第三章均值方差证券投资组合选择模型(金融数学李向科)

1、马科维茨Markowitz证券组合选择投资选择：风险（低）收益（高）之间的“平衡”基于期望收益率上的投资决策，最多只能获得最高的平均收益率平均收益率 风险收益的“数量化”前沿组合、无差异曲线数学性质l用随机变量表示未来的收益率l用期望代表：平均收益率l方差代表风险（得到平均收益率的不确定性 ）l从分布函数（条件太强）计算收益和风险l从“历史”样本估计收益和风险nttnttnrrnrnrrr12211111)(,.,l某一证券价格的变动可能伴随着另一证券价格的变动。关联性普遍存在。l需要度量关联性的方向和程度l随机变量的协方差和相关系数l从联合分布可计算。l用历史数据计算（3.10）(3.11)

2、212112221121),cov()(),cov(rrrrrrErrl三种相关程度：l1、完全线性相关：完全决定另一个lAB1或AB-1lrAabrB , 2Ab22B l2、不完全线性相关：“部分”决定另一个lrAabrB l2Ab22B2（） l3、不相关：一证券的变化对另一证券的变化“没有贡献”lAB0或cov（rA，rB）0 以两组合为例，多组合类推l“两证券组合”的收益率数学表示法l证券A和B，以总资金的WA的比例投资于A，以WB于B。WAWB1，则拥有证券组合lP（WA，WB）lWA，WB为组合P中A的权数和B的权数l假设AB的收益率为rA和rB，则lP的收益率为rPWArAWB

3、rBl权数可以为负。lWA0，表示该组合投资者卖空证券A l 两证券组合的期望收益率与方差计算方法l必须知道相关系数或协方差lE（rP）WAE（rA）WBE（rB）l2PW2A2AW2B2Bl 2WAWBABABl选择不同的组合权数，得到不同的组合，从而得到不同的期望收益率和方差。lWA和WB有无限种取法，投资者有无限多种证券组合可供选择。l每个投资者根据自己对收益和方差（风险）的偏好，选择符合自己要求的证券组合l分多种情况：双曲线、直线、折线l构建0风险组合、存在无风险证券情况模型的假设条件l假设1：收益率的概率分布是已知的；l假设2：风险用收益率的方差或标准方差表示；l假设3：影响决策的因

4、素为期望收益率和风险；l假设4：投资者遵守占优原则，即，l 同一风险水平下，选择收益率较高的证券；l 同一收益率水平下，选择风险较低的证券。l选定了证券的投资比例，就确定了组合。可以计算该组合的期望收益率EP和标准差Pl以EP为纵坐标、P为横坐标，在EP-P坐标系中可以确定一个点。每个组合对应EP-P中的一个点l反过来，EP-P中的某个点有可能反映某个组合l选择“全部”有可能选择的投资比例，那么，全部组合在EP-P中的“点”组成EP-P中的区域l可行域（feasible set）l可行域中的点所对应的组合才是“有可能实现”的组合。l可行域之外的点是不可能实现的证券组合。l可行域机会集l左上边缘

5、部分向外凸或直线“凸集”l可以证明，边界是双曲线。l判断组合好坏的公认标准投资者共同偏好 l第一：以期望衡量收益率，方差衡量风险， 仅关心期望和方差l第二：期望收益率越高越好，方差越小越好l可行域内部和右下边缘上的任意组合，均可以在左上边界上找到一个比它好的组合。淘汰l最佳组合“必须来自”左上边界有效边界l有效组合有效边界对应的组合l增加同样的风险，不同的投资者所要求得到的期望收益率补偿的高低可能不一样。补偿数额越高，对风险越厌恶l对某个特定投资者，根据对风险的态度，可以得到一系列一系列满意程度相同相同（无差异）的组合l无差异曲线的特征l波动方向一定是从左下方向右上方，单调性l曲线将变得越来越

6、陡，凸函数l无差异曲线的形状（弯曲程度）因人而异，反映投资者的风险偏好态度 l无差异曲线族中的曲线互不相交，等高线不相交 l根据无差异曲线可以比较任意两个组合的好坏l无差异曲线位置越靠左上，满意程度越高 lCABD定义：一个证券组合被称为是前沿证券组合，如果它在所有“等均值收益率”的证券组合中，方差最小l每个前沿证券组合一定对应一个收益率l“前沿证券组合q”对应收益率q的前沿组合l前沿证券组合的数学表示l假定在无摩擦市场上存在N(1)种风险资产，允许无限制卖空。假设收益率的方差有限，并且均值不相等，而且，任何一个资产的收益率不能由其它资产收益率的线性组合表出（收益率线性无关）。l它们收益率的方

7、差协方差矩阵V是正定矩阵 l前沿组合权重向量Wp是下列二次规划问题的解 l 是前沿证券对应的收益率l用拉格朗日乘子法求解VWWTWrERWTpT2111)(min)(prE0, 11,1)1(1),1(1)(21111111ABCDVCRVRBRVAAVRCVDhRAVBVDgrhEgWTTTppl任何前沿证券组合可以表示成上述形式。l任何能写成上述形式的组合是一个前沿证券组合 l对应不同的收益率，优化问题可以得到不同的解，进而得到不同的前沿证券组合。l“取遍”所有可能的收益率，其“轨迹”就是一条曲线。l由全体“前沿证券组合”构成的“集合”l证券组合前沿（portfolio frontier）

8、。l是今后定义有效边界（有效前沿 ）的基础lg和h是两个特殊“解向量”l性质3-1 ：g对应的收益率是0，g+h对应1。l性质3-2：任何前沿证券组合可以由g和gh通过再组合得到。可以表示成“线性组合 ”。l性质3-2：前沿证券组合可以由任意两个不相同的前沿证券组合进行再组合而得。l收益率标准差（方差）均值空间l机会集（可行域）是双曲线 所围的区域l前沿组合的协方差（3.22）l方差l这是一条双曲线。渐进线l中心点为（0，AC） )(/)(/)/)(/)(pppprCDCArECDCArECr11222A/CE (r )0MVP机会集C/1双曲线)(rl在收益率的方差均值空间中，l机会集是顶点

9、为（C-1/2，A/C）的抛物线 l图形 )()()(BrAErCEDrppp2122mvpminimum variance portfoliol所有可行证券组合中mvp的方差最小lmvp是双曲线（抛物线）的顶点lmvp的坐标（C1/2，A/C）lmvp的投资权重l性质3-3：对所有的证券组合p（不仅限于前沿证券组合） 111VCWmvpCrrrmvpmvpp/)var(),cov(1l双曲线从mvp开始：l向右上方的一支，是有效的l向右下方的一支，是无效的l“有效组合”“前沿组合”“期望A/C”l凸组合定义：非负，和为1。l性质3-4：有效证券组合集是凸集lzc(p)与p是有特殊关系的前沿证

10、券组合，l非前沿组合也有0协方差zc(p)的概念l前沿证券p的零协方差前沿证券组合 zc(p)，之间的协方差为0l性质3-5：对于的任意一个有效前沿证券组合p（pmvp），存在唯一的零协方差前沿证券组合zc（p）。l前沿证券组合zc（p）和p的地位是“对称的” l从证明中可以看出，不同时是有效组合l双曲线：切线在纵轴上的截距l抛物线：p和mvp的连线的截距)()(pzcrEzc(p )mvppE (r )A/C0)(rC/1l对非前沿证券组合q，与q协方差为零的全部组合中，组合Q的方差最小。仍记，Qzc（q）l数学表达为规划问题VWWTWVWWTqT21110minl用拉格朗日求解zc(q)l

11、Qzc(q) 是q与mvp的再组合，Wq是负数。l期望收益率为 mvpqqqqqzcWrCrCWrCW)()()()(222111)()()()()()(qqqpzcqzcrCrArERWrE221l证券组合q的0协方差前沿组合zc(q)的收益率的期望值是证券组合q和mvp的连线在纵轴上的截矩。图3.11apZc(q)zc(p)l定理3.1：任意非前沿证券组合q及前沿证券组合p )var()var()var()var()()(qzcpzcqprrrrE (r )0)(pr2)()(pzcrE)()(qzcrEq0F1FZc(p)l定理3.2：任意非前沿证券组合q及前沿组合p0),cov()()

12、()(qpzcqprrrErEE (r )0)(pr2)()(pzcrE)()(qzcrEpqZc(q)0F1FqFlFq是规划问题l随E的变动，得到曲线FqlFq上的点是zc（q）和zc（p）的再组合lFq与有效前沿F0 在zc（p）点相切l取不同的q，得到不同的Fq ，F0是Fq的包络线 VWWTWERWVWWTTqT21110minl利用零协方差证券组合对资产定价l任意证券组合i与前沿组合期望方面的关系 l任意证券组合i，任选一个前沿组合p（mvp除外）， PI是p和i的结合线（仍然是双曲线）l可以证明，PI与证券组合前沿（由所有资产生成）相切于p点，“最外层”。l两条曲线在p点的斜率相

13、等，得到定价公式。)(),cov()()()()()()(ppiippzcpippzcirrrrErErErE2E (r )pmvpzc(p)q A/Ci 0)()(pzcrEC/ 1)(rl另一种推导方法利用I和p的协方差的表达式，将p的具体投资比例代入可得l定理3.3：任意一个证券组合q的收益率期望值都可以表示成任意一个前沿证券组合p（除mvp外）与其对应的前沿证券组合zc（p）的收益率均值的线性组合lzc(p)和p的地位是对称的，zc（zc（p）plzc(p)和p互换，定价公式另一种形式（3.28） )()()()()(pippzcipirErErE 1事前形式（式中有期望E），不含随机

14、变量事后形式（没有期望E），含随机变量或误差将定价公式中的E去掉，得l定理3.4：对于两个协方差为零的前沿证券组合p和zc（p），总可以将任意证券组合q表示为这两个前沿证券组合的线性组合，即l如果q是前沿组合，则没有误差项。前岩组合可以被线性表示（性质3.2a）,)(,),cov(),cov()()()(001qqpzcqpqpqppzcqpqErrrrrl如果投资对象中含有无风险证券，有效前沿组合（有效边界）的“模样”有特殊性l有效前沿组合以及其有关几何结构性质有所加强，其结论更细化l曲线变成直线021111212121111fffTfffppfTTpTWTrErWRWCrArBrRVrRH

15、rRVHrrEWrWRWrEVWWVWWpfTT)()()()()()(minmin,)()(lWp是风险资产的权重（N维向量）l无风险收益率 l截距，斜率都可以计算“l斜率一正一负两条直线 )()()()(pfpfpprHrrEHrrErl无风险收益率的大小将会影响证券前沿具体是直线的“ 模样”，分三种情况lrf A/C、 rf A/C、 rf A/ClA/C表示，“不存在无风险资产情况下”，mvp的期望值l存在无风险资产之后，证券组合前沿由双曲线向左进行了扩张。是由两条射线所“围成”的区域l正斜率直线与双曲线相切，切点是e点l直线e左侧上的点是e和rf的凸组合l直线e右侧侧上的点是卖空r

16、rf ，买入el负斜率直线不与双曲线相交l卖空e，买入rf rmvpezc(p)E (r )0)(prfrA/Cl正斜率直线不双曲线相切l卖空e，买入rl负斜率直线与双曲线相切，e点le左侧的点是e和r的凸组合le右侧的点是卖空r，买入el正、负斜率直线是双曲线的渐近线l直线上任何一点的投资权重之和0l将资产全部投资于rl持有的风险资产的投资比例之和0l定理3.3：任意证券组合q，收益率均值均可以被表示成任意一个前沿证券组合p（除mvp外）与其对应的zc(p)的收益率均值的线性组合。l类似结果。l切点e的权重计算（3.2）：只考虑rfA/C。)()()(11111111ffTfferRVrRV

17、CrArRVWl切点e的风险资产权重We是规划问题之解l几何含义是最大斜率。结果与前面相同VWWrRWWkorrrrEkTfTWWpfppT)(max)()(max11E (r )0peA/C)(prfrl存在无风险资产时，类似于定理3.3的定价公式对第i个资产进行定价。（3.34）中的e，换成其它前沿曲线（此时是直线）上的组合p，该公式也成立lp是前沿组合（直线上一点），q是任意组合l该定价关系式不考虑rf与A/C之间的大小关系 )()(),cov()(feeiefirrErrrrrE2)()()(),cov()(fppqfppqpfqrrErrErrrrrE2l对于任意风险资产组合pl称为

18、夏普率，或标准差（）风险价格l从图3-14中知，前沿证券组合曲线（直线）上的组合的夏普率都相等，同时也具有最大的夏普率l上面的切点e是一个特殊的证券组合。它是夏普率最大的纯风险证券组合，它就是CAPM中的“市场组合”（market portfolio）l所谓纯风险证券组合是指 ，证券组合中不含有无风险证券，全部由风险证券组成 )()(pfpprrrESl前面的推导是在均值方差效用下所作出的l引入效用函数后，才能真正具体确定最优证券组合，这就是一般一般的含义l一般证券选择模型内容比较多，复杂l只介绍初级的内容l大部分只给出结果不进行证明 l沿用“常规”的记号。共有N种资产，Wi第i个证券的投资权

19、重。W表示N维权重向量。最优证券选择问题就是优化问题l定理3.5：给定一组资产，对于严格凹的效用函数u()来说，如果最优证券选择问题存在解，那么，最优证券组合收益的概率分布是惟一的。此外，如果不存在“多余”资产（指风险资产收益线性无关），那么，最优证券组合（即W）也是惟一的。NiiiWrWuET111)(minl称组合k为有效证券组合（efficient portfolio），如果存在严格凹的增函数 u()（效用函数），使得组合k的收益率（下标e表示“有效”）l满足，一阶条件l细节性内容参阅 Ross(1978)，Chen and Ingersoll(1983)，Dybvig and Ross

20、(1982)，Nielssen(1986)NiikikerWr1NirrWuEWLijNjji,.,)(2101l对应前面定价公式中的值，这里有b值l定理3.6：若存在无风险资产，则，对任意的证券i，下式成立l用b代替,从形式上讲，两个定价公式一样的),(cov(),(cov(kekeikekirrurrubNirrEbrrEfkekifi,., )()(21l从值的含义可以“延伸”了解b值的含义l两个证券i和j比较b值，如果bkibkj，则证券i的预期将收益大于j的（设有效组合期望大于无风险收益率），或者说证券i比j风险更大。l证券i的b值是对证券i的风险一种度量，是证券i相对于证券组合k的

21、系统风险l证券组合b值等于该组合中单个证券b值的加权平均，称为“证券组合性质”（portfolio property）l在这种度量下，b值大的证券有更大风险。这种“顺序关系”具有完全性，也即是用这种度量可以对任意两证券进行风险大小比较l定理3.7：设k和k1是任意两个有效组合，则l具有保持顺序性，l 1）bkibkj 当且仅当 bk1ibk1jl 2）bkibkj 当且仅当 bk1ibk1jl定理3.8 设证券k和L是两个有效证券组合，那么，l1）bkk1， bkL0，即，有效证券组合的b值是正数l2）“链导”法则，对任意证券组合p， bkp bkL bLp l定理3.9：对于证券组合p， ，

22、当且仅当对所有的有效证券组合k，bkp0 fprrE)(l定理3.10：设k是有效证券组合，对于任意的证券组合p，则，l定理的要点是说明误差部分满足两个性质l定理3.11：用多个可行证券组合进行定价的公式L有效组合其中，,)(,)()(00pLeppfkekpfpruEErrbrrl设k是有效证券组合， 是相对于k的b值等于0（bk00）的证券组合的收益率kr0NirErEbrErErErErErEbkkekikikkekiki,.,)()()()()()()()(10000l第一，效用函数u()是平方函数，u()线性l第二，有效证券组合收益率 和证券i的收益率 是正态分布l在这两种情况下，b值的表达式中的效用函数u()