二元函数的泰勒公式PPT课件

1、二元函数的泰勒公式二元函数的泰勒公式 ).10()()!1()()(!)()(2)()()()(1000)1(00)(200000 nnnnxxnxxxfxxnxfxxxfxxxfxfxf一元函数的泰勒公式：一元函数的泰勒公式：意意义义：可可用用n次次多多项项式式来来近近似似表表达达函函数数)(xf，且且误误差差是是当当0 xx 时时比比nxx)(0 高高阶阶的的无无穷穷小小问题：问题： 能否用多个变量的多项式来近似表达一个能否用多个变量的多项式来近似表达一个给定的多元函数，并能具体地估算出误差的大小给定的多元函数，并能具体地估算出误差的大小.即即 设设),(yxfz 在点在点),(00yx的

2、某一邻域内连续的某一邻域内连续且有直到且有直到1 n阶的连续偏导数阶的连续偏导数, , ),(00hyhx 为此邻域内任一点为此邻域内任一点, ,能否把函数能否把函数),(00kyhxf 近似地表达为近似地表达为00,yykxxh 的的n次多项次多项式，且误差是当式，且误差是当022 kh 时比时比n 高阶的高阶的无穷小无穷小定理定理 设设),(yxfz 在点在点),(00yx的某一邻域内连的某一邻域内连续且有直到续且有直到1 n阶的连续偏导数阶的连续偏导数, , ),(00hyhx 为此邻域内任一点为此邻域内任一点, ,则有则有二、二元函数的泰勒公式二、二元函数的泰勒公式)10(),()!1

3、(1),(!1),(! 21),(),(),(00100002000000 kyhxfykxhnyxfykxhnyxfykxhyxfykxhyxfhyhxfnn其中记号其中记号),(00yxfykxh ),(),(0000yxkfyxhfyx 表示表示),(002yxfykxh 表示表示),(),(2),(00200002yxfkyxhkfyxfhyyxyxx 一般地一般地,记号记号表表示示),(00yxfykxhm .),(000yxpmpmpmpmppmyxpkhC 证证引入函数引入函数).10(),()(00 tktyhtxft显然显然),()0(00yxf ).,()1(00kyhxf

4、 由由 的定义及多元复合函数的求导法则的定义及多元复合函数的求导法则,可得可得)(t ),(),(),()(000000ktyhtxfykxhktyhtxkfktyhtxhftyx ),(),(2),()(00200002ktyhtxfkktyhtxhkfktyhtxfhtyyxyxx ).,()(001),(111011)1(00ktyhtxfykxhyxpkhtnktyhtxpnpnnppnppnnC 利用一元函数的麦克劳林公式，得利用一元函数的麦克劳林公式，得).10(),()!1(1)0(!1)0(! 21)0()0()1()1()( nnnn将将),()0(00yxf , ,),()

5、1(00kyhxf 及及上上面面求求得得的的)(t 直直到到n阶阶导导数数在在0 t的的值值, ,以以及及)()1(tn 在在 t的的值值代代入入上上式式. .即即得得)1(,),(!1),(! 21),(),(),(00002000000nnRyxfykxhnyxfykxhyxfykxhyxfkyhxf 其中其中)2().10(),()!1(1001 kyhxfykxhnRnn证毕证毕 公式公式)1(称为二元函数称为二元函数),(yxf在点在点),(00yx的的n阶泰勒公式阶泰勒公式, ,而而nR的表达式的表达式)2(称为称为拉格朗日型拉格朗日型余项余项. . 由二元函数的泰勒公式知由二元函

6、数的泰勒公式知, , nR的绝对值在的绝对值在点点),(00yx的某一邻域内都不超过某一正常数的某一邻域内都不超过某一正常数M. .于是于是, ,有下面的误差估计式有下面的误差估计式: : )3(,!12sincos!1!111111 nnnnnnMnnMkhnMR 其中其中.22kh 由由)3(式式可可知知, ,误误差差nR是是当当0 时时比比n 高高阶阶的的无无穷穷小小. .当当0 n时时, ,公公式式)1(成成为为),(),(),(),(00000000kyhxkfkyhxhfyxfkyhxfyx 上式称为上式称为二元函数的拉格朗日中值公式二元函数的拉格朗日中值公式.推推论论 如如果果函

7、函数数),(yxf的的偏偏导导数数),(yxfx, ,),(yxfy在在某某一一邻邻域域内内都都恒恒等等于于零零, ,则则函函数数),(yxf在在该该区区域域内内为为一一常常数数. . 在在泰泰勒勒公公式式)1(中中, ,如如果果取取0, 000 yx, ,则则)1(式式成成为为n阶阶麦麦克克劳劳林林公公式式. .),()!1(1)0 , 0(!1)0 , 0(! 21)0 , 0()0 , 0(),(12yxfyyxxnfyyxxnfyyxxfyyxxfyxfnn )10( )5(例例 1 1求函数求函数)1ln(),(yxyxf 的三阶麦的三阶麦克劳林公式克劳林公式. .解解,11),()

8、,(yxyxfyxfyx ,)1(1),(),(),(2yxyxfyxfyxfyyxyxx ,)1(! 2333yxyxfpp ),3 , 2 , 1 , 0( p,)1(! 3444yxyxfpp ),4 , 3 , 2 , 1 , 0( p,)0 , 0()0 , 0()0 , 0(yxyfxffyyxxyx ,)()0 , 0()0 , 0(2)0 , 0()0 , 0(2222yxfyxyffxfyyxxyyxyxx ,)(2)0 , 0()0 , 0(3)0 , 0(3)0 , 0()0 , 0(332233yxfyfxyyfxfxfyyxxyyyxyyxxyxxx 又又0)0 ,

9、0( f, ,故故,)(31)(21)1ln(332Ryxyxyxyx 其中其中).10(,)1()(41),(! 414443 yxyxyxfyyxxR三、极值充分条件的证明三、极值充分条件的证明定定理理 2 2（充充分分条条件件）设设函函数数),(yxfz 在在点点),(00yx的的某某邻邻域域内内连连续续，有有一一阶阶及及二二阶阶连连续续偏偏导导数数，又又 0),(00 yxfx, , 0),(00 yxfy， 令令 Ayxfxx ),(00， Byxfxy ),(00， Cyxfyy ),(00，利用二元函数的泰勒公式证明第八节中定理利用二元函数的泰勒公式证明第八节中定理2则则),(y

10、xf在点在点),(00yx处是否取得极值的条件如下：处是否取得极值的条件如下：（1 1）02 BAC时有极值，时有极值， 当当0 A时有极大值，时有极大值， 当当0 A时有极小值；时有极小值；（2 2）02 BAC时没有极值；时没有极值；（3 3）02 BAC时可能有极值时可能有极值. .证证依二元函数的泰勒公式，依二元函数的泰勒公式，对对于于任任一一)(),(0100PUkyhx 有有),(),(0000yxfkyhxff ),(2),(2100002kyhxhkfkyhxfhxyxx ),(002kyhxfkyy ).10( )6()1( 设设02 BAC, ,即即 . 0),(),(),

11、(2000000 yxfyxfyxfxyyyxx)7( 因因),(yxf的的二二阶阶偏偏导导数数在在)(01PU内内连连续续, ,由由不不等等式式)7(可可知知, ,存存在在点点0P的的邻邻域域)()(0102PUPU , ,使使得得对对任任一一)(),(0200PUkyhx 有有 . 02 xyyyxxfff)8(注注: :将将),(yxfxx在在点点),(00kyhx 处处的的 值值记记为为xxf, ,其其他他类类似似. . 由由)8(式式可可知知, ,当当)(),(0200PUkyhx 时时, ,xxf及及yyf都都不不等等于于零零且且两两者者同同号号. .于于是是)6(式式可可写写成成

12、 .21222xyyyxxxyxxxxfffkkfhfff 当当kh、不同时为零且不同时为零且)(),(0200PUkyhx 时时, ,上式右端方括号内的值为正上式右端方括号内的值为正, ,所以所以f 异于零且异于零且与与xxf同号同号. . 又又由由),(yxf的的二二阶阶偏偏导导数数的的连连续续性性知知xxf与与A同同号号, ,因因此此f 与与A同同号号, ,当当0 A时时),(00yxf为为极极小小值值, ,当当0 A时时),(00yxf为为极极大大值值. .)2( 设设02 BAC, ,即即 . 0),(),(),(2000000 yxfyxfyxfxyyyxx)9(先假定先假定, 0

13、),(),(0000 yxfyxfyyxx则则. 0),(00 yxfxy分分别别令令hk 及及hk , ,则则由由)6(式式可可得得 ,),(2),(21010101010102kyhxfkyhxfkyhxfhfyyxyxx 及及 ,),(2),(22020202020202kyhxfkyhxfkyhxfhfyyxyxx 其其中中.1,021 当当0h时时, ,以以上上两两式式方方括括号号内内的的式式子子分分别别趋趋于于极极限限),(2),(20000yxfyxfxyxy 及及 从从而而当当h充充分分接接近近零零时时, ,两两式式方方括括号号内内的的值值有有相相反反的的符符号号, ,因因此此

14、f 可可取取不不同同符符号号的的值值, ,所所以以),(00yxf不不是是极极值值. . 再再证证),(),(0000yxfyxfyyxx与与不不同同时时为为零零的的情情形形. .不不妨妨. 0),(00 yxfxy先先取取0 k, ,于于是是由由)6(式式得得).,(21002yhxfhfxx 当当h充充分分接接近近零零时时, , f 与与),(00yxfxx同同号号. .但如果取但如果取 ,),(,),(0000syxfksyxfhxxxy 其其中中s是是异异于于零零但但充充分分接接近近于于零零的的数数, ,则则可可发发现现, ,当当s充充分分小小时时, , f 与与),(00yxfxx异异号号. . 如如此此证证明明了了: :在在点点),(00yx的的任任意意邻邻近近, , f 可可取取不不同同符符号号的的值值, ,因因此此),(00yxf不不是是极极值值. .)3(考察函数考察函数42),(yxyxf 及及.),(32yxyxg 容容易易验验证证, ,这这两两个个函函数数都都以以)0 , 0(为为驻驻点点, ,且且在在点点)0 , 0(处处都都满满足足02 BAC. .但但),(yxf在在点点)0 , 0(处处有有极极小小值值, ,而而),(yxg在在点点)0 , 0(处处却却没没有有极极值值. .1 1、二元