多元函数的基本概念

1、第一节 多元函数的基本概念1. 邻域:设P0(x0, y0)是xOy面上一点, 是某一正数, 与P0(x0, y0)距离小于 的点P(x, y)的全体, 称为 P0的 邻域, 记为U(P0, ).即: U(P0, ) = P | |P0P| 或)()(| ),(),(20200yyxxyxPU注: 去心邻域 U(P0, ) = P |0 |P0P| xyoP0下页上页首页xyoEP2. 区域(1) 内点: U(P) E则称点P为点集E的内点.注: 若点集E的点都是内点, 则称E为开集.例如: 点集 E1= (x,y)| x2 + y2 1是开集. 点集 E2= (x,y)| x2 + y2 1

2、不是开集.设E为一平面点集, P为E的一点, 如果存在点P的某个邻域U(P), 使这个邻域整个包含在E内,xyo1下页上页首页(2) 边界点: 设E为一平面点集, P1为一点, 不论P1点是否属于E, 如果P1的任何邻域内, 既有属于E的点, 也有不属于E的点, 则称点P1为点集E的边界点.注: 点集E的全体边界点所成的点集, 称为点集E的边界.例如: 点集 E= (x, y)| 1 x2 + y2 0 是区域.E2 = (x,y)| 1 x2 + y2 4 也是区域.xoyP1P2xyo12例如:P1P2下页上页首页 E3 = (x,y)| x2 + y2 1 (x,y)| (x2)2 +

3、(y2) 2 0. 使得E内任何点到原点的距离都小于M, 即: (x, y)E.x2 + y2 0例如: 函数 的定义域为(x, y)| x y2 0, 即 y2 x.2yxzyx0 x+y=0yx0 x = y2 下页上页首页注2: 二元函数也引入了多值函数, 单值函数的概念.例如: 由方程 x2 + y2 + z2 = a2, 确定的函数222yxaz是多值函数, 它有两个单值支:222222 yxazyxaz及下页上页首页(2) 二元函数的图形.设函数 z = f (x, y)的定义域为D, 将空间点集 (x, y, z)| z = f (x, y), (x, y)D 称为二元函数 z

4、= f (x, y)的图形.xyzPDMz = f (x, y)xyo下页上页首页1. 定义: 设二元函数y =f (x, y)在点P0(x0, y0)附近有定义,若对于任意给定的0, 总存在 0.当时 )()(|020200yyxxPP都有|),(|Ayxf成立，则称常数A为二元函数f (x, y)当PP0(或xx0, yy0)时的极限，记作AyxfAPfyyxxPP),(lim)(lim000或下页上页首页注1：二元函数的极限称为二重极限；二重极限存在是指点P(x, y)以任何方式趋于 P0(x0, y0)时， z = f (x, y)都无限接近于A. 注2：二元函数的极限概念可相应地推广

5、到n元函数.xyoP0下页上页首页例1：设)0( ,1sin)(),(222222yxyxyxyxf求证：0),(lim00yxfyx证：|01sin)( |0),(| 2222yxyxyxf22yx 0, 取 , 则当时，22)0()0(0yx总有成立222222|0)(1sin)( |yxyxyx故0),(lim00yxfyx下页上页首页注3： 若P(x, y)以某一特殊方式趋于P0(x0, y0)时，f (x, y)能无限接近于某一定值, 还不能判定函数的极限是否存在；反之, 若当P(x, y)以不同方式趋于P0(x0, y0)时，函数趋于不同的值，则可判定函数的极限不存在。下页上页首页

6、例2. 设 f (x, y) =,22yxxy022 yx0 ,022 yx证明：不存在),(lim00yxfyx证明：令P(x, y)沿直线 y = kx 趋于O(0, 0), 则2202200)(limlimkxxkxxyxxyxkxyx21kk当k=1时，极限为;21当k=0时，极限为0.故极限不存在。下页上页首页注4. 二元函数极限有与一元函数极限类似的四则运算法则，夹逼定理.例3. 求2233)2, 1(),(limyxyxyx解：2233)2, 1(),(limyxyxyx2)2, 1(),(2)2, 1(),(3)2, 1(),(3)2, 1(),(limlimlimlimyxy

7、xyxyxyxyx418157下页上页首页例4.sin1lim00 xyyyx求解：xyyyxsin1lim00 xyxyxyxsinlim00 xyxyxyxyxsinlimlim0000100下页上页首页1. 定义：设z =f (x, y)在P0(x0, y0)的邻域内有定义.若),(),(lim0000yxfyxfyx或( )()(lim00PfPfPP则称 z =f (x, y)在点P0连续. 若f (x, y)在点P0不连续，则点P0称为 f (x, y)的间断点. 若f (x, y)在区域D内每一点连续，则称 f (x, y) 在D内连续.下页上页首页例如：.1cos222222R

8、yxRyxz的间断点是圆注：二元函数的连续概念可相应地推广到n元函数上去.下页上页首页2. 有界闭区域上多元连续函数性质有界闭区域上多元连续函数性质性质1. (最大值和最小值定理) 在有界闭区域D上的多元连续函数在D上一定有最大值和最小值. 即: P1, P2 D , 对于PD. 都有f (P2) f (P) f (P1) 下页上页首页性质2. (介值定理) 在有界闭区域D上的多元连续函数, 如果在D上取得两个不同的函数值. 则它在D上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。 特别地：设m, M分别是f (P)在D上的最大值、最小值, mM , 则 QD,使 f (Q)= 下页上页首页3. 多元

9、初等函数(1) 二元基本初等函数 考虑一个变量x或y的基本初等数，将它们当成二元函数. 如：C, x , y , sinx, siny，称为二元基本初等函数.下页上页首页(2) 二元初等函数 将二元基本初等函数经有限次四则运算与复合所组成的函数，称为二元初等函数.例如：sin(x2 y),22yx 都是二元初等函数.结论：多元初等函数在其定义区域内连续.(定义区域指包含在定义域内的区域或闭区域)注: 类似地定义多元初等函数下页上页首页例5. 求xyyxyx21lim解：是二元初等函数xyyxyxf),(定义域 D =(x, y) | x 0 或 y 0因D不连通，故D不是区域. 但D1=(x,

10、 y)| x 0, y 0是区域, 且D1 D故D1是 f (x, y)的一个定义区域, 且P0(1, 2) D1故xyyxyx21lim212123yxoP0D1下页上页首页例6. 求xyxyyx11lim00解：xyxyyx11lim00)11()11)(11(lim00 xyxyxyxyyx)11(1lim00 xyyx110121下页上页首页多元函数极限的概念多元函数极限的概念多元函数连续的概念多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质（注意趋近方式的（注意趋近方式的任意性任意性）五、小结多元函数的定义多元函数的定义下页上页首页 若点若点),(yx沿着无数多条平面曲

11、线趋向于沿着无数多条平面曲线趋向于点点),(00yx时，函数时，函数),(yxf都趋向于都趋向于 A，能否，能否断定断定Ayxfyxyx ),(lim),(),(00？思考题思考题下页上页首页思考题解答思考题解答不能不能.例例,)(),(24223yxyxyxf )0 , 0(),(yx取取,kxy 2442223)(),(xkxxkxkxxf 00 x但是但是 不存在不存在.),(lim)0,0(),(yxfyx原因为若取原因为若取,2yx 244262)(),(yyyyyyf .41下页上页首页一、一、 填空题填空题: :1 1、 若若yxxyyxyxftan),(22 , ,则则),(t

12、ytxf= =_. .2 2、 若若xyyxyxf2),(22 , ,则则 )3, 2(f_; ; ), 1(xyf_. .3 3、 若若)0()(22 yyyxxyf, ,则则 )(xf_. .4 4、 若若22),(yxxyyxf , , 则则 ),(yxf_. .函数函数)1ln(4222yxyxz 的定义域是的定义域是_. .练练 习习 题题下页上页首页 6 6、函数、函数yxz 的定义域是的定义域是_. . 7 7、函数、函数xyzarcsin 的定义域是的定义域是_. . 8 8、函数、函数xyxyz2222 的间断点是的间断点是_. .二二、 求求下下列列各各极极限限: :1 1、 xyxyyx42lim00 ；2 2、 xxyyxsinlim00；3 3、 22222200)()cos(1limyxyxyxyx . .下页上页首页三、三、 证明：证明：0lim2200 yxxyyx. .四、四、 证明极限证明极限yxxyyx 11lim00不存在不存在 . .下页上页首页一、一、 1 1、 ),(2yxf