离散系统Z变换分析法02

1、第2章线性离散系统 Z 变换分析法安徽工业大学自动化系马鞍山 2430022.5 Z 传递函数采样系统如下2.5.1 z传递函数的定义 在初始静止的条件下。一个环节(或系统)的输出脉冲序列的z变换Y(z)与输入脉冲序列的z变换R(z)之比 Z传递函数是分析线性离散系统的重要的工具2.5.2 连续环节(或系统)的离散化 对连续环节或系统离散化，方法如下：1冲激不变法2局部分式法3留数法例题7：试求带有零阶保持器对象的z传递函数HG(z) 解：广义对象(带有零阶保持器的对象)的传递函数2.5.3 Z传递函数的性质 系统 Z 传递函数和方框图例题8：设线性离散系统的差分方程为：2. 开环 Z 传递函

2、数 线件离散系统的开环 Z传递函数跟连续系统的开环传递函数具有类似的特性。串联环节的Z传递函数 例题9 例题10 例题11:3.闭环 Z 传递函数的结构图1 闭环 Z 传递函数的结构图22.5.4 过渡过程特性 与连续系统用传递函数分析过渡过程类似，可以用 Z传递函数来分析离散系统的过渡过程特性。 分析离散系统的过渡过程特性的步骤： 1YZ=GCZRZ 2由Y(Z)求出y(kT)例题12例题13例题13(续2.5.5 离散系统的误差特性设系统如图218所示。对于图2.18所示系统，离散系统的误差z传递函数由上式可以看到：(1) 系统的误差除了与系统的结构，环节的参数有关外，还与系统的输入型式有

3、关；(2) 系统在各采样时刻kT，k0，1，2，的误差值，可以由E(z)展开式的各项系数e(kT)来确定；(3) 由e(kT)也可以分析系统在某种型式输入时的动态特性； (4) 当e(kT)中的k时，即可得到系统的稳态特性。因此，为了分析稳态特性可以对误差的z变换E(z)施用终值定理以求得ess。不同输入时各类系统的稳态误差例14 线性离散系统如图214所示，且a1s，K1，T1s，试求系统在单位阶跃、单位速度输入时的稳态误差。解：系统的闭环z传递函数7-5 离散系统的稳定性离散系统的稳定性的分析方法：将线性连续系统在 s平面上分析稳定性的结果 离散线性系统在 z平面上的稳定性。1. s 域到

4、 z 域的映射关系相当于取s平面上的虚轴映射到 z 平面上的轨迹：以原点为圆心的单位圆，相位：相应的点沿单位圆变化无穷多圈结论：在等 线的左半平面映射为z平面上同心圆的内部，右半平面映射为同心圆的外部。s平面的虚轴的左半平面映射为z平面上单位圆的内部，右半平面映射为单位圆的外部。离散系统稳定的充要条件：从离散系统的差分方程的齐次解的收敛性，或者从 z域中离散系统的特征方程的根的研究得到结论。离散系统的稳定性定义：假设离散系统在有界输入序列的作用下，其输出序列也是有界，那么称该离散系统是稳定的。线性定常连续系统稳定的充要条件：系统齐次方程的解是收敛的，或者系统特征方程根均具有负实部，或者系统传递

5、函数的极点严格均在左半 s 平面。1离散系统稳定的充要条件时域设：系统差分方程系统齐次方程设通解：系统特征方程：设特征方程具有各不相同的特征根：通解：系统稳定的充分必要条件：相应的线性定常离散系统是稳定的。2离散系统稳定的充要条件z域G(s)H(s)对于典型的离散系统结构的闭环脉冲传递函数为系统特征方程设特征方程的根闭环极点各不相同由s平面到z平面的映射关系s平面的左半平面对应的稳定区域：z平面上单位圆的内部； s平面的右半平面对应的不稳定区域： z平面上单位圆的外部；s平面的虚轴对应的临界稳定：z平面上单位圆周。系统稳定的充分必要条件：离散特征方程的全部特征根都在单位圆内，即例：设典型离散系

6、统采样周期 T=1(s)，试分析系统的闭环稳定性。解：开环脉冲传递函数特征方程结论：闭环系统不稳定。离散系统的稳定性判据连续系统的代数稳定判据劳斯-胡尔维茨稳定判据判定： 特征方程的根是否都在左半s平面？离散系统的稳定性：特征方程的根是否都在z平面的单位圆内？将劳斯-胡尔维茨判据用于离散系统的稳定性判定，首先要将z平面上的稳定域单位圆内 新平面上的左半平面Z域 w域1. W变换双线性变换与劳斯稳定判据令注意到 z和 w都是复变量，那么有显然：考察上式：在z平面的单位圆上，满足对应在 w平面上： 说明：w平面上的虚轴对应于z平面上的单位圆周。Z平面单位圆内Z平面单位圆外w平面左半平面w平面右半平

7、面劳斯稳定判据在离散系统中的应用：将离散系统在z域的特征方程变换为w域的特征方程，然后应用劳斯判据。例1：设闭环离散系统如下图，T=0.1(s)，试求系统稳定时 K 的极限值。进一步整理后，w域的特征方程：劳斯表由劳斯稳定判据使系统闭环稳定的取值范围极限增益2Jury朱利稳定判据Jury稳定判据是根据离散系统的z域特征方程 的系数，直接判别特征根是否严格位于z平面上的单位圆内。设离散系统的 阶闭环特征方程 利用特征方程的系数，构造 、 列Jury矩阵。Jury矩阵的第一行系数：Jury矩阵的第二行系数：第三行系数第四行系数第五行系数第六行系数第七行系数第八行系数最后行系数 Jury稳定判据：特

8、征方程 的根，全部严格位于 z平面上单位圆内的充要条件是：以及以下n-1个约束成立：假设上述条件满足，系统不稳定。推论1：特征方程的根全部在单位圆内的一个充分条件是推论2：具有系数的特征方程，其多项式为首一多项式的根全部都在单位圆内的充分条件是例2 设一离散时间单位反响系统，采样周期 T=1s，其开环脉冲传递函数试用Jury稳定判据确定系统的 K 值范围。解：闭环特征方程对于二阶系统应用Jury稳定判据，只要用到下面3个约束条件：综合1、2、3例3：采样周期与开环增益对稳定性的影响连续系统的稳定性取决于：开环增益、闭环极点、传输延迟等。离散系统的稳定性：以上因素，再加上采样周期 T。举例说明：

9、设带有零阶保持器的离散系统如下图由 Jury 稳定判据 或 w域的劳斯稳定判据 w域的特征方程P357图7-49给出 K=1, 不同采样时的单位阶跃响应。结论：1在保证系统稳定的前提下，采样周期越小，允许的开环增益范围就扩大，否那么就缩小。2当采样周期一定时，加大开环增益会使得系统的稳定性变差；3当开环增益一定时，采样周期越长，丧失的信息就越多，对系统的稳定性和动态性能不利。2.7 线性离散系统的性能分析k为采样时刻kT的采样周期数图2.25 闭环实数极点的分布与过渡分量的关系图2.26 闭环复数极点的分布与过渡分量的关系28 线性离散系统的根轨迹分析法 在线性连续系统中可以用根轨迹法分析系统的性能。同样，对于线性离散系统也可以用平面上的根轨迹分析线性离散系统的性能。281 根轨迹分析法绘制线性离散系统的根本法