第四节函数的单调性与曲线的凹凸性

1、2022-7-13-4 单调性和凹凸性1一、函数单调性的判定法一、函数单调性的判定法 二、曲线的凹凸与拐点二、曲线的凹凸与拐点2022-7-13-4 单调性和凹凸性2xyo)(xfy xyo)(xfy abAB0)( xf0)( xfabBA2022-7-13-4 单调性和凹凸性3内可内可在在上连续上连续在在设函数设函数),(,)(:babaxfy 定理在在那那末末函函数数内内如如果果在在）（)(, 0)(),(1xfyxfba 则则导导,;,上上单单调调增增加加ba在在那末函数那末函数内内如果在如果在)(0)(),()2(xfyxfba .,上上单单调调减减少少ba注注:根据定理根据定理,只

2、要找出函数的导数不等于零的区只要找出函数的导数不等于零的区间间,并判断各个区间上导数的符号并判断各个区间上导数的符号,即可了解函即可了解函数的单调性数的单调性.2022-7-13-4 单调性和凹凸性4证证:无妨设无妨设( )0,( , ),fxxa b 任取任取1212, , ()xxa bxx由拉格朗日中值定理得由拉格朗日中值定理得2121()()( )()f xf xfxx 12(,)xx ( , )a b 0故故12()().f xf x 这说明这说明 在在a,b 内单调递增内单调递增.()fx证毕证毕将定理中的闭区间换成其他各区间，结论依然成立将定理中的闭区间换成其他各区间，结论依然成

3、立2022-7-13-4 单调性和凹凸性5 , ( , ) , a ba ba b连续连续可导可导单调单调 , )( , ) , )a ba ba b连续连续可导可导单调单调( , ( , )( , a ba ba b连续连续可导可导单调单调( , )( , )( , )a ba ba b连续连续可导可导单调单调 ,)( ,) ,)aaa连续连续可导可导单调单调( ,)( ,)( ,)aaa连续连续可导可导单调单调2022-7-13-4 单调性和凹凸性6yxo说明说明: 1) 单调区间的分界点除导数为零的点外单调区间的分界点除导数为零的点外,也也可能是导数不存在的点可能是导数不存在的点. 例如

4、例如,23,(,)yxx 323yx 0 xy 32yx 2) 如果函数在某导数为零的点两边如果函数在某导数为零的点两边导数同号导数同号, 则不改变函数的单调性则不改变函数的单调性 .例如例如,3,(,)yxx 23yx 00 xy yox3yx 2022-7-13-4 单调性和凹凸性7(3)(3)区间内个别点区间内个别点( (不连成片不连成片) )导数为零导数为零, ,不影响不影响单调性单调性. .,3xy 例如例如, 00 xy虽然虽然, 0, 032 xxy但但 .,3仍然是单调的仍然是单调的上上故在故在xy (5)(5)函数的单调性是一个区间上的性质函数的单调性是一个区间上的性质, ,

5、要用要用导数在这一区间上的符号导数在这一区间上的符号来判定来判定, ,而而不能不能用一点处的导数符号来判别用一点处的导数符号来判别. .(4) 0;fx 称称使使得得的的为为函函数数的的驻驻点点点点2022-7-13-4 单调性和凹凸性8问题问题: :函数在定义区间上不是单调的函数在定义区间上不是单调的定义定义: :若函数在其定义域的某个区间内是单调的若函数在其定义域的某个区间内是单调的, ,注注:(1):(1)导数等于零的点和不可导点导数等于零的点和不可导点, ,可能可能成为单成为单调区间的分界点调区间的分界点. .如果在一点两侧的导数符号发如果在一点两侧的导数符号发生改变生改变, ,才是分

6、界点才是分界点. .不不存存在在的的点点来来划划的的点点及及用用使使)(0)()2(xfxf 但在各个部分区间上单调但在各个部分区间上单调则该区间称为函数的则该区间称为函数的单调区间单调区间. .然然后后判判断断各各子子区区间间内内的的定定义义区区间间分分函函数数,)(xf.导导数数的的符符号号2022-7-13-4 单调性和凹凸性9例例1. 确定函数确定函数32( )29123f xxxx的单调区间的单调区间.解解:2( )61812fxxx 6(1)(2)xx令令( )0 ,fx 得得1,2xxx)(xf )(xf) 1,(2001)2,1 (),2(21故故)(xf的的单调增单调增区间为

7、区间为(,1),(2,); )(xf的的单调减单调减区间为区间为(1, 2).12xoy12),(: D2022-7-13-4 单调性和凹凸性10 2232.21.fxx 例例 确确定定函函数数的的单单调调区区间间 xxxf2132312 32134 xx ; 0, 0: xxf得得令令 ; 1: xxf不存在的点不存在的点f fx1 01 1 , 0)1,( 0 , 1 , 1 _f f:,单调区间为单调区间为由上面的表格可知由上面的表格可知 1, 0 , 1 1 , 0 , 1:解解),(: D2022-7-13-4 单调性和凹凸性11例例3. 证明证明02x 时时, 成立不等式成立不等式

8、sin2.xx 证证: 令令sin2( ),xf xx ,2,0()(上连续在则xf，上可导在)2,0(2cossin( )xxxfxx 2cos(tan )xxxx0 ( )(0,2f x 因因此此在在从而从而sin2,(0 ,2xxx ( )()02f xf 且且内单调递减，内单调递减，2022-7-13-4 单调性和凹凸性12* 证明证明tan0 xx令令( )tan,xxx 则则2( )sec1xx 2tan x 0,(0,)2x 2( )(0,),x 在在上上从而从而( )(0)0 x即即tan0,(0,)2xxx tan0 xx2022-7-13-4 单调性和凹凸性13 ;), 0

9、上上单单调调增增加加在在 xf, 0)0( f又又因因为为, 0)1ln( xx即即).1ln(xx 或或 则对则对的单调增加的单调增加由于由于,xf, 0 x . 0 xf40,ln(1).xxx例例当当时时 试试证证成成立立则则设设证证),1ln()(:xxxf .1111)(xxxxf , 0)(,), 0(,), 0)( xfxf可导可导且且上连续上连续在在2022-7-13-4 单调性和凹凸性14AB问题问题: :如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向? ?2022-7-13-4 单调性和凹凸性15xyo1x2x)(xfy 图形上任意弧图形上任意弧位于所张弦的上方位于所张弦的上

10、方xyo)(xfy 1x2x图形上任意弧图形上任意弧位于所张弦的下方位于所张弦的下方1212()()()22xxf xf xf 1212()()()22xxf xf xf 2022-7-13-4 单调性和凹凸性16定义定义;),()(,2)()()2(,),(,),()(212121内的图形是凹的内的图形是凹的在在那末称那末称恒有恒有两点两点内任意内任意如果对如果对内连续内连续在在设设baxfxfxfxxfxxbabaxf ;),()(,2)()()2(,),(212121内的图形是凸的内的图形是凸的在在那末称那末称恒有恒有内任意两点内任意两点如果对如果对baxfxfxfxxfxxba ;)(

11、,)(,)(),(,)(的的或凸或凸内的图形是凹内的图形是凹在在那末称那末称的的或凸或凸内的图形是凹内的图形是凹且在且在内连续内连续在在如果如果baxfbabaxf2022-7-13-4 单调性和凹凸性17xyo)(xfy xyo)(xfy abAB递增递增)(xf abBA0 y递减递减)(xf 0 y定理定理1 1.,)(, 0)()2(;,)(, 0)()1(),(,),(,)(上上的的图图形形是是凸凸的的在在则则上上的的图图形形是是凹凹的的在在则则内内若若在在二二阶阶导导数数内内具具有有在在上上连连续续在在如如果果baxfxfbaxfxfbababaxf 定理定理2.(2.(凹凸判定法

12、凹凸判定法) )2022-7-13-4 单调性和凹凸性18例例5. 判断曲线判断曲线4xy 的凹凸性的凹凸性.解解:34,yx 212yx 0 x 当当时时，0;y 0,x 时时0,y 故曲线故曲线4yx 在在(,) 上是向上凹的上是向上凹的.说明说明:若在某点二阶导数为若在某点二阶导数为 0 ,不变号不变号, ,则曲线的凹凸性不变则曲线的凹凸性不变 .在其两侧二阶导数在其两侧二阶导数xyo2022-7-13-4 单调性和凹凸性19曲线的拐点及其求法曲线的拐点及其求法1.1.定义定义2.2.拐点的求法拐点的求法连续连续曲线上，凹凸性发生改变的分界点称曲线上，凹凸性发生改变的分界点称为曲线的为曲

13、线的拐点拐点.（P151定义）定义）若曲线若曲线( )yf x 0,x在在点点连连续续0()0fx 或不存在或不存在,且且( )fx 在在 两侧两侧异号异号,0 x则点则点00(,()xf x是曲线是曲线( )yf x 的一个拐点的一个拐点.2022-7-13-4 单调性和凹凸性20方法方法1:1:, 0)(,)(00 xfxxf且且的邻域内二阶可导的邻域内二阶可导在在设函数设函数;)(,(,)()1(000即即为为拐拐点点点点变变号号两两近近旁旁xfxxfx .)(,(,)()2(000不不是是拐拐点点点点不不变变号号两两近近旁旁xfxxfx 或不存在或不存在,例例. 求曲线求曲线1yx 的

14、拐点的拐点. 注意：拐点首先必须先是连续点注意：拐点首先必须先是连续点 .2022-7-13-4 单调性和凹凸性21例例6. 求曲线求曲线3yx 的拐点的拐点. 解解:2313,yx 5329yx xy y0(,0)(0,) 不存在不存在0因此点因此点 ( 0 , 0 ) 为曲线为曲线3yx 的的拐点拐点 .oxy凹凹凸凸0yx 在在 不不存存在在2022-7-13-4 单调性和凹凸性2223624yxx 236 ()3x x例例7. 求曲线求曲线43341yxx的凹凸区间及拐点的凹凸区间及拐点.解解:1) 求求y 321212,yxx 2) 求拐点可疑点坐标求拐点可疑点坐标令令0 y得得12

15、20 ,3xx3) 列表判别列表判别)0,(),0(32),(32y xy03200凹凹凹凹凸凸:(,)D 拐点拐点)1 , 0(拐点拐点)2711,32(2022-7-13-4 单调性和凹凸性23故该曲线在故该曲线在(,0)2(,)3 及及上向上凹上向上凹,向上凸向上凸 , 点点 ( 0 , 1 ) 及及2 11(,)3 27均为拐点均为拐点.2(0,)3在在上上2022-7-13-4 单调性和凹凸性24方法方法2:2:.)()(,(,0)(, 0)(,)(00000的拐点的拐点线线是曲是曲那末那末而而且且的邻域内三阶可导的邻域内三阶可导在在设函数设函数xfyxfxxfxfxxf 例例8 8

16、.)2 , 0(cossin的拐点的拐点内内求曲线求曲线 xxy解解,sincosxxy ,cossinxxy .sincosxxy , 0 y令令.47,4321 xx得得2)43( f, 0 2)47( f, 0 P154、15。方法。方法2：缺陷？：缺陷？2022-7-13-4 单调性和凹凸性25内内曲曲线线有有拐拐点点为为在在2 , 0 ).0 ,47(),0 ,43( 2022-7-13-4 单调性和凹凸性26 用一阶导数符号判别单调性；用二阶导数符用一阶导数符号判别单调性；用二阶导数符号判别凹凸性。号判别凹凸性。 一阶导数为一阶导数为0 0或不存在的点为单调性发生变或不存在的点为单调性发生变化的可疑点；二阶导数为化