第七节常系数齐次线性微分方程

1、二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程second order homogeneour linear differential equation with constant coefficient二阶变系数齐次线性微分方程二阶变系数齐次线性微分方程 second order homogeneous linear differential equation with variable coefficient 特征方程特征方程 characteristic equation 常系数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第七节齐次线性微分方程 基本思路: 求解常系数线性齐次微分方程 求

2、特征方程(代数方程)之根转化 第七章 一、定义)(1)1(1)(xfyPyPyPynnnn n阶常系数线性微分方程的标准形式阶常系数线性微分方程的标准形式0 qyypy二阶常系数齐次线性方程的标准形式二阶常系数齐次线性方程的标准形式)(xfqyypy 二阶常系数非齐次线性方程的标准形式二阶常系数非齐次线性方程的标准形式二、二阶常系数齐次线性方程解法-特征方程法特征方程法,rxey 设设将其代入上方程将其代入上方程, 得得0)(2 rxeqprr, 0 rxe故有故有02 qprr特征方程特征方程,2422,1qppr 特征根特征根0 qyypy 有两个不相等的实根有两个不相等的实根,2421q

3、ppr ,2422qppr ,11xrey ,22xrey 两个线性无关的特解两个线性无关的特解得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为;2121xrxreCeCy )0( 特征根为特征根为 有两个相等的实根有两个相等的实根,11xrey ,221prr )0( 一特解为一特解为得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为;)(121xrexCCy 代入原方程并化简，代入原方程并化简，将将222yyy , 0)()2(1211 uqprrupru, 0 u知知,)(xxu 取取,12xrxey 则则,)(12xrexuy 设设另另一一特特解解为为特征根为特征根为 有一对共轭复根有一对共轭复根,1 jr ,

4、2 jr ,)(1xjey ,)(2xjey )0( 重新组合重新组合)(21211yyy ,cos xex )(21212yyjy ,sin xex 得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为).sincos(21xCxCeyx 特征根为特征根为定义定义 由常系数齐次线性方程的特征方程的根由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为确定其通解的方法称为特征方程法特征方程法. .044的通解的通解求方程求方程 yyy解解特征方程为特征方程为,0442 rr解得解得,221 rr故所求通解为故所求通解为.)(221xexCCy 例例1 1.052的通解的通解求方程求方程 yyy解解特征方程为

5、特征方程为,0522 rr解得解得,2121jr ，故所求通解为故所求通解为).2sin2cos(21xCxCeyx 例例2 2三、n阶常系数齐次线性方程解法01)1(1)( yPyPyPynnnn特征方程为特征方程为0111 nnnnPrPrPr特征方程的根特征方程的根通解中的对应项通解中的对应项rk重重根根若若是是rxkkexCxCC)(1110 jk复复根根重重共共轭轭若若是是xkkkkexxDxDDxxCxCC sin)(cos)(11101110注意注意n次代数方程有次代数方程有n个根个根, 而特征方程的每一个而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项根都对应着通解中的一项, 且每一项

6、各一个且每一项各一个任意常数任意常数.nnyCyCyCy 2211特征根为特征根为, 154321jrrjrrr 故所求通解为故所求通解为.sin)(cos)(54321xxCCxxCCeCyx 解解, 01222345 rrrrr特征方程为特征方程为, 0)1)(1(22 rr.022)3()4()5(的通解的通解求方程求方程 yyyyyy例例3 3四、小结二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:（1）写出相应的特征方程）写出相应的特征方程;（2）求出特征根）求出特征根;（3）根据特征根的不同情况）根据特征根的不同情况,得到相应的通解得到相应的通解. (见下表见下表)02 qprr0 qyypy 特征根的情况特征根的情况 通解的表达式通解的表达式实根实根21rr 实根实根21rr 复根复根 ir 2, 1xrxreCeCy2121 xrexCCy2)(21 )sincos(21xCxCeyx 作业作业 P340 1 ; 2; 思考题思考题求微分方程求微分方程 的通解的通解. yyyyyln