数学物理方程习题演示教学

1、数学物理方程复习2第四章 拉普拉斯方程的格林函数法别离变量法主要适用于求解各种有界问题，而行波法那么主要适用于求解各种无界问题，这两种方法所得到的解一般分别为无穷级数和无穷积分的形式。格林函数法给出的解那么是有限积分的形式，十分便于理论分析和研究。格林公式光滑闭曲面 （边界）闭曲面 所包围的空间 边界 + 所包围的空间 =1 第一边值问题在空间 中某一区域 的边界 上，给定了连续函数 ，要求这样一个函数 ,它在闭区域 （或记作 ）上连续，在 内有连续偏导数，且满足拉普拉斯方程，在 上与已知函数 相重合，即 第一边值问题也称为迪利克莱Dirichlet)问题，或简称为迪氏问题。调和函数谈到拉普拉

2、斯的连续解，也就是说，具有二阶连续偏导数并且满足拉氏方程的连续函数，称为调和函数。所以，迪氏问题也可以换一种说法：在区域 内 寻找一个调和函数，使它在边界 上的值为已知！2 第二边值问题在某光滑的闭曲面的边界 上给出连续函数 ，要求寻找这样一个函数 ，它在 内部的区域 中是调和函数，在 上连续，在 上任意一点处的法向导数 存在，并且等于已知函数 在该点的值：第二边值问题，也称为牛曼Neumann问题第一 Green 公式第二 Green 公式重要！格林函数Laplace 方程的 Dirichlet 问题的解为其中Poisson 方程 的 Dirichlet 问题的解为其中用镜象法求特殊区域上的

3、函数。 上半空间内的Green函数及Dirichlet问题 求解上半空间 内的Dirichlet问题 先求上半空间 内的Green函数 ，即求解问题 格林函数的应用 1 寻找“电象点在半空间 处的 点，放置单位正电荷，找出关于 平面的对称点 ，并且在该点置等量异电荷（单位负电荷）。这样 与 所产生的电位，在 平面上相互抵消。（2） 寻找格林函数 3 求定解问题的解写出导数-注意求导方向；写出积分解-主要是积分区域 注意用对公式球域的格林函数 设有一球心在原点，半径为 的球面 ，在球内任取一点 ，连接OM0并延长至 ，使 ，点 被称为点 关于球面 的反演点或镜像点。以 表示 ，则 1找镜像点在

4、放置单位正电荷，在 放置 单位的负电荷。下面，需要适当选择 的值，使得这两个电荷所产生的电位，在球面 上相互抵消。即或其中， 是球面 上任一点。2寻找调和函数因此，只要在点 处放置 单位的负电荷，由它所形成的电场，在任一点 的电位这个电位 ，不仅在 所围成的球域 的内部是调和函数！而且在 上具有一次连续可微，同时在 上满足球域的格林函数为3求解球域内的 迪氏问题利用格林函数求球域内的迪氏问题为此，需要计算出 。注意用对公式从更广泛的意义上于是代入式，可得球内迪氏问题的解在球面 上 , 有考试时候写到这一步就够了！写成球坐标形式其中：格林函数求拉普拉斯方程考试求解步骤要求：确定方程类型拉普拉斯o

5、r泊松；狄氏寻找电象点作图标明写出格林函数正确写出求导方向、边界及条件明确在哪个边界上对谁求导写出方程解的积分形式积分限、被积函数习题四. 2习题四. 3作业3：四分之一空间的格林函数 在四分之一半空间内的 点，放置单位正电荷，首先找出关于 平面的对称点 ，并且在该点置等量异电荷（单位负电荷）。这样 与 所产生的电位，在 平面上相互抵消。1建立反演点或镜像点其次，找出M0和M1关于y=0平面的对称点M2(x0,-y0,z0)及M3(x0,-y0,-z0)，并在这两点分别放置与M0和M1点等量的异电荷。这样M2与M3所产生的电位，与M0和M1所产生的电位在y=0平面上相互抵消。2寻找调和函数调和

6、函数可得，格林函数为3求域内的狄氏问题 - -在边界上求导入并带入解的公式作业4：上半球域的格林函数 1建立反演点或镜像点设球心在坐标原点, 在球域内上取一点 并在该点放置一个单位正电荷，令在 关于球面的对称点处放置一个 单位的负电荷,在 关于平面z=0的对称点处放置一个 单位负电荷,在 关于球面的对称点处放置一个 单位的正电荷。2寻找调和函数那么半球内的格林函数为3求域内的狄氏问题 - -在边界上求导入并带入解的公式展开形式同球域贝塞尔函数由二维热传导方程，通过别离变量法，引出贝塞尔方程- n 阶贝塞尔方程的常见形式(重要！)用 x 表示自变量, y=y(x) 表示未知函数,其中n 为任意实数或者复数, 仅讨论 的情形.贝塞尔方程的求解则 n 阶贝塞尔方程为:方程的一个特解：n阶第一类贝塞尔函数n 为整数方程的另一个特解：n阶第二类贝塞尔函数综上，贝塞尔方程的通解可写为性质1 有界性 性质2 奇偶性 贝塞尔函数的性质要求有界性和奇偶性会证明当n为正整数时 上面两式左边的导数求出来, 并经过化简贝塞尔函数的递推公式一定会证明！两式相加减分别消去 和例1 求不定积分解 例2 利用递推公式证明分别令 n = 1, n = 2, 得