用放缩法证明数列中的不等式学习教案

1、会计学1用放缩法证明用放缩法证明(zhngmng)数列中的不等数列中的不等式式第一页，共38页。 放缩法灵活多变，技巧性要求较高，所谓“放大一点点就太大，缩小一点点又太小”，这就让同学们找不到头绪，摸不着规律，总觉得高不可攀！ 高考(o ko)命题专家说：“放缩是一种能力.” 如何把握放缩的“度”，使得放缩“恰到好处”，这正是放缩法的精髓和关键所在！ 其实，任何事物都有其内在规律，放缩法也是“有法可依”的，本节课我们一起来研究数列问题中一些常见的放缩类型及方法，破解其思维过程，揭开其神秘的面纱，领略和感受放缩法的无限魅力！第1页/共38页第二页，共38页。放缩目标放缩目标(mbio)模型模型可

2、求和可求和(qi h)可求积可求积等差模型等差模型(mxng)等比模型等比模型错位相减模型错位相减模型裂项相消模型裂项相消模型第2页/共38页第三页，共38页。平方平方(pngfng)型：型：21n1(1)n n111nn1(1)n n11(2)1nnn21n211n111(2)211nnn21n244n2441n1122121nn21(21)n14 (1)n n111(2)41nnn立方立方(lfng)型：型：31n21(1)n n111(2)2 (1)(1)nnnn n第3页/共38页第四页，共38页。根式根式(gnsh)型：型：1n22 n21nn21nn 2(1)nn 2(1)nn1n

3、nab2121221nnnn；2212121nnnn指数指数(zhsh)型：型：奇偶奇偶(q u)型：型：11(1)()nabaab；1nab11(1).()nabaab平方型、平方型、立方型、立方型、根式型根式型都都可放缩为可放缩为裂项相消裂项相消模型模型指数型指数型可放缩可放缩为为等比模型等比模型奇偶型奇偶型放缩为放缩为可求积可求积第4页/共38页第五页，共38页。一一. 放缩目标放缩目标(mbio)模型模型可求和可求和2311111 ()2222nnNL求证：例例1 1231232 ()2222nnnNL求证：变变式式1 12311111 ()2 1212121nnNL求证：变变式式2

4、2231232 ()2 122232nnnnNL求证：变变式式3 31(niiak k为常数）形形（一一）如如第5页/共38页第六页，共38页。不等式左边可用等比数列前不等式左边可用等比数列前n项和公式项和公式(gngsh)求和求和.分析分析(fnx)左边左边(zu bian)11(1)22112n112n 12311111 ()2222nnNL求证：例例1 1表面是证数列不等式表面是证数列不等式，实质是，实质是数列求和数列求和第6页/共38页第七页，共38页。不等式左边可用不等式左边可用“错位相减法错位相减法(jinf)”求和求和.分析分析(fnx)由错位由错位(cu wi)相减法得相减法得

5、 222nn2231232 ()2222nnnNL求证：变变式式1 1表面是证数列不等式，表面是证数列不等式，实质是实质是数列求和数列求和231232222nnL第7页/共38页第八页，共38页。左边不能直接左边不能直接(zhji)求和，须先将其通项放缩求和，须先将其通项放缩后求和，如何放缩？后求和，如何放缩？分析分析(fnx)2311111 ()2 1212121nnNL求证：变变式式2 2将通项放缩为等将通项放缩为等比数列比数列(dn (dn b sh li)b sh li)注意到注意到11212nn左边左边11(1)22112n112n 12311112222nL第8页/共38页第九页，

6、共38页。左边左边(zu bian)不能直接求和，须先将其通项放不能直接求和，须先将其通项放缩后求和，如何放缩？缩后求和，如何放缩？分析分析(fnx)注意注意(zh y)到到222nn2231232 ()2 122232nnnnNL求证：变变式式3 3231232222nnL左边22nnnnn将通项放缩为将通项放缩为 错错位相减位相减模型模型第9页/共38页第十页，共38页。【方法【方法(fngf)总结总结之一】之一】第10页/共38页第十一页，共38页。201319)11111()1 33 55 7(21)(21)2nnnNL(广东文第(3)问求证：例例2 222211112 ()23nnN

7、L求证：变变式式1 12221117(201319(3) )1()234nnNL广东理第：问求证变变式式2 222211151()233nnNL求证：变变式式3 3第11页/共38页第十二页，共38页。左边左边(zu bian)可用裂项相消法求和，先求和再放可用裂项相消法求和，先求和再放缩缩.分析分析(fnx)11(1)221n12201319)11111()1 33 55 7(21)(21)2nnnNL(广东文第(3)问求证：例例2 2表面是证数列不等式表面是证数列不等式，实质，实质(shzh)(shzh)是数是数列求和列求和111111(1)()()23352121nnL左边1111()(

8、21)(21)2 2121nnnnQ第12页/共38页第十三页，共38页。左边不能求和左边不能求和(qi h)，应先将通项放缩为裂项，应先将通项放缩为裂项相消模型后求和相消模型后求和(qi h).分析分析(fnx)11 1n 22 ()n保留保留(boli)(boli)第第一项，从第一项，从第二项开始放二项开始放缩缩111111 (1)()()2231nn L左边21nQ22211112 ()23nnNL求证：变变式式1 11(1)n n11()12nnn当当n = 1时，不等式显然也成立时，不等式显然也成立.第13页/共38页第十四页，共38页。变式变式2 2的结论比变式的结论比变式1 1强

9、，要达目的强，要达目的(md)(md)，须将，须将变式变式1 1放缩的放缩的“度度”进行修正，如何修正？进行修正，如何修正？分析分析(fnx)2221117(201319(3) )1()234nnNL广东理第：问求证变变式式2 2保留保留(boli)(boli)前两前两项，从第三项开始项，从第三项开始放缩放缩思路一思路一211(1)nn n左边左边111142n 714n374()n211111111()()()223341nn L111nn(3)n 将变式将变式1 1的通项从第三项才开始放缩的通项从第三项才开始放缩. .当当n = 1, 2时，不等式显然也成立时，不等式显然也成立.第14页/

10、共38页第十五页，共38页。变式变式2 2的结论比变式的结论比变式1 1强，要达目的，须将变式强，要达目的，须将变式1 1放缩的放缩的“度度”进行修正进行修正(xizhng)(xizhng)，如何修正，如何修正(xizhng)(xizhng)？分析分析(fnx)2221117(201319(3) )1()234nnNL广东理第：问求证变变式式2 2保留保留(boli)(boli)第一项，从第一项，从第二项开始第二项开始放缩放缩思路二思路二22111nn左边左边11111(1)221nn 111(1)22 274()n1111111(1)()()232411nn L111()211nn(2)n

11、将通项放得比变式将通项放得比变式1 1更小一点更小一点.当当n = 1时，不等式显然也成立时，不等式显然也成立.第15页/共38页第十六页，共38页。变式变式3 3的结论比变式的结论比变式2 2更强，要达目的，须将变式更强，要达目的，须将变式2 2放放缩的缩的“度度”进一步修正进一步修正(xizhng)(xizhng)，如何修正，如何修正(xizhng)(xizhng)？分析分析(fnx)保留保留(boli)(boli)前两项，从前两项，从第三项开始第三项开始放缩放缩思路一思路一左边左边11 11111()42 231nn 11 111()42 23 353()n2111111111()()(

12、)22243511nn L22211151()233nnNL求证：变变式式3 322111nn111()211nn(3)n 将变式将变式2 2思路二中通项从第三项才开始放缩思路二中通项从第三项才开始放缩.当当n = 1, 2时，不等式显然也成立时，不等式显然也成立.第16页/共38页第十七页，共38页。变式变式3 3的结论的结论(jiln)(jiln)比变式比变式2 2更强，要达目的，更强，要达目的，须将变式须将变式2 2放缩的放缩的“度度”进一步修正，如何修正？进一步修正，如何修正？分析分析(fnx)保留保留(b(bolioli)第一第一项，项，从第从第二项二项开始开始放缩放缩思路二思路二2

13、2144nn左边左边1112()321n 1123 253()n11111112 ()()()35572121nn L112()2121nn(2)n 将通项放得比变式将通项放得比变式2 2思路二更小一点思路二更小一点.22211151()233nnNL求证：变变式式3 32441n当当n = 1时，不等式显然也成立时，不等式显然也成立.第17页/共38页第十八页，共38页。评注评注(pngzh)第18页/共38页第十九页，共38页。【方法【方法(fngf)总结之总结之二】二】 放缩法证明与数列求和有关的不等式的过程中，很多时候要“留一手”， 即采用“有所保留”的方法(fngf)，保留数列的第一

14、项或前两项，从数列的第二项或第三项开始放缩，这样才不致使结果放得过大或缩得过小.第19页/共38页第二十页，共38页。牛刀小试牛刀小试(ni do xio sh)（变式练习（变式练习1）*22211151()35(21)4nnNL求证：证明证明(zhngmng)21(21)nQ111(1)4n 114 254n1111111(1)()()42231nn L14 (1)n n(2)n 2144nn111()41nn左边当当n = 1时，不等式显然时，不等式显然(xinrn)也成立也成立.第20页/共38页第二十一页，共38页。右边右边(yu (yu bian)bian)保留保留第一项第一项111

15、1231001111231(2009200)0S L珠海二求模理第(2)的整.问例数部分3 3122nn21nn2(1)nn21nn 2(1)nn 1 2( 100 1)19 182( 101 1)18S 的整数部分是思路思路(sl(sl)为了确定为了确定S S的整数部分的整数部分(b fen)(b fen)，必须将，必须将S S的值放缩在相邻的两个的值放缩在相邻的两个整数之间整数之间. .第21页/共38页第二十二页，共38页。右边右边(yu (yu bian)bian)保留保留第一项第一项111123100L1111231(2009200)0S L珠海二求模理第(2)的整.问例数部分3 3

16、122nn21nn2(1)nn21nn 2(1)nn Q1 2( 100 1)19 182( 101 1)18S 的整数部分是思路思路(sl(sl)为了确定为了确定S S的整数部分的整数部分(b fen)(b fen)，必须将，必须将S S的值放缩在相邻的值放缩在相邻的两个的两个整数之间整数之间. .第22页/共38页第二十三页，共38页。分析分析(fnx)思路思路(sl)左边(zu bian)32nn211111333n L22331(2011113()3232322193(3)22nnnNL求广东理第：问证例例4 4利用指数函数的单调性放缩为等比模型利用指数函数的单调性放缩为等比模型23

17、1 ( ) 3nn123 1 ( ) 3n13n*111()323nnnnN11331213n第23页/共38页第二十四页，共38页。分析分析(fnx)左边左边(zu bian)32n21111(1)733n L23111117()3232323214nnNL求证：例例4 4 变变式式2=3 (1)3nn223 (1)3n27 3n21117 3(2)nnan1311(1)143n (2)n 保留保留(boli)(boli)第第一项，从第二项一项，从第二项开始放缩开始放缩左边不能直接求和，能否仿照例左边不能直接求和，能否仿照例4的方法将通项也放缩的方法将通项也放缩为为等比模型等比模型后求和？后

18、求和？ 3171141(2)4n 当当n = 1时，不等式显然也成立时，不等式显然也成立.第24页/共38页第二十五页，共38页。【方法【方法(fngf)总总结之三】结之三】第25页/共38页第二十六页，共38页。(1)(2)1 22(1985)3(1)()22n nn nn nnNL全国求：例证5 5(1)(2)1 22 3(1)22n nn nn n L思路思路(sl)nT nR123nnTbbbbL123nnRccccL1( )niiaf n二形形（）如如第26页/共38页第二十七页，共38页。证明证明(zh(zhngmngmng)ng)(1)n nn (1)2nn12n1 22 3(1

19、)n nL1nkk(1)2n n11()2nkk(2)2n n评注评注(pngzh)用分析法寻找用分析法寻找(xnzho)(xnzho)证明思路显得一气呵证明思路显得一气呵成！成！第27页/共38页第二十八页，共38页。【方法【方法(fngf)总结总结之四】之四】第28页/共38页第二十九页，共38页。二二. 放缩目标放缩目标(mbio)模型模型可求积可求积第29页/共38页第三十页，共38页。135211()24(2060922121 (2) )nnnn NL求证东理：例广第问6 6思路思路(sl)135211246221nnn LnB1 2 3nbbbb1( )niiaf n三（形形如如）

20、第30页/共38页第三十一页，共38页。证明证明(zhngmng)(zhngmng)212nn22141nn21()21nnnN1352135721nnL左边121n第31页/共38页第三十二页，共38页。【方法【方法(fngf)总结总结之五】之五】第32页/共38页第三十三页，共38页。牛刀小试牛刀小试(ni do xio sh)（变式练习（变式练习2）(1998全国理全国理25第第(2)问问)*3111(1 1)(1)(1)(1)31 ()4732nnnNL求证：证明证明(zhngmng)31(1)32nQ313113232nnn 333334710313114732nnnL23331132(32)(32)nnn 33113232nnn 左边第33页/共38页第三十四页，共38页。放缩目标放缩目标(mbio)模型模型可求和可求和(qi h)可求积可求积等差模型等差模型(mxng)等比模型等比模型错位相减模型错位相减模型裂项相消模型裂项相消模型第34页/共38页第三十五页，共38页。又如：我们可以这样又如：我们可以