材料力学第九章

1、第九章第九章 组合变形时的强度计算组合变形时的强度计算 9-1 组合变形与叠加原理组合变形与叠加原理 9-2 拉伸拉伸(压缩压缩)与弯曲的组合与弯曲的组合 9-3 偏心压缩与截面核心偏心压缩与截面核心 9-4 扭转与弯曲的组合扭转与弯曲的组合 小小 结结一、组合变形的概念一、组合变形的概念1组合变形组合变形：9-1 9-1 组合变形与叠加原组合变形与叠加原理理构件同时存在两种以上基本变形。构件同时存在两种以上基本变形。斜弯曲斜弯曲(两个平面弯曲的组合两个平面弯曲的组合)2分类：分类：拉伸拉伸(压缩压缩)与弯曲的组合，以及偏心拉、压；与弯曲的组合，以及偏心拉、压；扭转与弯曲或扭转与拉伸扭转与弯曲

2、或扭转与拉伸(压缩压缩)及弯曲的组合；及弯曲的组合；3几种情况：几种情况：一般不考虑剪切变形；一般不考虑剪切变形；含弯曲的组合变形，以弯曲为主，用弯矩判定含弯曲的组合变形，以弯曲为主，用弯矩判定危险截面，且一般不考虑弯曲切应力；危险截面，且一般不考虑弯曲切应力；二二、工程实例、工程实例9-1 9-1 组合变形与叠加原组合变形与叠加原理理1齿轮传动轴齿轮传动轴 2烟囱烟囱F啮合力啮合力FMe压弯组合压弯组合弯弯扭扭组合组合二二、工程实例、工程实例压压弯弯组组合合9-1 9-1 组合变形与叠加原组合变形与叠加原理理3钻床立柱钻床立柱 弯弯扭扭组组合合9-1 9-1 组合变形与叠加原组合变形与叠加原

3、理理二二、工程实例、工程实例4标牌标牌立柱立柱 三、计算方法三、计算方法(叠加法叠加法)9-1 9-1 组合变形与叠加原组合变形与叠加原理理1叠加原理叠加原理： 线弹性、小变形下，每一组载荷线弹性、小变形下，每一组载荷引起的物理量引起的物理量(变形、内力和应力等变形、内力和应力等)不受彼此不受彼此影响，可采用代数相加。影响，可采用代数相加。1)外力分解或简化：使每一组力只产生一个方外力分解或简化：使每一组力只产生一个方 向的一种基本变形；向的一种基本变形；2计算方法：计算方法：2)分别计算各基本变形下的内力及应力；分别计算各基本变形下的内力及应力；3)各基本变形应力进行叠加各基本变形应力进行叠

4、加(危险截面危险点危险截面危险点)；4)对危险点进行应力分析对危险点进行应力分析(s s1s s2s s3)；5)用强度理论进行强度计算。用强度理论进行强度计算。9-2 9-2 拉伸拉伸( (压缩压缩) )与弯曲的组合与弯曲的组合弯拉组合弯拉组合偏心拉伸偏心拉伸(外力偏离轴线外力偏离轴线)(横向载荷轴向载荷横向载荷轴向载荷)一、拉一、拉(压压)弯组合分类弯组合分类9-2 9-2 拉伸拉伸( (压缩压缩) )与弯曲的组合与弯曲的组合二、分析二、分析AF Ns szIyMmaxM s szWMAFmaxmax s sMNs ss ss s zIyMAFmax maxs ss s 危险点处单向应力危

5、险点处单向应力内力内力FN，Mmax例例9-1 图示起重机的最大吊重图示起重机的最大吊重G=12kN，材料，材料s s=100MPa，为为AB杆选择适当的工字梁。杆选择适当的工字梁。B2m1m1.5mGAC9-2 9-2 拉伸拉伸( (压缩压缩) )与弯曲的组合与弯曲的组合FAyFAxFCCABG24kN_FNFCxFCy12kNm_M解：解：1)作作AB杆的受力简图：杆的受力简图： kN243/4kN185 . 10CyCxCyAFFGFM：2)作作AB杆的内力图：杆的内力图：C左截面为危险截面左截面为危险截面3)按弯曲正应力预选按弯曲正应力预选AB梁梁W：3maxcm120/| s sMW

6、4)查表选查表选W=141cm3，按压弯，按压弯组合变形进行校核：组合变形进行校核：MPa3 .94|Nmaxs ss s WMAFC解：解：1)横截面形心到横截面形心到F距离距离e：FehzycyCFN=FM=Feay2ycbcmm500cye 2)横截面内力：横截面内力： FFFeMN9-2 9-2 拉伸拉伸( (压缩压缩) )与弯曲的组合与弯曲的组合例例9-2 图示铸图示铸 铁制压力机，铁制压力机， s st=35MPa，s sc=140MPa， F=1400kN，试校核该压力机立柱强度。立柱截面：，试校核该压力机立柱强度。立柱截面： yc=200mm，h=700mm，A=1.8105m

7、m2， Iz=8.0109mm4。500FFFey2ycbcaFN=Fs sNs sas sbM=Fe3)轴力轴力FN作用下横截面上的应力：作用下横截面上的应力：)()(2压压，拉拉zbzcaIFeyIFey s ss s)(/NN拉拉AFAF s s )MPa(5 .53)MPa(3 .32c2NtNs ss ss ss ss ss ss ss s压压拉拉zbbzcaaIFeyAFIFeyAF弯矩弯矩M作用下横截面上作用下横截面上a、b点点的应力：的应力：4)组合应力：组合应力：s sas sb9-2 9-2 拉伸拉伸( (压缩压缩) )与弯曲的组合与弯曲的组合9-3 9-3 偏心压缩与截面

8、核心偏心压缩与截面核心一、偏心压缩一、偏心压缩1横截面任意点的应力：横截面任意点的应力：Fx，y、z轴为形心主惯性轴轴为形心主惯性轴，F向形心简化：向形心简化：FzFyFyMFzM ，各力在各力在任意点任意点B( y，z)点引起点引起的应力为：的应力为：F ：AF/ s sMz：zFzzIyFyIyM s sMy：yFyyIzFzIzM s szyOxFMzMyzFyFFMzMyFABB点组合应力：点组合应力： 221yFzFizziyyAFyFzFBIzFzIyFyAF s sOzyyFzFAyBzAIiAIiyyzz 22，式中：式中：截面对截面对z、y轴的惯性半径轴的惯性半径9-3 9-

9、3 偏心压缩与截面核心偏心压缩与截面核心一、偏心压缩一、偏心压缩1横截面任意点的应力：横截面任意点的应力：2中性轴方程及位置：中性轴方程及位置：12020 yFzFizziyy中性轴处的正应力为零：中性轴处的正应力为零：直线直线9-3 9-3 偏心压缩与截面核心偏心压缩与截面核心一、偏心压缩一、偏心压缩OzyyFzFAyBzD1D2FyzFzyziayia22 ，中性轴在中性轴在y、z轴的截距：轴的截距：azay中性轴与中性轴与F作用点位于作用点位于截面形心的两侧。截面形心的两侧。中性轴将截面分成两区，压力中性轴将截面分成两区，压力F区受压，另一区区受压，另一区受拉。截面周边切线平行中性轴的受

10、拉。截面周边切线平行中性轴的D1和和D2点，点，离中性轴最远，分别有最大压、拉应力。离中性轴最远，分别有最大压、拉应力。1定义：定义：二、截面核心二、截面核心2研究意义：研究意义：压力压力F作用在截面的某区域时，整个截面上只作用在截面的某区域时，整个截面上只产生压应力，该区域就称为产生压应力，该区域就称为截面核心截面核心。混凝土柱或砖柱的抗拉性能很差，横截面上不混凝土柱或砖柱的抗拉性能很差，横截面上不允许产生允许产生拉应力；拉应力；地基受偏心压缩，不允许其上建筑物某处脱离地基受偏心压缩，不允许其上建筑物某处脱离地基。地基。9-3 9-3 偏心压缩与截面核心偏心压缩与截面核心3求截面核心方法：求

11、截面核心方法：以以截面周界或切线为中性轴，截面周界或切线为中性轴，根据其在形心主轴根据其在形心主轴y、z上的截距上的截距ay、az反求出相应压力反求出相应压力F作用点位置，其作用点位置，其连线区域即为截面核心。连线区域即为截面核心。zyFyzFaizaiy22 ，截面周界为直线，对应的压力作用点为一点；截面周界为直线，对应的压力作用点为一点；截面周界有棱角，对应的压力作用点为直线；截面周界有棱角，对应的压力作用点为直线；中性轴不能穿过截面，当截面周界有内凹时，取中性轴不能穿过截面，当截面周界有内凹时，取中性轴为跨过内凹部分的切线。中性轴为跨过内凹部分的切线。9-3 9-3 偏心压缩与截面核心偏

12、心压缩与截面核心二、截面核心二、截面核心4矩形截面矩形截面的截面的截面核心：核心：222zByBFBzFiyizzyiy ybhz1235 0/6/22zyFyzFaizhaiy4B(yB，zB)1)中性轴在中性轴在位置时：位置时：1点坐标：点坐标： zyaha，2/2)中性轴在尖点中性轴在尖点B处：处：6/0bzyFF ，2点：点：06/ FFzhy，3点：点：6/0bzyFF ，4点：点：直线直线1523)顺序连接顺序连接1-2-3-4得得到矩形截面到矩形截面的截面的截面核心：核心：9-3 9-3 偏心压缩与截面核心偏心压缩与截面核心二、截面核心二、截面核心9-4 9-4 扭转与弯曲的组合

13、扭转与弯曲的组合一、单向弯曲与扭转一、单向弯曲与扭转FFaFaFlMT_1)外力向外力向B截面形心简化截面形心简化建立计算模型建立计算模型2)作扭矩图和弯矩图作扭矩图和弯矩图问题：校核图示钢制摇问题：校核图示钢制摇臂轴强度，已知构件尺臂轴强度，已知构件尺寸和材料的寸和材料的s s 。找危险截面找危险截面固定端固定端A截面：截面：FaTFlMA ，|xlayzFCdAB9-4 9-4 扭转与弯曲的组合扭转与弯曲的组合一、单向弯曲与扭转一、单向弯曲与扭转At tt tK1K2s ss st ts sK1t ts sK2s ss sM T3)危险截面的危险点危险截面的危险点pmaxt|WTWMzA

14、t ts ss s，K1、K2点，点，t t、s s数值数值均为最大均为最大危险点危险点K1点：点：pmaxc|WTWMzA t ts ss s，K2点：点：xlayzFCdAB9-4 9-4 扭转与弯曲的组合扭转与弯曲的组合一、单向弯曲与扭转一、单向弯曲与扭转4)对危险点进行强度计算对危险点进行强度计算K1、K2点单元体的点单元体的s s、t t 数值分别相同，危险程数值分别相同，危险程度也相同，不妨取度也相同，不妨取K1点研究：点研究：As st ts sK1zAWM| s spWT t tK1A向向22r34t ts ss s zWW2p22r3s ss s zWTM22r43t ts

15、ss s 75. 022r4s ss s zWTM zWW2p一、单向弯曲与扭转一、单向弯曲与扭转9-4 9-4 扭转与弯曲的组合扭转与弯曲的组合5)对对s sr3、s sr4公式的讨论公式的讨论(以以s sr3为例为例)1(31r3s ss ss s 任意应力状态；任意应力状态；)2(422r3t ts ss s 一方向正应力为零的一方向正应力为零的平面应力状态；平面应力状态；)3(22r3zWTM s s圆轴的弯扭组合变形；圆轴的弯扭组合变形；6)拉拉(压压)、弯、扭组合变形、弯、扭组合变形的的强度计算强度计算计算横截面弯曲和拉压的正应力并代数相加减；计算横截面弯曲和拉压的正应力并代数相加

16、减；计算扭矩在横截面的切应力；计算扭矩在横截面的切应力；采用上采用上 (2)式进行强度计算；式进行强度计算；9-4 9-4 扭转与弯曲的组合扭转与弯曲的组合解解：1)内力分析内力分析WTMCC223r s s321030106 . 15 . 193322 MPa8 .82s s C截面为危险截面：截面为危险截面： mkN6 . 1mkN5 . 1|CCTM2)强度校核强度校核6kN例例9-3 图示悬臂梁直径图示悬臂梁直径d=30mm，材料，材料s s=85MPa，试按第三，试按第三强度理论较核梁的强度强度理论较核梁的强度500500ACB3kN1.6kNm+1.6kNmTM-1.5kNm二、双

17、向弯曲与扭转二、双向弯曲与扭转9-4 9-4 扭转与弯曲的组合扭转与弯曲的组合对于圆轴，由于对称性，同一横截面上两个方向对于圆轴，由于对称性，同一横截面上两个方向的弯矩可以矢量合成，按单一弯矩计算：的弯矩可以矢量合成，按单一弯矩计算：可以证明两平面弯矩图所有尖点间的合成弯可以证明两平面弯矩图所有尖点间的合成弯矩图为凹曲线，因此危险截面可能在两个平矩图为凹曲线，因此危险截面可能在两个平面弯矩图的所有尖点处；面弯矩图的所有尖点处；22zyMMM WTMWTM22r422r375. 0 s ss s，注意圆轴弯扭组合相当应力公式中的注意圆轴弯扭组合相当应力公式中的W是抗是抗弯截面系数。弯截面系数。9

18、-4 9-4 扭转与弯曲的组合扭转与弯曲的组合MPa7 .82223rs ss s WTMC例例9-4 已知已知dA=20cm，dB=10cm，a=0.5m，轴径，轴径d=50mm，材料，材料s s=100MPa，F1=2kN，F2=4kN，不计自重，不计自重， 用第三强度理论校核轴用第三强度理论校核轴强度强度。F2BAdCDF1aaaMyF2a=1kNm0.5kNmMzF1a/2=0.5kNm解：解：1)作计算简图作计算简图mkN2 . 021 ABAdFTT2)作作Mz、My两平面内的两平面内的弯矩图弯矩图mkN7 . 0kN.m1.22 AyAzACyCMMMMM3)强度校核强度校核F2

19、F1yzxTBTA9-4 9-4 扭转与弯曲的组合扭转与弯曲的组合xyGFyFz3FS2TT例例9-5 图示传动轴，传递功率图示传动轴，传递功率7kW，转速，转速200r/min。皮带轮。皮带轮B重重G=1.8kN。齿轮。齿轮A啮合力啮合力Fn与齿轮节圆切线夹角为与齿轮节圆切线夹角为20o。s s=80MPa，按第三强度理论设计轴的直径。，按第三强度理论设计轴的直径。 zyD1ABCD200200400f f300f f500D2FS1=2FS2FS2GG20oFnFyFz解：解：1)作计算简图作计算简图2)(212S1S2DFFDFTz 9-4 9-4 扭转与弯曲的组合扭转与弯曲的组合2)作

20、弯矩图作弯矩图(My、 Mz)mkN334. 09549 nPTMyMz0.446kNm0.8kNm0.16kNm0.36kNmkN23. 2/22 DTFzkN03. 4)/2(3312S DTFkN81. 020tgo zyFF3)确定轴径：确定轴径：mkN88. 022 zyDMMM22r3s ss s WTMDmm3 .49 d扭矩处处相同，由弯矩扭矩处处相同，由弯矩图不难看出：图不难看出：D截面为截面为危险截面危险截面xyGFyFz3FS2TTCD9-4 9-4 扭转与弯曲的组合扭转与弯曲的组合例例9-6 图示曲轴尺寸：图示曲轴尺寸：r=60mm，l/2=65mm，l1/2=32mm

21、，a=22mm。连杆轴颈直径。连杆轴颈直径d1=50mm，主轴颈直径，主轴颈直径d=60mm。曲柄截面曲柄截面IIIIII的尺寸为：的尺寸为：b=22mm，h=102mm。作用于曲。作用于曲轴上的力有：连杆轴径上的力轴上的力有：连杆轴径上的力 FP1=32kN，FP2=17kN，曲柄，曲柄惯性力惯性力F1=3kN，平衡重惯性力，平衡重惯性力F2=7kN。材料。材料s s=120MPa， 试校核曲轴的强度。试校核曲轴的强度。d1l1/2al/2bl1/2l/2badrhIIIIIIIIIIIIF1F1FP1F2F2FP2ABMeFAyFByFAzFBz解：解：1)求支反力求支反力：kN20)22

22、(2112P1 FFFFFByAykN5 . 82/P2 FFFBzAzmkN02. 1P2e rFM2)危险截面及分析组合变形：危险截面及分析组合变形：轴颈中央轴颈中央I截面：双向弯曲与扭转组合变形；截面：双向弯曲与扭转组合变形；主轴颈与曲柄交界面主轴颈与曲柄交界面II截面截面：双向弯曲与扭转组合变形；双向弯曲与扭转组合变形；曲柄切于主轴颈的曲柄切于主轴颈的III截面：弯曲、扭转与压缩组合变形。截面：弯曲、扭转与压缩组合变形。9-4 9-4 扭转与弯曲的组合扭转与弯曲的组合OyzxF1F1FP1F2F2FP2ABl/2l/2l1/2l1/2rIIIIII3)连杆轴颈的强度计算：连杆轴颈的强度

23、计算：xy平面内的弯矩：平面内的弯矩： I截面内力：截面内力：mkN17. 12/)(2/121I lFFlFMAyzxz平面内的弯矩：平面内的弯矩：mkN553. 02/I lFMAzy扭矩：扭矩：mkN51. 0I rFTAz合成弯矩：合成弯矩：mkN29. 122I yzMMM用第四强度理论校核强度：用第四强度理论校核强度：MPa11175. 0I2I2Ir4s ss s WTM9-4 9-4 扭转与弯曲的组合扭转与弯曲的组合MeFAyFByFAzFBzOyzxF1F1FP1F2F2FP2ABl/2l/2l1/2l1/2rI4)主轴颈的强度计算：主轴颈的强度计算：mkN44. 0II a

24、FMByzxz平面内的弯矩：平面内的弯矩：mkN187. 0II aFMBzy扭矩：扭矩：mkN02. 1eII MT合成弯矩：合成弯矩：mkN478. 022II yzMMMMPa4 .4775. 0II2II2IIr4s ss s WTM9-4 9-4 扭转与弯曲的组合扭转与弯曲的组合MeFAyFByFAzFBzOyzxF1F1FP1F2F2FP2ABl/2l/2l1/2l1/2rII用第四强度理论校核强度：用第四强度理论校核强度：xy平面内的弯矩：平面内的弯矩： II截面内力：截面内力：5)曲柄的强度计算：曲柄的强度计算：kN132N FFFBymkN765. 02/e dFMMBzxmkN66. 0)2/( baFMByzmkN281. 0)2/( baFMTBzykN5 . 8Q BzFF危险点有危险点有C点点(s smax