孤立的封闭轨迹, ,是指它临近的相轨迹都不是指它临近的相轨迹都不是封闭的是封闭的. .它们或是趋向于极限环它们或是趋向于极限环, ,或是远离极限环或是远离极限环. .在相平面图中在相平面图中, ,极限环是孤立的封闭轨迹极限环是孤立的封闭轨迹. . 将相平面划分为具有不同运动特点的多个区域的特殊相轨迹，将相平面划分为具有不同运动特点的多个区域的特殊相轨迹，称为称为奇线奇线。 x x 0 x x 0 x x 0 1.1.稳定极限环稳定极限环特点特点: :极限环内外的相轨迹都卷向极限

40、环极限环内外的相轨迹都卷向极限环, ,自振荡自振荡 是稳定的是稳定的. .环内环内: :不稳定区域不稳定区域, ,相轨迹发散相轨迹发散环外环外: :稳定区域稳定区域, ,相轨迹收敛相轨迹收敛趋向极限环趋向极限环图图8-25 稳定极限环稳定极限环x x0 x(t)t0 如果系统具有这种极限环，且极限环不超过允许如果系统具有这种极限环，且极限环不超过允许的范围，则可以认为系统是稳定的。设计时应尽量减的范围，则可以认为系统是稳定的。设计时应尽量减少极限环的大小少极限环的大小, ,以满足准确度的要求。以满足准确度的要求。2.2.不稳定极限环不稳定极限环特点特点: :极限环内外的相轨迹都卷离极限环极限环

41、内外的相轨迹都卷离极限环环内环内: :稳定区域稳定区域, ,相轨迹收敛相轨迹收敛环外环外: :不稳定区域不稳定区域, ,相轨迹发散相轨迹发散 这种系统是小范围稳定这种系统是小范围稳定, ,大范围不稳定大范围不稳定. .设计时设计时应尽量增大稳定区域应尽量增大稳定区域( (即增大极限环即增大极限环).).卷离极限环卷离极限环图图8-26 不稳定极限环不稳定极限环x x0 x(t)t03.3.半稳定的极限环半稳定的极限环环内环内, ,环外都不稳定环外都不稳定. . 具有这种极限环的系统是不会产生自振荡的具有这种极限环的系统是不会产生自振荡的, ,系系统的状态最终是发散的。统的状态最终是发散的。a)

42、图图8-27 半稳定的极限环半稳定的极限环x x0 x(t)t0 环内环内, ,环外都是稳定的环外都是稳定的. . 具有这种极限环的系统也不会产生自振荡的具有这种极限环的系统也不会产生自振荡的, ,系系统的状态最终是趋向于环内的稳定奇点。统的状态最终是趋向于环内的稳定奇点。. .b)图图8-28 半稳定的极限环半稳定的极限环x x0 x(t)t0注意：注意：在非线性系统中，可能没有极限环，也可能在非线性系统中，可能没有极限环，也可能具有一个或几个极限环。在进行一般系统设计时，具有一个或几个极限环。在进行一般系统设计时，应尽量避免产生极限环。如不可能避免时，应尽应尽量避免产生极限环。如不可能避免

43、时，应尽量缩小稳定的极限环，或加大不稳定的极限环。量缩小稳定的极限环，或加大不稳定的极限环。 振荡器是具有稳定极限环的非线性系振荡器是具有稳定极限环的非线性系统的典统的典型例子。型例子。例：例： Van der Pol Van der Pol 方程的极限环方程的极限环05101520-4-2024-4-2024-4-2024-4-2024-4-202405101520-4-20240 xxx1x2 )(20 x 20 x)(,)(0.2(0)x 200 x,.)(Simulation 系统如图系统如图其中其中T,KT,K为正实数为正实数. .由图写出系统的微分方程：由图写出系统的微分方程：)2

44、()1()()(2creKeccTsTsKsEsC （在相平面分析法中，一般皆分析误差函数）（在相平面分析法中，一般皆分析误差函数）以以c=r-e代入，即可写出以误差代入，即可写出以误差e e为变量的二阶微分方程：为变量的二阶微分方程：0)0(, 0)0(CC初始状态为静止初始状态为静止, ,即即:) 1(TssKR(s)E(s)C(s)+-图图8-29 线性系统线性系统rrTkeeeT (8-23)(8-23)8.3.4 线性系统的相平面分析线性系统的相平面分析1.1.阶跃响应性能分析阶跃响应性能分析: :况况 特征根只有以下两种情特征根只有以下两种情: :误差的初始条件为误差的初始条件为由

45、初始条件由初始条件0, 0)(0)0(,)0(KTcreeRe)0 , 0(:0:0:,01(t)Rr(t):奇点为奇点为误差方程变为误差方程变为则则时时当当阶跃输入信号为阶跃输入信号为KeeeTrrRrt (8-24)(8-24)图图8-30 阶跃输入阶跃输入tr(t)R0（1）一对负实部的共轭复根）一对负实部的共轭复根欠阻尼欠阻尼即即,10:奇点为稳定焦点，相轨迹及时间解如下：奇点为稳定焦点，相轨迹及时间解如下：.)(; 0)()(pssceba标的绝对值标的绝对值相轨迹与负实轴交点坐相轨迹与负实轴交点坐; ;过渡过程振荡次数过渡过程振荡次数相轨迹绕原点的圈数相轨迹绕原点的圈数: :阻尼振

46、荡阻尼振荡系统是稳定的;系统是稳定的;: :响应性能响应性能图图8-31 欠阻尼时的相轨迹及时间解欠阻尼时的相轨迹及时间解0e e(R,0) p0e(t)tR p(2)2)两个不等的负实根两个不等的负实根:.1:相轨迹及时间解如下相轨迹及时间解如下奇点为稳定节点奇点为稳定节点过阻尼过阻尼即即响应性能：响应性能：(a),(b)(a),(b)与前同与前同; ; (c) (c)响应是单调衰减的。响应是单调衰减的。 图图8-32 过阻尼时的相轨迹及时间解过阻尼时的相轨迹及时间解(R,0)e e00e(t)tR2.2.斜坡响应性能分析斜坡响应性能分析0,0.,)(:rvrtvRvtRtr 时时当当皆为常

47、数皆为常数输入的斜坡信号为输入的斜坡信号为图图8-33 斜坡斜坡输入输入r(t)t0RvvvcreRRcreKvKveKeeTvKeeeT0)0()0()0(0)0()0()0(:)0 ,(:0)(,: 误差的初始条件为误差的初始条件为奇点为奇点为或或则误差方程变为则误差方程变为(8-25)(8-25) 分析后可知，相轨迹与阶跃输入时相分析后可知，相轨迹与阶跃输入时相同，只是向右移动了同，只是向右移动了 一段距离。一段距离。Kv与阶跃响应的差异：（与阶跃响应的差异：（1 1）奇点位置，初始状态不同）奇点位置，初始状态不同; ; （2 2）稳态误差为）稳态误差为 . .Kv图图8-34 斜坡斜坡

48、输入输入时的相轨迹时的相轨迹V/K0e e(R,v)a).欠阻尼欠阻尼V/Ke e0(R,v)b).过阻尼过阻尼3.3.脉冲响应性能分析脉冲响应性能分析”相同。”相同。均与“均与“），（可见方程及奇点可见方程及奇点误差方程误差方程时时当当输入单位脉冲函数输入单位脉冲函数1000:0,0)(KeeeTrrtt 下面求初始条件：下面求初始条件：)0()0(, )0()0(:0)0()0(,0cecerrt则则时时当当r(t)t0图图8-35 脉冲脉冲输入输入TKKsTsKsscscess22limlim)()0()0(1)()()()0()()()()0(2limKsTsKsRsGsCfsFssf

49、sFsfBs微分定理：微分定理：拉氏变换的初值定理：拉氏变换的初值定理：0)()0()0(2limlimKsTsKsscscess相轨迹如下：相轨迹如下：结论：结论：.决于输入信号决于输入信号奇点位置与初始条件取奇点位置与初始条件取取决于特征根的分布取决于特征根的分布相平面图及奇点的性质相平面图及奇点的性质线性系统线性系统图图8-36 脉冲脉冲输入输入时的相轨迹时的相轨迹0e e-K/Te e0-K/Ta).欠阻尼欠阻尼b).过阻尼过阻尼 对于分段线性的非线性系统来说，相平面分析法的对于分段线性的非线性系统来说，相平面分析法的步骤为：步骤为： （1）用）用n条分界线（开关线，转换线）将相平面分

50、成条分界线（开关线，转换线）将相平面分成n个线性区域；个线性区域；（2 2）分别写出各个线性区域的微分方程；）分别写出各个线性区域的微分方程；（3 3）求出各线性区的奇点位置并画出相平面图；）求出各线性区的奇点位置并画出相平面图； （4 4）将各相邻区的相轨迹联成连续曲线）将各相邻区的相轨迹联成连续曲线-非线性系统的相轨迹。非线性系统的相轨迹。8.3.5 非线性系统的相平面分析非线性系统的相平面分析关于奇点：关于奇点： （2 2）当奇点位于本线性区域之内）当奇点位于本线性区域之内-实奇点；实奇点； 当奇点位于本线性区域之外当奇点位于本线性区域之外-虚奇点；该区域的相轨迹永远不虚奇点；该区域的相

51、轨迹永远不能到达此点；能到达此点；下面分析几种具有典型非线性特性的控制系统：下面分析几种具有典型非线性特性的控制系统：（3 3）二阶非线性系统只可能有一个实奇点。）二阶非线性系统只可能有一个实奇点。（1 1）每个线性区有一个奇点；）每个线性区有一个奇点；1.具有非线性增益的系统具有非线性增益的系统采用非线性增益的优点：采用非线性增益的优点： 使系统的响应速度较快，使系统的响应速度较快， 而超调和振荡都比较小。而超调和振荡都比较小。NG) 1(TssKr(t)e(t)m(t)c(t)+-图图8-37 具有非线性增益的系统具有非线性增益的系统00eekeeeem(8-26)(8-26)me01ke

52、0-e0k1时时，N/K=0。1.0N / K01.0/A图图8-68 8-68 N / K对对/A 的函数关系曲线的函数关系曲线因此，死区非线性的描述函数为：因此，死区非线性的描述函数为：)()(1)(sin22211AAAAKABN(8-50)(8-50)21)A(1A)A(sin2KKN(8-51)(8-51)死区非线性的描述函数又可以写为：死区非线性的描述函数又可以写为： 其输入输出波形如其输入输出波形如下图所示：下图所示：4.4.饱和非线性饱和非线性eya-a斜率斜率k0a)0 00 0aAe(t)=Asin ty1(t)=Y1sin ty(t) / -t1t1etytb)图图8-6

53、9 8-69 饱和非线性的输入输出波形饱和非线性的输入输出波形ttKAtttKAtttKAtytytsinsin)(:)(,0,111由由下下式式给给出出其其输输出出时时当当饱饱和和非非线线性性特特性性对对于于具具有有如如上上图图所所示示的的)(sinsin:)(sin)(sin4)(sin)(4)(sin)(10,0,)(111202202011111AattAattdKAttdKAttdtyttdtyBAtytt即即注注意意到到为为奇奇函函数数由由于于211212211)(1)(sin2:,)(1)(sin2)(1)(122(4,AaAaAaKABNAaAaAaKAAaKaAaAatKAB

54、描描述述函函数数为为具具有有饱饱和和非非线线性性元元件件的的于于是是因因此此(8-52)(8-52)a/AN/k1.01.00图图8-70 8-70 N/k对对 a/A的的 函数关系曲线函数关系曲线 对对 的函数关系曲线如图的函数关系曲线如图8-708-70所示：所示：AakN 由图可知由图可知, ,当当 时，描述函数时，描述函数的值为的值为1，说明输出与输入成正比例，说明输出与输入成正比例，不存在饱和现象。不存在饱和现象。 1Aa其他一些常用非线性特性的描述函数示于下表：其他一些常用非线性特性的描述函数示于下表：（3 3）死区非线性与饱和非线性的）死区非线性与饱和非线性的N存在如下关系：存在

55、如下关系： 当当 = ，且，且K 相同时，相同时，N死区死区=K- -N饱和。饱和。（4 4）若非线性特性为其他几个非线性的组合时，则其描述）若非线性特性为其他几个非线性的组合时，则其描述 函数亦为其他几个描述函数的线性组合，即描述函数可应用叠加原理。函数亦为其他几个描述函数的线性组合，即描述函数可应用叠加原理。 如：非线性如：非线性Z=x+y，其中，其中x=fx(e) Nx ; y=f(e) Ny， 则则Nz=Nx+Ny 因此，由表所给出的结果，还可以推出一些更复杂的非线性特性的因此，由表所给出的结果，还可以推出一些更复杂的非线性特性的N。01（1 1）若非线性为单值函数，则）若非线性为单值

56、函数，则 ，N为实数；为实数；01（2 2）若非线性为多值函数，则）若非线性为多值函数，则 ，N为复数；为复数；由表可知由表可知:典型的非线性系统如下图所示：典型的非线性系统如下图所示：图图8-71 8-71 典型非线性系统典型非线性系统如果满足前述的二个条件如果满足前述的二个条件,即即:1）非线性特性是对称的）非线性特性是对称的;2）线性部分具有良好的低通滤波性能）线性部分具有良好的低通滤波性能.那么系统中的非线性元件就可以等效地用描述函数来近似描述那么系统中的非线性元件就可以等效地用描述函数来近似描述,它相当于它相当于一个实变一个实变量或复变量的增益量或复变量的增益.线性部分线性部分G(s

57、)+-非线性元件非线性元件Nr(t)e(t)y(t)c(t)8.4.3 8.4.3 描述函数分析法描述函数分析法由此由此,闭环系统的频率特性为闭环系统的频率特性为: 可见可见,它与线性系统的特征方程类似它与线性系统的特征方程类似.因此因此,可以利用频率法的某些方法和结论可以利用频率法的某些方法和结论,来分析来分析: 非线性系统的稳定性非线性系统的稳定性;自振荡的稳定性自振荡的稳定性;确定振荡的振幅和频率确定振荡的振幅和频率. 但是但是,描述函数仅仅是在正弦输入作用下对非线性系统的描述描述函数仅仅是在正弦输入作用下对非线性系统的描述,因此因此,它不适于它不适于分析系统的瞬态响应性能分析系统的瞬态

58、响应性能.)(1)()()(jNGjNGjRjC(8-53)(8-53)特征方程为特征方程为:0)(1jNG(8-54)(8-54)一、稳定性分析一、稳定性分析特征方程特征方程:0)(1jNG(8-55)(8-55)NjG1)(可以改写为可以改写为(8-56)(8-56)1)(jG它与线性系统的特征方程它与线性系统的特征方程 相比较相比较:N1只是在非线性系统中只是在非线性系统中,N是非线性元件输入幅值是非线性元件输入幅值A的函数的函数,当当A值的范围为值的范围为 时时,对应的对应的 则为一条曲线则为一条曲线.故在非线性系统中故在非线性系统中,“临界点临界点”为为 曲线曲线.因此因此,可可以根

59、据线性部分的频率特性以根据线性部分的频率特性 曲线和曲线和“临界点临界点”轨迹轨迹 的相对位置的相对位置,借借助频率法的某些结论和方法助频率法的某些结论和方法,来判断非线性系统的稳定性来判断非线性系统的稳定性.0)(jGN1N1相当于线性系统的临界点相当于线性系统的临界点(-1,j0).N1假设线性部分是最小相位的，则稳定假设线性部分是最小相位的，则稳定性判据是：性判据是： 1 1）如果）如果 1/N 曲线没有曲线没有被被G(j )曲线所包围，如图，曲线所包围，如图，则系统是稳定的。在稳定状则系统是稳定的。在稳定状态下，系统没有自振荡。态下，系统没有自振荡。G( (j ) )通常是用图解法在复

60、平面上画出通常是用图解法在复平面上画出G(j )曲线和曲线和 1/N曲线。曲线。ReIm0-1-1/ NA图图8-72 稳定的非线性系统稳定的非线性系统则系统是不稳定的。则系统是不稳定的。当受到任何扰动时，系统输当受到任何扰动时，系统输出将逐渐增大。出将逐渐增大。A-1/-1/NG( (j ) ) 2 2）如果）如果 1/N 曲线被曲线被 G(j ) 曲线包围，如图，曲线包围，如图，ReIm0图图8-73 不稳定的非线性系统不稳定的非线性系统 3)3)如果如果-1/N曲线和曲线和G(j )曲线曲线相交相交, ,如图如图. .则系统处于临界稳定则系统处于临界稳定状态状态, ,可能会出现自振荡即极