2023年新高考数学一轮复习课时7.4《导数的综合应用》达标练习（教师版）

1、2023年新高考数学一轮复习课时7.4导数的综合应用达标练习设函数f(x)=ax2ln x1(aR).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数g(x)=ax2ex3，求证：f(x)g(x)在(0，)上恒成立.【答案解析】解：(1)由于f(x)=ax2ln x1(aR)，故f(x)=2ax=(x0).当a0时，f(x)0在(0，)上恒成立，所以f(x)在(0，)上是单调递减函数.当a0时，令f(x)=0，得x=.当x变化时，f(x)，f(x)随x的变化情况如下表：xf(x)0f(x)极小值由表可知，f(x)在(0,)上是单调递减函数，在(,+)上是单调递增函数.综上所述，当a0时，f(x)的

2、单调递减区间为(0，)，无单调递增区间；当a0时，f(x)的单调递减区间为(0,)，单调递增区间为(,+).(2)证明：f(x)g(x)=ax2ln x1ax2ex3=exln x2，令F(x)=exln x2(x0)，要证f(x)g(x)，只需证F(x)0.F(x)=ex，由指数函数及幂函数的性质知，F(x)=ex在(0，)上是增函数.又F(1)=e10，F()=e30，所以F(1)·F()0，F(x)在(，1)内存在唯一的零点，也即F(x)在(0，)上有唯一的零点.设F(x)的零点为t，则F(t)=et=0，即et=(<t<1)，由F(x)的单调性知，当x(0，t)时

3、，F(x)F(t)=0，F(x)为减函数；当x(t，)时，F(x)F(t)=0，F(x)为增函数.所以当x0时，F(x)F(t)=etln t2=ln2=t222=0，当且仅当t=1时，等号成立.又t1.故等号不成立.所以F(x)0，即f(x)g(x)在(0，)上恒成立.已知函数f(x)=aln x(a0)，e为自然对数的底数.(1)若过点A(2，f(2)的切线斜率为2，求实数a的值；(2)当x0时，求证：f(x)a(1-)；(3)若在区间(1，e)上0恒成立，求实数a的取值范围.【答案解析】解；(1)由题意得f (x)=，f (2)=2，a=4.(2)证明：f(x)a(1-)等价于a0，令g

4、(x)=a(ln x1)，则g(x)=a.令g(x)=0，即a=0，解得x=1，g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增.g(x)的最小值为g(1)=0，f(x)a(1-).(3)由题意可知：eex，化简得ln x，又x(1，e)，a.令h(x)=，则h(x)=，由(2)知，当x(1，e)时，ln x10，h(x)0，即h(x)在(1，e)上单调递增，h(x)h(e)=e1.ae1.已知函数f(x)=(x1)ex1，x0，1.(1)证明：f(x)0；(2)若a<<b在x(0，1)上恒成立，求ba的最小值.【答案解析】解：(1)证明：因为f(x)=xex0，即f(x)在0

5、，1上单调递增，所以f(x)f(0)=0，结论成立.(2)令g(x)=，则g(x)=>0，x(0，1)，所以，当x(0，1)时，g(x)<g(1)=e1，要使<b，只需be1.要使>a成立，只需exax1>0在x(0，1)上恒成立.令h(x)=exax1，x(0，1)，则h(x)=exa，由x(0，1)，得ex(1，e)，当a1时，h(x)>0，此时x(0，1)，有h(x)>h(0)=0成立，所以a1满足条件；当ae时，h(x)<0，此时x(0，1)，有h(x)<h(0)=0，不符合题意，舍去；当1<a<e时，令h(x)=0，得

6、x=ln a，可得当x(0，ln a)时，h(x)<0，即x(0，ln a)时，h(x)<h(0)=0，不符合题意，舍去.综上，a1.又be1，所以ba的最小值为e2.已知函数f(x)=2ex(xa)23，aR.(1)若函数f(x)的图象在x=0处的切线与x轴平行，求a的值；(2)若x0，f(x)0恒成立，求a的取值范围.【答案解析】解：(1)f(x)=2(exxa)，函数f(x)的图象在x=0处的切线与x轴平行，即在x=0处的切线的斜率为0，f(0)=2(a1)=0，a=1.(2)由(1)知f(x)=2(exxa)，令h(x)=2(exxa)(x0)，则h(x)=2(ex1)0，

7、h(x)在0，)上单调递增，且h(0)=2(a1).当a1时，f(x)0在0，)上恒成立，即函数f(x)在0，)上单调递增，f(x)min=f(0)=5a20，解得a，又a1，1a.当a1时，则存在x00，使h(x0)=0且当x0，x0)时，h(x)0，即f(x)0，则f(x)单调递减，当x(x0，)时，h(x)0，则f(x)0，即f(x)单调递增，f(x)min=f(x0)=2ex0(x0a)230，又h(x0)=2(ex0x0a)=0，2ex0(ex0)230，解得0x0ln3.由ex0=x0aa=x0ex0，令M(x)=xex,0xln3，则M(x)=1ex0，M(x)在(0，ln3上单

8、调递减，则M(x)M(ln3)=ln33，M(x)M(0)=1，ln33a1.综上，ln33a.故a的取值范围是ln33，.已知函数f(x)=mx，g(x)=3ln x.(1)当m=4时，求曲线y=f(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)若x(1, (e是自然对数的底数)时，不等式f(x)g(x)<3恒成立，求实数m的取值范围 .【答案解析】解：(1)当m=4时，f(x)=4x，f(x)=4，f(2)=5，又f(2)=6，所以所求切线方程为y=5x4.(2)由题意知，x(1， 时，mx3ln x<3恒成立，即m(x21)<3x3xln x恒成立，因为x(1， ，所以x2

9、1>0，则m<恒成立.令h(x)=，x(1，则m<h(x)min，h(x)=，因为x(1， ，所以h(x)<0，即h(x)在(1， 上是减函数.所以当x(1， 时，h(x)min=h()=.所以m的取值范围是（-，）.设函数已知函数f(x)=aex-x+1. （1）求函数f(x)的单调区间；（2）若f(x)在(0,3) 上只有一个零点，求a的取值范围； 【答案解析】解: 已知函数(1)当a=2时，求曲线f(x)在x=1处的切线方程；(2)设函数，求函数h(x)的单调区间；(3)若，在上存在一点，使得成立，求的取值范围【答案解析】解：已知函数f(x)=x2ax(a0)，g

10、(x)=lnx，f(x)的图象在它与x轴异于原点的交点M处的切线为l1，g(x1)的图象在它与x轴的交点N处的切线为l2，且l1与l2平行(1)求a的值；(2)已知tR，求函数y=f(xg(x)+t)在x1，e上的最小值h(t)；(3)令F(x)=g(x)+g(x)，给定x1，x2(1，+)，x1x2，对于两个大于1的正数，存在实数m满足：=mx1+(1m)x2，=(1m)x1+mx2，并且使得不等式|F()F()|F(x1)F(x2)|恒成立，求实数m的取值范围【答案解析】解：(1)y=f(x)图象与x轴异于原点的交点M(a，0)，f(x)=2xa，y=g(x1)=ln(x1)图象与x轴的交

11、点N(2，0)，g(x1)=由题意可得k l1=k l2，即a=1；(2)y=fxg(x)+t=xlnx+t2(xlnx+t)=(xlnx)2+(2t1)(xlnx)+t2t，令u=xlnx，在 x1，e时，u=lnx+10，u=xlnx在1，e单调递增，0ue，u2+(2t1)u+t2t图象的对称轴u=，抛物线开口向上，当u=0，即t时，y最小=t2t，当u=e，即t时，y最小=e2+(2t1)e+t2t，当0e，即t时，y最小=y|u=；(3)F(x)=g(x)+g(x)=lnx+，F(x)=0，所以F(x)在区间(1，+)上单调递增，当x1时，F(x)F(1)0，当m(0，1)时，有，=mx1+(1m)x2mx1+(1m)x1=x1，=mx1+(1m)x2mx2+(1m)x2=x2，得(x1，x2)，同理(x1，x2)，由f(x)的单调性知 0F(x1)F()、f()f(x2)，从而有|F()F()