实变函数与泛函分析点集 (2)

1、第五节 Cantor集第二章 点集Cantor集对0,1区间三等分，去掉去掉中间一个开区间，然后对留下的两个闭区间三等分闭区间三等分，各自去掉去掉中间一个开区间，此过程一直进行下去，最后留下的点留下的点即为Cantor集第第n次次去掉的开区间去掉的开区间留下的闭区间留下的闭区间12n1)1(iIi2 , 1)1 (iIi2)2(2, 2 , 1iIi2 , 1)2(iIi1( )1,2,2innIinniiI2, 2 , 1)(ininIG)(,定义：令称P=0,1- G=0,1Gc 为Cantor集Cantor集的性质ininIG)(,1 .分割点一定在Cantor集中 Cantor集P=0

2、,1- G=0,1Gc为闭集为闭集注：第n次共去掉2n-1个长为1/3n的开区间11231323111nnn2. P的“长度”为0，去掉去掉的区间长度和3.P没有内点( )x- x x+第 n+1次等分去掉的区间第n次等分留下的区间()130,nniIO（x, ）当时，有但由Cantor集的作法知，我们要对其继续三等分继续三等分去掉去掉中间一个开区间，从而 内至少有一点不属于P，所以x不可能是P的内点。O（x, ）证明：对任意x P, x必含在“去掉手续进行到第n次”时留下的2n个个长为1/3n的互不相交的某个闭区间中( )niI4.P中的点全为中的点全为聚点聚点,从而没有从而没有孤立孤立点点

3、)(),(xPOx从而从而x为P的聚点聚点，当然不为孤立点。)(, 0),(xPOx有 证明：对任意x P ， 只要证：( )1( , )3,nnxiniOI及某个，使)(niI 由Cantor集的作法知 而 的两个端点定在P中，第第n次等分留下的区间次等分留下的区间( )x- x x+nniI31|)(CANTOR集集6大性质：大性质： 是测度为零、基数为c 的疏朗完备集.定义1.稠密集、疏朗集（补充补充） 1.）稠密集稠密集 2.）疏朗集疏朗集结论5. CANTOR完备集是疏朗集结论6.P的基数为C参见：分形对象：形、机遇和维数 B.Mandelbrot; 实迭代张景中； 数学的源与流张顺

4、燕； 集合与面积李惠玲; 分形艺术:http:/; 分形频道http:/面积有限但边界线无限长(4/3)n的极限（20世纪上半世纪）有限维 到 无限维 (泛函分析)（20世纪下半世纪）有限维 到 分数维 (分形几何分形几何)Mandelbrot集合Mandelbrot集合局部放大 Nova分形Newton分形3.点集间的距离,: ),(inf),(: ),(inf),(ByAxyxdBAdByyxdBxdBA b.若 ,则 d(A,B)=0; 反之则不一定成立，如A=n - 1/n,B=n+1/n（都是闭集）Bxc.d(x,B)=0当且仅当 注：a.若x B,则d(x,B)=0;反之则不一定成

5、立，如x=0,B=(0,1)证明：利用d(x,E) d(x,z) d(x,y) +d(y,z) z E定理定理1 设E为中非空点集 ，则d(x,E)是的一致连续函数.所以d(x,E)是的一致连续函数。可得d(x,E) d(x,y) +d(y,E)，同理d(y,E) d(x,y) +d(x,E),故有|d(x,E)- d(y,E) | d(x,y)定理定理2：设A为非空闭闭集 ， xRn ，则必有yA,使得d(x,y)=d(x,A)11,( , )( ,)( , )nnnnyAd x Ad x yd x A使得闭集：与E紧挨的点不跑到E外，也即E外的点与E不可能紧挨limiinnnniyyyyy

6、由于为有界点列，故的子列，使1( , )( ,)( , )iinnd x Ad x yd x A又为闭集，故yA,对两边关于i取极限即得d(x,y)=d(x,A)( , )inf ( , ):d x Ad x yyA证明：由 可得定理定理3.：设A,B为非空闭闭集，且A有界界，则必有有xA, yB,使得d(x,y)=d(A,B)nnnnnnBAdyxdBAdByAx11),(),(),(,使得可知xxxxiininnlim，使的子列由于A有界，故,: ),(inf),(ByAxyxdBAd证明：由ABA有界不可少，如A=n - 1/n,B=n+1/nyyyyjijiinjnnlim，使的子列从

7、而jijijinnnBAdyxdBAd1),(),(),(又B为闭集，故yB,另外对两边关于j取极限得d(x,y)=d(A,B)又A为闭集，从而xA ，并可得yni有界因为当ni充分大时， d(x, yni) d(x, xni ) + d(xni, yni) 1 + ( d(A,B) + 1/ni ） 例例： 设F为R1中的有界闭集，G为开集且 则存在0，使得当|x| 时 ，有证明：由于 F为R1中的有界闭集，G为开集, 故= FGGFyxyxF:( F )G定理4. 设F1， F2为Rn中两个互不相交不相交的非空闭闭集，则存 在Rn 上的连续连续函数f(x) ，使得 （1）0 f(x) 1， x Rn（2） f(x)=0， x F1; f(x)=1, x F2注：可推广到一般的拓扑空间（参见：拓扑学 教材p168.）， 即Urysohn引理引理.是连续函数可得关于及证明：由xFxdFxdFxdFxdFxdxf),(),(),(),(),()(21211F2F1且 |f(x)|M（ x F） ，则