拉普拉斯变换2

1、Chapter 13 拉普拉斯变换主 要 内 容1.拉普拉斯变换的定义；2.拉普拉斯变换的基本性质；3.拉普拉斯反变换的部分分式法（分解定理）；4. KCL、KVL 的运算形式、运算阻抗(导纳)、运算电路；5.运用拉普拉斯变换分析线性电路。13 - 1 拉普拉斯变换的定义 定义在 0, ) 即 (0 t m ，则为真分式；若 n = m ，则将化为 )()(0sDsNAsF 1. 电路响应的象函数通常表示为两个实系数的 s 的多项式之比，也就是 s 的一个有理分式。 3. 展开有理分式F(s) 时，要求出 D(s) = 0 的根，再根据根的不同情况展开。 D(s) = 0 有 n 个单根，n

2、个单根分别为 p1, p2, , pn , 则可展开为 nnPskPskPsksF2211)(nkkk、 21为待定系数 )()()()(iipsiipDpNsFpskini, , 2 , 1 ninitpiitpiiiepDpNeksFLtf111)()( 例13-7：求 的原函数 f(t) 。sssssF10712)(23解：)5)(2(1210712)(23sssssssssF 的根分别为 0)5)(2(ssssD5 , 2 , 0321ppp10143)(2sssD又1 . 01014312)()(0211spsssssDsNk同理6 . 0 0.5,32kktteetf52 6 .

3、0 5 . 01 . 0)(故 D(s) = 0 具有共轭复根，p1 = + j , p2 = - j ,则 jsjssDsNsFjsk)()()(1 因 F(s) 是实系数多项式之比，故 k1, k2 为共轭复数设 ,则 ,有 111211 jjekkekktjjtjjtjtjeekeekekektf)(1)(1)(2)(111)(jsjssDsNsFjsk)()()(2) cos(21 1) () (111tekeeekttjtjt例13-8：求 的原函数 f(t)。523)(2ssssF解： D(s) = s2 + 2s + 5 = 0 的根分别为 p1 = -1 + j2 , p2 =

4、 -1 - j 2 424211 25 . 0 , 25 . 05 . 05 . 0223)()(1jjjspsekejsssDsNk)4 2cos(2)4 2cos( 2)( 1tetektftt D(s) = 0 具有重根，则应含有 ( s - p1)m 的因式 现设 D(s) = 0 中含有 ( s - p1)m 的因式，其余为单根， F(s)可分解为 niiimmmmnnpskpskpskpsksF211121)1(111)( )()(, ,3,2, )()(nisDsNkipsi mjsFpsdsdjkpsmjjj, ,2, 1 , )()()!1(111111 b, ) cos(2

5、)( , )()(11 111tektfsDsNekktjsja, 只要含有共轭复数，其系数则为共轭复数;这里例13-9：求 的原函数 f(t)。23) 1(1)(sssF解：令D(s) = (s+1)3s2 = 0, 有 p1= -1为三重根,p2= 0 为二重根2212231121213) 1() 1(1)( sksksksksksF这里111211ssk22)1(131212ssssdsdk3621)1(2114122213ssssdsdk1)1(10321ssk3) 1(3) 1(1(040322ssssdsdk23213) 1(1) 1(213)(ssssssFtetetesFLtf

6、ttt3 21 2 3)()(2113 - 4 运算电路0)( 0 sIiKCL0)( 0 sUuKVL2. 元件电压、电流关系的运算形式1. 基尔霍夫定律的运算形式 电阻 R 的电压、电流关系)( )(tiRtu)( )(sIRsU 电感 L 的电压电流关系sL 为电感L的运算阻抗， 为运算导纳，sL1dttdiLtu)()()0()()(LissLIsU或sisUsLsI)0()(1)(siLi)0( , )0()0(i ，为反映 作用的附加电压源电压和附加电流源电流。 电容C 的电压电流关系)0()(1)(0udiCtut 和 分别为 C 的运算阻抗和运算导纳。 sC1SC 和 分别为反

7、映 的附加电压源电压和附加电流源电流。 su)0()0(Cu)0(u 011ussIsCsU)0()()( CussCUsI或 耦合电感的运算电路 )0()()0()()( 1122222MissMIiLsIsLsU, 2111dtdiMdtdiLu)0()()0()()(221111MissMILisIsLsU , 1222dtdiMdtdiLua. 为互感运算阻抗， 和 都是附加电压源。 sM)0(1Mi)0 (2Mib. 附加电压源的极性与 i1, i2 的进端是否同名端有关。 3. 用运算法分析串联电路电压源电压为 ，电感电流初始值 ，电容电压初始值 )(tu)0(Li)0 (Cu由

8、，则 0)(SU0)()0()(1)0()()(sUsusIsCLissLIsRICL 令 为 RLC 串联电路的运算阻抗，在零初始条件下， ，则有 sCsLRsZ1)(0)0 ( , 0)0 (CLui运算形式欧姆定律 )()()(sUsIsZsuLisUsIsCsLRCL)0()0()()(1 例13-10：用拉氏变换求 RLC 串联电路的(a) 阶跃响应；(b)零输入响应。（设 ，欠阻尼）。CLR2解：(a) ，此时有0)0(, 0)0( , 1)(, )()(CLuissUttuLCsLRsLsCsLRssZsUsI1111)()()(2令 ，则得2200-, 2 , 1 LRdefL

9、Cdef2222)( 1)(11)(sLsLsI查表可得：teLtit sin 1)( (b) 设 ，则有0)0( , )0(0LCiUu2200)( )()(sLUsZsUsI查表可得: teLUtit sin )( 0 (c) 如求冲激响应，则有 1)( ),()(sUttu222)(1111)(1)(ssLLCsLRsLsssLRsZsI13 - 5 应用拉普拉斯变换分析线性电路1.相量法正弦量 相量求解正弦交流电路 求解以相量为变量的线性代数方程相量 正弦量 相量方程：描述电路的激励相量与响应相量的关系，求解正弦稳态响应2. 运算法时间函数 象函数求解时间函数 求解以象函数为变量的线性

10、代数方程象函数 时间函数 运算方程：描述电路的激励和响应的象函数关系，求解零状态响应。结论：相量法中各种计算方法和定理完全可以移用于运算法。 例13-11：图示电路原处于稳态，t = 0 时开关 S 闭合，试用运算法求解电流 i1(t)。解： sULVuiSCL1 , 1)0(, 0)0( 运算电路如图所示。设回路电流为 Ia(s)、Ib(s)，方向如图中所示，则有susIsCRsIsCsussIsCsIsCsLRCbaCba)0()()1()(1)0(1)(1)()1(21ssIssIssIssIssbaba1)()11 ()(10)(1)()11 (tetesILssssIsIttasin

11、cos121)( )22(1)()( 1121Atetetitt sincos121)( 1 例13-12：下图所示为 RC 并联电路，激励为电流源 is(t)，若 (1) iS(t) = (t) A，(2) iS(t) = (t) A， 试求响应 u(t) 。解：运算电路如右图，则有（1）当 iS(t) = (t) A 时， ssItiLSS1 RCsRsRRCssCRCssRssCRsCRsIsZsUS1111111 VteRsULtuRCt 1 1( 2) 当 iS(t) = (t) A 时， 1sIS RCsCsRCRsCRsCRsIsZsUS111111 VteCsULtuRCt 1

12、 1 例13-13：下图所示电路中，电路原处于稳态， t = 0 时将开关 S 闭合，已知 uS1= 2e-2t V, uS2 = 5 V, R1 = R2 = 5 ,L = 1H, 求 t 0 时的 uL(t) 。解： sLuLseLuLARuiStSSL55 , 222 , 102212 运算电路如右图所示。应用结点法（弥尔曼定理），有 151511125211151012212121sssssLRRsRLisLsRsUL5 . 25245222sssss VeesULtuttLL 45 25 . 21 例13-14：下图所示电路中，已知 R1 = R2 = 1 ,L1 = L2 = 0.

13、1H ,M = 0.05H , 激励为直流电压 US = 1V，试求 t = 0 时，开关闭合后的电流 i1(t) 和 i2(t) 。解：运算电路如右图所示，回路电流方程为 0122212111sIsLRssMIsssMIsIsLR 01.0105.0105.01.01 2121sIsssIsssIsIs解得： 12 . 01075. 005. 0 ,12 . 01075. 011 . 0222221sssIsssssI AeesILtitt 5 .05 .01 2067.6111 AeesILtitt 5.0 2067.6212 例1315：下图所示电路，开关 S 原来是闭合的，试求 S 打开后电路的电流及两电感元件上的电压。解: ARUiS5011 5 .1275.124 .055 .11051021211sssssLLsRRLssI AesILtit 75. 12 5 .121 开关 S 打开后，L1 和 L2 中的电流在 t = 0+时都被强制为同一电流，数值为 i(0+) = 3.75 A, 两个电感电流都发生了跃变，两个电感电压中出现冲激函数。 由于拉氏变换式中下限取为 0- ，故自动地把(电压)冲激函数考虑了进去，无需求 t = 0+ 时的跃变值。 应用拉氏变换进行线性非时变电路的时域分析时不必确定积分常数，可以应用Ch3、Ch4 所介绍的