重积分复习北工大PPT课件

1、1一、二重积分的计算1定理1 若函数 在闭矩形域),(yxf,dycbxaR 可积，且,bax dyyxfxIdc ),()(存在， Rdxdyyxf),(.),(dxdyyxfbadc dxdyyxfbadc ),(则累次积分也存在，且.),(),(dxdyyxfIdyxfIRR 或或 第1页/共29页22推论 若函数 在a,b可积，函数)(x )(y 在c,d可积，则乘积函数)()(yx 在闭矩形域;dycbxaR 也可积，且 dcbaRdyydxxdxdyyx)()()()( 第2页/共29页3X型与y型区域定义设函数在闭区间)(),(21xx ,ba连续；函数在闭区间)(),(21yy

2、 ,dc连续，则x型区域 ;,),()(),(21baxxyxyx y型区域 .,),()(),(21dcyyxyyx 第3页/共29页4xyoab)(1xy )(2xy 积分区域为：, bxa ).()(21xyx 其中函数 、 在区间 上连续.)(1x )(2x ,baxyoab)(1xy )(2xy 如图x型区域第4页/共29页5 ,),()(),(21dcyyxyyx cdy)(2yx )(1yx xyRy型区域0第5页/共29页6定理2 设有界闭区域R是由两条光滑曲线),x()x(,bxa),x(y)(2121 且且与与xy以及直线x=a与x=b所围成。),(yxf在R可积，且,ba

3、x 定积分 )()(21),(xxdyyxf 存在，.),()()(21 xxbadyyxfdx Rdxdyyxf),(也存在，且 )()(21),(xxbadyyxfdx 则累次积分若函数第6页/共29页7如何利用累次积分求二重积分(以 型为例)x化为先对，后对的累次积分.yx首先将R投影到轴，得到闭区间，,ba在区间 上任取一点，关于积分，在R内的积分限由,baxyy)(1x ).(2x abxyo)(1xy )(2xy 然后关于从xab到积分到第7页/共29页8二、二重积分的换元定理2 若函数 在有界闭区域R连续，),(yxf函数组 将),(),(vuyyvuxx 平面上区域一对一地变换

4、为xy平面上区R域R。且函数组 在),(),(vuyyvuxx 上对 与对 存在连续偏导数，R, ),(Rvu 有, 0),(),(),( vuyxvuJ Rdxdyyxf),( R.dudv)v, u(J)v, u(y),v, u( x fuvuv则第8页/共29页9极坐标变换 sincosryrx面积微元. drdrd . drdrdxdy 或或 Rdxdyyxf),(.)sin,cos( Rrdrdrrf 设曲面S的方程为：),(yxfz 曲面的面积曲面面积为.122 xyDdxdyyzxzA第一型曲面积分的特殊情况第9页/共29页10利用参数方程来计算,2 2 2uuuzyxE ,2

5、2 2 vvvzyxG .vuvuvuzzyyxxF 曲面面积dudvFEGR 2 ).,(),(),(vuzzvuyyvuxx 第10页/共29页11例1计算二重积分其中D是由直线,22dxdyyxD xyx , 2和双曲线 所围成，1 xyD既是x型区域又是y型区域xy2xy s1pDRQ1201 xy2149第11页/共29页12例2 将二重积分 化为按不同次序 Rdxdyyxf),(的累次积分，其中R是由上半圆周22xaxy 抛物线)0(22 yaxy)0(2 aaxaa2xyaxy22 22xaxy ABCaa20和直线所围成第12页/共29页1322yxz )0(22 aaxyx截

6、下的有限曲面片的面积.被柱面例3 求曲面例4所围平面闭区域.和和是是抛抛物物线线其其中中求求22,dd)(xyDyxyxD 2yx 例5 计算由下列曲线围成的面积,byxayx .,xyxy ., ba14033242a )1)(1(222 ab第13页/共29页14 )d,(d 变变为为极极坐坐标标形形式式 把把 RyRyxyxfyI例6例7 计算球体被圆柱面2222azyx axyx 22所截得的那部分立体的体积).0( a 20sin20d)sin,cos(dRrrrrf ,)(22dxdyyx其中是以 )0(3, aayayaxyxy所围成例8第14页/共29页15二、三重积分1.直角

7、坐标系中将三重积分化为三次积分设积分区域V为 ),(),(),(21yxzzyxzzyxV bxaxyyxy ),()(21第15页/共29页16如 图，xyzOVDab)(1xyy )(2xyy 1S),(1yxzz 2S),(2yxzz ),(yx1z2z),(:),(:2211yxzzSyxzzS Dyx ),(,1穿入穿入从从 z过点穿出穿出从从2z闭区域V在xoy平面的投影为闭区域D. bxaxyyxy ),()(21第16页/共29页17 ),(),(21d),(),(yxzyxzzzyxfyxF,),()(:21bxaxyyxyD ),(yxF再计算上上的的二二重重积积分分在在闭

8、闭区区间间 Dd),(),(),(21 yxzyxzzzyxf DyxF d),( D d vzyxfd),(得 ),(),(21d),(yxzyxzzzyxf )()(21dxyxyy baxd则Vz 轴且穿过闭区域轴且穿过闭区域这时平行于这时平行于注SV 的边界曲面的边界曲面内部的直线与闭区域内部的直线与闭区域相交不多两点情形.第17页/共29页18x0z yz=z2(x,y)I = ),(),(d),(yxzyxzzzyxf DyxddPDz=z1(x,y)zyxzyxfIddd ),( 第18页/共29页19三. 三重积分换元法定理若三元函数 在有界闭体 连续,),(zyxfV则三重积

9、分 存在.dxdydzzyxfV),(设函数组 ),(),(),(wvuzzwvuyywvuxx在 空间有界闭体 有定义.若满足下列条件:uvwV)1(第19页/共29页201) 函数),(),(),(wvuzzwvuyywvuxx 所有的偏导数在 连续;V2) ;0),(),( Pwzvzuzwyvyuywxvxuxwvuzyx, ),( VwvuP 第20页/共29页21Vzyxzyxfddd),(.ddd),(),(),(),(),( Vwvuwvuzyxwvuzwvuywvuxf则有三重积分的换元公式3)函数组(1)将 空间中的 一一对uvwV应地变换为 空间中的 .xyzV第21页/

10、共29页222.柱面坐标变换设 ,sin,coszzryrx 其中,0 r,20 . z,1000cossin0sincos),(),(rrrzrzyx Vdxdydzzyxf),( Vdzddrrzrrf.),sin,cos( 第22页/共29页23, ).()(21 rrr 先将在xOy面上的投影域用极坐标不等式从而, ),()(21 rrr zrzrrfdddr),sin,cos( 故 ),(),(21d),sin,cos( rzrzzrzrrf )()(21dr rr d: 再确定的下, 上边界面),(1 rzz ),(2 rzz ),(),(21 rzzrz 表示第23页/共29页2

11、4 .cos,sinsin,cossin rzryrx3球面坐标与 直角坐标的关系为Pxyzo),(zyxM r zyxAxyzor sin),(),(2rwvuzyx ,0 ,0 r.20 第24页/共29页25Vdxdydzzyxf),( Vdddrrrrrf.sin)cos,sinsin,cossin( 2 球面坐标系中的体积微元为,sin 2 dddrrdV drxyzodr dsinr rd d d sinr再根据再V中r， ，的关系，化为三次积分。第25页/共29页26例9 计算平面 与0, 0, 0 zyx1 zyx所围成的四面体的体积.例10 计算三重积分，上半椭球体：, Vzdxdydz. 0, 1222222 zczbyax其中是例11 计算三重积分zyxxIVddd V：平面 x= 0, y = 0 , z = 0，x+2y+ z =1 所围成的区域4816142abc 第26页/共29页27与抛物面4222 zyx