谓词逻辑 离散数学

1、1第二章第二章 谓词逻辑谓词逻辑第一章第一章 命题逻辑回顾：命题逻辑回顾：2为什么引入谓词逻辑？为什么引入谓词逻辑？命题逻辑的特点：命题逻辑的特点：1、其研究的基本单位是原子命题；、其研究的基本单位是原子命题；2、不再对原子命题进行分解；、不再对原子命题进行分解；3、原子命题之间通过联结词组合成为复合命题，并由原子命题、原子命题之间通过联结词组合成为复合命题，并由原子命题的真值和联结词共同决定复合命题的真值；的真值和联结词共同决定复合命题的真值；4、原子命题本身之间并无实质联系。、原子命题本身之间并无实质联系。命题逻辑的局限性：命题逻辑的局限性：1、颗粒度太大，无法研究命题的内部关系；、颗粒度

2、太大，无法研究命题的内部关系；2、无法描述同一个体的多个性质；、无法描述同一个体的多个性质；3、无法描述具有共同属性（、无法描述具有共同属性（性质和关系性质和关系）的命题之间的联系；）的命题之间的联系；4、不能揭示某些有效的推论。、不能揭示某些有效的推论。因此，需要对命题逻辑进行推广，导致谓词逻辑被引入。因此，需要对命题逻辑进行推广，导致谓词逻辑被引入。3为什么引入谓词逻辑（实例）？为什么引入谓词逻辑（实例）？实例实例1（苏格拉底三段论）：（苏格拉底三段论）：所有的人都是要死的，苏格拉底是人，所以苏格拉底是要死的。所有的人都是要死的，苏格拉底是人，所以苏格拉底是要死的。 P：所有的人都是要死；

3、：所有的人都是要死； Q：苏格拉底是人；：苏格拉底是人； R：苏格拉底要死。：苏格拉底要死。三段论表示为三段论表示为(P Q)R，但该公式，但该公式在命题逻辑里在命题逻辑里不是重言式。不是重言式。实例实例2： P：所有自然数有大于它的素数；：所有自然数有大于它的素数； Q：100是自然数；是自然数； R： 100有大于它的素数。有大于它的素数。从谓词逻辑的角度：从谓词逻辑的角度：实例中实例中P和和Q有联系；有联系；Q和和R有联系；有联系；P和和R也有联系。在学习谓词逻辑之后，将看到实例中的有效推论。也有联系。在学习谓词逻辑之后，将看到实例中的有效推论。4什么是谓词逻辑？什么是谓词逻辑？1、回顾

4、：什么是命题？、回顾：什么是命题？2、由表及里由表及里看命题：命题由其看命题：命题由其基本成分基本成分（主、谓、宾等）（主、谓、宾等）构成。构成。3、判断：、判断：x=5 是否命题？是否命题？4、通过量化，引入量词，可以把一部分非命题转化为命题。、通过量化，引入量词，可以把一部分非命题转化为命题。因此，谓词逻辑研究的基本部件包括：因此，谓词逻辑研究的基本部件包括：个体个体（及其（及其论论域域）、）、谓词谓词、量词量词等。等。谓词逻辑与命题逻辑之间的关系：谓词逻辑与命题逻辑之间的关系：l 继承继承（联结词、等价公式、蕴含公式、推理规则（联结词、等价公式、蕴含公式、推理规则）；）；l 发展发展（量

5、词、新公式、新规则（量词、新公式、新规则） 。52.1、2.2 谓词的概念与表示谓词的概念与表示 概念概念1：个体词：个体词个体词（个体词（主语或宾语等主语或宾语等）所研究对象中可以独立存在的所研究对象中可以独立存在的具体（如：张三）具体（如：张三）或或抽象（如：抽象（如：3，x）的客体）的客体。分类：分类： 个体常项个体常项：具体的事物，用：具体的事物，用a, b, c表示；表示； 个体变项个体变项：抽象的事物，用：抽象的事物，用x, y, z表示。表示。讨论对象：讨论对象： 个体域个体域(论域论域)个体变项的取值范围。个体变项的取值范围。 有限个体域，如有限个体域，如 a, b, c, 1

6、, 2； 无限个体域，如无限个体域，如 N, Z, R, 全总个体域（全总个体域（默认默认）由宇宙间一切事物组成。由宇宙间一切事物组成。6概念概念2：谓词谓词谓词谓词表示个体词性质或相互之间关系的词表示个体词性质或相互之间关系的词分类分类1： 谓词常项：表示具体性质或关系的谓词谓词常项：表示具体性质或关系的谓词，如，如, F(a)：a是人是人 谓词变项：表示抽象或泛指的性质或关系的谓词，谓词变项：表示抽象或泛指的性质或关系的谓词，如如, G(x)：x具有性质具有性质G分类分类2：n（n 1）元谓词（含）元谓词（含n个个命题变元命题变元的谓词）的谓词） 一元谓词一元谓词(n=1)表示性质；表示性

7、质； 多元谓词多元谓词(n 2)表示事物之间的关系；表示事物之间的关系； 如如, L(x,y)：x与与 y 有关系有关系 L，L(x,y)：x y，注意：注意：1、 0元谓词元谓词不含个体变项的谓词不含个体变项的谓词, 即命题常项，因此，可将即命题常项，因此，可将命题看成特殊的谓词命题看成特殊的谓词；2、个体的顺序不能任意调换，否则可能影响其真值；、个体的顺序不能任意调换，否则可能影响其真值；3、个体域的选取决定谓词是否成为命题及其真值情况。、个体域的选取决定谓词是否成为命题及其真值情况。7概念概念3：命题函数命题函数 简单命题函数简单命题函数由一个由一个谓词谓词和若干个个体和若干个个体变元变

8、元组成的命题组成的命题形式称为简单命题函数，表示为形式称为简单命题函数，表示为P(x1,x2,xn)。复合命题函数复合命题函数由一个或若干个由一个或若干个简单命题函数简单命题函数以及以及逻辑联结逻辑联结词词组成的命题形式称为复合命题函数。组成的命题形式称为复合命题函数。注意：注意：1、当所有的、当所有的个体变元个体变元用特定的用特定的个体常元个体常元替换替换之后，命题函数之后，命题函数成为一个命题（可见：成为一个命题（可见：命题函数不是一个命题命题函数不是一个命题）；）；2、命题函数是一类函数，有、命题函数是一类函数，有定义域定义域、值域值域；3、命题函数与、命题函数与一般函数一般函数、真值函

9、数真值函数的区别；的区别；4、复合命题函数的真值由组成它的、复合命题函数的真值由组成它的简单命题函数简单命题函数以及以及逻辑联逻辑联结词决定。结词决定。8概念概念4：量词量词(1/2)量词量词表示个体常量与个体变量之间数量关系的词表示个体常量与个体变量之间数量关系的词, 起到把个起到把个体变量变成常量的作用（如：体变量变成常量的作用（如：x=5）( 和和 的由来？的由来？) 全称量词全称量词 : 表示所有的表示所有的. x : 对个体域中所有的对个体域中所有的x； 如如, xF(x)表示个体域中所有的表示个体域中所有的x具有性质具有性质F ； x yG(x,y)表示个体域中所有的表示个体域中所

10、有的x和和y有关系有关系G ； 存在量词存在量词 : 表示存在表示存在, 有一个有一个. x : 个体域中有一个个体域中有一个x ； 如如, xF(x)表示个体域中有一个表示个体域中有一个x具有性质具有性质F ； x yG(x,y)表示个体域中存在表示个体域中存在x和和y有关系有关系G ； x yG(x,y)表示对个体域中每一个表示对个体域中每一个x都存在一个都存在一个y使得使得 x和和y有关系有关系G ； x yG(x,y)表示个体域中存在一个表示个体域中存在一个x使得对每一个使得对每一个y, x和和y有关系有关系G ；9概念概念4：量词量词(2/2)( x)P(x) 对于每一个对于每一个x

11、,P(x)=T有一个有一个x,P(x)=F( x)P(x) 有一个有一个x,P(x)=T对于每一个对于每一个x,P(x)=F注意：注意：1、有限个体域的量词含义；、有限个体域的量词含义；2、量词的、量词的顺序顺序不能随意调换；不能随意调换；3、 和和 的变换关系。的变换关系。10实例实例1例例1 分别用命题逻辑和谓词逻辑将命题符号化分别用命题逻辑和谓词逻辑将命题符号化 (1) 墨西哥位于南美洲墨西哥位于南美洲 (2) 是无理数那么是无理数那么 是有理数是有理数 (3) 如果如果23，则，则33，q：3y，G(x, y)：xy x(F(x)y(G(y)L(x,y)或者或者 x y(F(x) G(

12、y)L(x,y) (2) 令令F(x)：x是无理数，是无理数，G(y)：y是有理数，是有理数，L(x,y)：xy x(F(x)y(G(y) L(x,y)或者或者 x y(F(x) G(y) L(x,y)可见：命题符号化在谓词逻辑中不是唯一的。可见：命题符号化在谓词逻辑中不是唯一的。13实例实例4例例4 在一阶逻辑中将下面命题符号化在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 没有不呼吸的人没有不呼吸的人 (2) 不是所有的人都喜欢吃糖不是所有的人都喜欢吃糖解解 (1) F(x): x是人是人, G(x): x呼吸呼吸x(F(x)G(x) x(F(x)G(x)(2) F(x): x是人是人, G(x):

13、 x喜欢吃糖喜欢吃糖 x(F(x)G(x)x(F(x)G(x)14实例实例5例例 若论域是不超过若论域是不超过4的正整数的正整数,P(x)是语句是语句”x210”, ( x)P(x) 的真值是什么的真值是什么? P(1) P(2) P(3) P(4) 15谓词谓词公式的语法公式的语法定义（谓词公式的组成符号：字母表）定义（谓词公式的组成符号：字母表） 字母表字母表包括下述符号：包括下述符号： (1) 个体常项符号：个体常项符号：a, b, c, , ai, bi, ci, , i 1 (2) 函数符号：函数符号：f, g, h, , fi, gi, hi, , i 1 (3) 谓词符号：谓词符

14、号：F, G, H, , Fi, Gi, Hi, , i 1 (4) 个体变项符号：个体变项符号：x, y, z, , xi, yi, zi, , i 1 (5) 量词符号：量词符号： , (6) 联结词符号：联结词符号： , , , , (7) 括号与逗号：括号与逗号：(, ), ，16项与原子公式项与原子公式定义（项）定义（项） 项项的定义如下：的定义如下：(1) 个体常项和个体变项是项个体常项和个体变项是项.(2) 若若 (x1, x2, , xn)是任意的是任意的n元函数，元函数，t1, t2, , tn是任意的是任意的 n个项，则个项，则 (t1, t2, , tn) 是项是项.(3

15、) 所有的项都是有限次使用所有的项都是有限次使用(1),(2)得到的。得到的。 如如, a, x, x+y, f(x), g(x,y)等都是项。等都是项。 定义（原子公式）定义（原子公式） 设设R(x1, x2, , xn)是是L 的任意的任意n元谓词，元谓词，t1, t2, , tn 是是L 的任意的任意n个项，则称个项，则称R(t1, t2, , tn)是是L 的的原子公式原子公式. 其中：其中：L是谓词逻辑的形式语言。是谓词逻辑的形式语言。 如，如，F(x, y), F(f(x1, x2), g(x3, x4)等均为原子公式等均为原子公式17定义（合式公式）定义（合式公式） 谓词合式公式

16、谓词合式公式定义如下：定义如下： (1) 原子公式是合式公式原子公式是合式公式. (2) 若若A是合式公式，则是合式公式，则 ( A)也是合式公式也是合式公式 (3) 若若A, B是合式公式，则是合式公式，则(A B), (A B), (AB), (AB)也是也是 合式公式合式公式 (4) 若若A是合式公式，则是合式公式，则 xA, xA也是合式公式也是合式公式 (5) 只有有限次地应用只有有限次地应用(1)(4)形成的符号串才是合式公式形成的符号串才是合式公式.谓词合式公式简称谓词合式公式简称谓词公式谓词公式 如如, F(x), F(x)G(x,y), x(F(x)G(x) x y(F(x)

17、G(y) L(x,y)等都是合式公式等都是合式公式思考：谓词公式的子公式如何定义？思考：谓词公式的子公式如何定义？合式公式合式公式18辖域和变元（辖域和变元（1/2）定义定义 在公式在公式 xA 和和 xA 中，称中，称x为为指导变元指导变元，A为相应为相应量词的量词的辖域辖域. 在在 x和和 x的的辖域辖域中，中，x的所有出现都称为的所有出现都称为约束出约束出现（约束变元）现（约束变元），A中不是约束出现的其他变项均称为是中不是约束出现的其他变项均称为是自由出现（自由变元）自由出现（自由变元）的的. 例如例如， x(F(x,y)G(x,z)， x为指导变元，为指导变元，(F(x,y)G(x,

18、z)为为 x 的的辖域辖域，x的两次出现均为约束出现，的两次出现均为约束出现，y与与 z 均为自由出现。均为自由出现。又如又如, x(F(x,y,z)y(G(x,y) H(x,y,z), x中的中的x是指导变元是指导变元, 辖域为辖域为(F(x,y,z)y(G(x,y) H(x,y,z). y中的中的y是指导变元是指导变元, 辖辖域为域为(G(x,y) H(x,y,z). x的的3次出现都是约束出现次出现都是约束出现, y的第一次出的第一次出现是自由出现现是自由出现, 后后2次是约束出现次是约束出现, z的的2次出现都是自由出现。次出现都是自由出现。19辖域和变元（辖域和变元（2/2） 注意：

19、根据约束变元的概念，注意：根据约束变元的概念，P(x1,x2,xn)是是n元谓词，它元谓词，它有有n个相互独立的个相互独立的自由变元自由变元。若对其中的。若对其中的k个变元进行约束个变元进行约束则成为则成为nk元谓词。元谓词。思考：局部变量和全局变量？思考：局部变量和全局变量？20换名换名原因：原因：在谓词公式中，同一变元形式既是约束变元又是自由变在谓词公式中，同一变元形式既是约束变元又是自由变元，这在概念上易引起混乱，因此需要对约束变元进行换名。元，这在概念上易引起混乱，因此需要对约束变元进行换名。使得一个变元在一个公式中只呈现一种形式，即呈自由出现使得一个变元在一个公式中只呈现一种形式，即

20、呈自由出现或呈约束出现。或呈约束出现。可行性：可行性：一个公式的变元，在无歧义的前提下，所使用的名称一个公式的变元，在无歧义的前提下，所使用的名称符号是无关紧要的。符号是无关紧要的。例如：例如：设：设：A(x)：x是不小于是不小于0，那么，那么( x)A(x)表示一切表示一切x都使得都使得x不小于不小于0；( y)A(y)表示一切表示一切y都使得都使得y不小于不小于0；( z)A(z)表示一切表示一切z都使得都使得z不小于不小于0。这三个命题在实数域中都表示假命题这三个命题在实数域中都表示假命题“一切实数均不小于一切实数均不小于0”。同理，同理，( x)A(x)、( y)A(y)与与( z)A

21、(z)意义也是相同的。意义也是相同的。21约束变元换名（约束变元换名（1/2）对谓词公式对谓词公式A中的约束变元，遵照一定的规则更改中的约束变元，遵照一定的规则更改名称符号，称为名称符号，称为约束变元换名约束变元换名。 其规则为：其规则为：将将量词中的指导变元量词中的指导变元，以及，以及该量词辖域中所出该量词辖域中所出现的该变元现的该变元，全部换成，全部换成新的变元符号新的变元符号，保持公式，保持公式的其余部分不变。的其余部分不变。换名时换名时新变元新变元一定要更改为作用域中一定要更改为作用域中没有出现没有出现的变元名称的变元名称，最好是公式中没有出现过的符号。，最好是公式中没有出现过的符号。

22、22约束变元换名（约束变元换名（2/2）例例 对对( x)(P(x)R(x,y) Q(x,y)换名。换名。解：可换名为：解：可换名为：( z)(P(z)R(z,y) Q(x,y)。 但是不能换名为：但是不能换名为：( y)(P(y)R(y,y) Q(x,y)、( z)(P(z)R(x,y) Q(x,y)。23自由变元代入（自由变元代入（1/2） 对于公式中的自由变元，也允许更改，这种更改叫对于公式中的自由变元，也允许更改，这种更改叫做做代入代入。 自由变元的代入，要遵循自由变元的代入，要遵循自由变元代入规则自由变元代入规则：对于谓词公式中的自由变元，可以作代入，代对于谓词公式中的自由变元，可以

23、作代入，代入是需对入是需对公式中公式中出现该自由变元的出现该自由变元的每一处每一处进行。进行。用以代入的用以代入的新变元新变元与原公式中与原公式中所有变元所有变元的名称的名称不能相同。不能相同。24自由变元代入（自由变元代入（2/2）例例 对对( x)(P(y) R(x,y)代入。代入。解：对解：对y施行代入，经代入后公式为：施行代入，经代入后公式为：( x)(P(z) R(x,z) 但是但是( x)(P(x) R(x,y)、 ( x)(P(z) R(x,y)、 ( x)(P(x) R(x,z) 这三种代入都是与规则不符的。这三种代入都是与规则不符的。25封闭的公式封闭的公式定义（闭式）定义（

24、闭式） 若公式若公式A中不含自由出现的个体变项，则称中不含自由出现的个体变项，则称A为为封闭的公式封闭的公式，简称，简称闭式闭式.思考思考1：与闭式对应的：与闭式对应的开式开式？例如，例如， x y(F(x) G(y)H(x,y) 为闭式，为闭式，而而 x(F(x) G(x,y) 不是闭式不是闭式 思考思考2：闭式是命题函数还是命题？开式呢？：闭式是命题函数还是命题？开式呢？26赋值与谓词公式的类型赋值与谓词公式的类型l 在谓词公式中，常包含在谓词公式中，常包含谓词变元谓词变元和和客体变元客体变元，当，当客体变元客体变元由由确定的客体确定的客体取代，取代，谓词变元谓词变元用用确定的谓词确定的谓

25、词所取代时，就所取代时，就称为对称为对谓词公式的赋值谓词公式的赋值。l 一个谓词公式经过赋值以后，就成为具有确定真值一个谓词公式经过赋值以后，就成为具有确定真值T 或或F 的命题，即成为的命题，即成为命题命题。 定义定义 若公式若公式A在任何解释下均为真在任何解释下均为真, 则称则称A为为永真式永真式(有效有效式式). 若若A在任何解释下均为假在任何解释下均为假, 则称则称A为为矛盾式矛盾式(永假式永假式). 若至少有一个解释使若至少有一个解释使A为真为真, 则称则称A为为可满足式可满足式.说明：说明：1936年年Church和和Turing分别独立地证明了：对于谓词分别独立地证明了：对于谓词

26、逻辑，判断公式是否是可满足的逻辑，判断公式是否是可满足的(永真式永真式, 矛盾式矛盾式)是不可判是不可判定的。定的。27代换实例代换实例定义（代换实例）定义（代换实例） 设设A0是含命题变项是含命题变项 p1, p2, , pn的命题公的命题公式，式，A1, A2, , An是是n个谓词公式，用个谓词公式，用Ai (1 i n) 处处代替处处代替A0中的中的pi，所得公式，所得公式A称为称为A0的的代换实例代换实例.例如，例如， F(x)G(x), xF(x)yG(y)等都是等都是pq的代换实例的代换实例.代换定理：重言式代换定理：重言式的代换实例都是永真式，的代换实例都是永真式，矛盾式矛盾式

27、的代换实的代换实例都是矛盾式例都是矛盾式. 思考：代换与代入的区别？思考：代换与代入的区别？28实例实例例例 判断下列公式中，哪些是永真式，哪些是矛盾式？判断下列公式中，哪些是永真式，哪些是矛盾式？ (1) xF(x)( x yG(x,y)xF(x)重言式重言式 p(qp) 的代换实例，故为永真式的代换实例，故为永真式. (2) ( xF(x)yG(y)yG(y)矛盾式矛盾式 (pq) q 的代换实例，故为永假式的代换实例，故为永假式. (3) x(F(x)G(x)解释解释I1: 个体域个体域N, F(x):x5, G(x): x4, 公式为真公式为真 解释解释I2: 个体域个体域N, F(x

28、):x5, G(x):xx。请看下述推导：请看下述推导：(1).( x)( y)G(x,y)P(2).( y)G(y,y)US,全称特定化规则全称特定化规则(US)正确的推导为：正确的推导为：(1).( x)( y)G(x,y)P(2).( y)G(w,y)US,错误的结论错误的结论58存在特定化规则存在特定化规则(ES)例如例如， x( (x=y) )中，中，x、y的论域是实数集合。的论域是实数集合。若使用若使用ES规则，则得规则，则得c=y，即在实数集中有一实，即在实数集中有一实数数c，等于任意实数，等于任意实数y。结论显然不成立，这是因为结论显然不成立，这是因为A(x)：x=y中的中的x

29、依赖依赖于自由变量于自由变量y，此时不能使用，此时不能使用ES规则。规则。另外，要注意的是，另外，要注意的是，如果如果 xP(x)和和 xQ(x)都真都真，则对于某个则对于某个c和某个和某个d，可以断定，可以断定 P(c) Q(d)必真，必真，但不能断定但不能断定P(c) Q(c)为真为真。59谓词演算的推理理论（续谓词演算的推理理论（续2） 全称一般化规则全称一般化规则( (UG) )：A(x)yA(y)这个规则是说，如果个体域中任意一个个体都具这个规则是说，如果个体域中任意一个个体都具有性质有性质A，则个体域中的全体个体都具有性质，则个体域中的全体个体都具有性质A。这里要求这里要求x必须为

30、自由变量，并且必须为自由变量，并且y不出现在不出现在A(x)中中。 思考：思考：A(c)yA(y)？ 存在一般化规则存在一般化规则( (EG) )：A(c)yA(y)， A(x)yA(y)这个规则是说，如果个体域中某一元素这个规则是说，如果个体域中某一元素c具有性具有性质质A，则个体域中存在着具有性质，则个体域中存在着具有性质A的元素。的元素。这里要求这里要求y不在不在A(c)中出现。中出现。 60证明：证明：（1） x(P(x)Q(x) P规则规则（2）P(c)Q(c) (1)；US（3）P(c) P规则规则（4）Q(c) (2),(3) ； I例例 证明证明: x(P(x)Q(x) P(c

31、)Q(c)直接证法（例直接证法（例1）61归谬法归谬法试证：试证： 前提：前提： x(F(x) G(x), xG(x)；结论：；结论： xF(x) 证明：证明： xF(x) 结论否定引入结论否定引入 x F(x) 置换置换 xG(x) P规则规则 x G(x) 置换置换 x(F(x) G(x) P规则规则 F(c) US G(c) US F(c) G(c) US G(c) 析取三段论析取三段论 G(c) G(c) 合取引入合取引入 思考：直接证法如何证？思考：直接证法如何证？62间接证法间接证法2（CP规则）规则）证明：证明：( x)(F(x)G(x)( x)F(x)( x)G(x)原题可改写

32、成：原题可改写成：( x)(F(x)G(x)( x)F(x)( x)G(x) 证明：证明： ( x)F(x) CP(附加前提附加前提) ( x) F(x) T量词否定等价式量词否定等价式 F(c) ES ( x) (F(x)G(x) P F(c)G(c) US G(c) T析取三段论析取三段论 ( x)G(x) EG ( x)F(x)( x)G(x) CP63（1） x(F(x) G(x) 前提前提（2）F(c) G(c) （1），），ES（3）F(c) （2）（4） y(H(y) I(y) 前提前提（5）H(c) I(c) （4）（6）H(c) （5）（7）F(c) H(c) （3）,（6）

33、（8） x(F(x) H(x) （7），），EG。 例例 指出下面推理中的错误。指出下面推理中的错误。 前提：前提： x(F(x) G(x) ， y(H(y) I(y) ；结论：；结论： x(F(x) H(x) 。找错找错64谓词逻辑推理总结（谓词逻辑推理总结（1）1 1） 为了在推导过程中消去量词，可以引用规则为了在推导过程中消去量词，可以引用规则USUS和规则和规则ESES来消来消去量词。去量词。2 2） 当所要求的结论可能被定量时，此时可引用规则当所要求的结论可能被定量时，此时可引用规则UGUG和规则和规则EGEG将其量词加入。将其量词加入。3 3） 在推导过程中，对消去量词的公式或公式中没含量词的子公在推导过程中，对消去量词的公式或公式中没含量词的子公式，完全可以引用命题演算中的基本等价公式和基本蕴涵公式，完全可以引用命题演算中的基本等价公式和基本蕴涵公式。式。4 4）在推导过程中，对含有量词的公式可以引用谓词中的基本等）在推导过程中，对含有量词的公式可以引用谓词中的基本等价公式和基本蕴涵公式。价公式和基本蕴涵公式。5 5）在推导过程中，如既要使用规则）在推导过程中，如既要使用规则USUS又要使用规则又要使用规则ESES消去公式消去公式中的量词中的量词( (要先使用规则要先使用规则ESES，再使用规则，再使用规则USUS) )。然后再使用命。然后再使用命题演算中的推理