附录B向量及其运算j

1、一、向量概念一、向量概念 二、向量的线性运算二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系 附录附录B: B: 向量及其运算向量及其运算四、利用坐标作向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 七、两向量的向量积七、两向量的向量积六、两向量的数量积六、两向量的数量积一、向量概念一、向量概念 既有大小既有大小, , 又有方向的量叫做向量。又有方向的量叫做向量。 1、向量、向量 向量可用粗体字母、向量可用粗体字母、 或加箭头的书写体字母表示。或加箭头的书写体字母表示。 例如, a、r、v、F或a、r、v、F. 向量用一条有方向的线段向

2、量用一条有方向的线段(称为有向线段称为有向线段)表示。表示。2、向量的表示法、向量的表示法 与起点无关的向量与起点无关的向量, , 称为自由向称为自由向量量, , 简称向量。简称向量。 3、自由向量、自由向量 以以A为起点、为起点、B为终点的有向线段所表示的向量记为终点的有向线段所表示的向量记作作 。 AB 如果向量如果向量a和和b的大小相等的大小相等, , 且方向相同且方向相同, , 则说向量则说向量a和和b是是相等的相等的, , 记为记为a= =b。 相等的向量经过平移后可以完全重合。相等的向量经过平移后可以完全重合。 4 4、向量的相等、向量的相等 5、向量的模、向量的模 向量的大小叫做

3、向量的模。向量的大小叫做向量的模。 向量 a、a、AB的模分别记为|a|、|a、|AB. 6、单位向量、单位向量 模等于模等于1的向量叫做单位向量。的向量叫做单位向量。 7、零向量、零向量 零向量的起点与终点重合零向量的起点与终点重合, , 它的方向可以看作是任意的。它的方向可以看作是任意的。 模等于 0 的向量叫做零向量, 记作0或0. 二、向量的线性运算二、向量的线性运算 设有两个向量设有两个向量a与与b, , 平移向量平移向量, , 使使b的起点与的起点与a的终点重合的终点重合, , 则从则从a的起点到的起点到b的终点的向量的终点的向量c称为向量称为向量a与与b的和的和, , 记作记作a

4、+ +b, , 即即c= =a+ +b. .1 1、向量的加法、向量的加法 c= =a+ +b三角形法则三角形法则平行四边形法则平行四边形法则 （1）向量的加法的运算规律）向量的加法的运算规律 交换律交换律a+ +b= =b+ +a; ; 结合律结合律(a+ +b)+ +c= =a+ +(b+ +c). .（3）向量的减法）向量的减法 向量向量b与与a的差规定为的差规定为 b- -a= =b+ +(- -a). . （2）负向量）负向量（4）三角不等式）三角不等式 |a+ +b| |a|+ +|b|, , |a- -b| |a|+ +|b|, , 等号在等号在b与与a同向或反向时成立。同向或反

5、向时成立。 与向量与向量a的模相等而方向相反的模相等而方向相反的向量叫做的向量叫做a的负向量的负向量, , 记为记为- -a. . 当当 = =0时时, , | a|= =0, , 即即 a为零向量为零向量. . 向量向量a与实数与实数 的乘积记作的乘积记作 a, , 规定规定 a是一个向量是一个向量, , 它的模它的模| a|= =| |a|, , 它的方向当它的方向当 0时与时与a相同相同, , 当当 2、向量与数的乘法、向量与数的乘法 当当 =-=-1时时, , 有有(- -1)a =-=-a. . 当当 = =1时时, , 有有1a= =a; ; +=+=OROQOPNMPNOPOMr

6、 以以OM为对角线、三条坐标轴为棱作长方体为对角线、三条坐标轴为棱作长方体, , 有有 任给向量 r, 对应有点 M, 使r=OM. 设 i xOP=, j yOQ=, kzOR=, 则 kjirzyxOM+=. +=+=OROQOPNMPNOPOMr, 三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系 v向量的坐标分解式向量的坐标分解式 v向量的坐标分解式向量的坐标分解式 kjirzyxOM+=. 上式称为向量r的坐标分解式. xi、yj、zk称为向量r沿三个坐标轴方向的分向量. 点点M、向量、向量r与三个有序与三个有序x、y、z之间有一一对应的关系之间有一一对应的关系 任给向量r, 存在点M及xi、y

7、j、zk, 使 有序数有序数x、y、z称为向量称为向量r的坐标的坐标, , 记作记作r= =(x, , y, , z); ; 有序数有序数x、y、z也称为点也称为点M的坐标的坐标, , 记为记为M(x, , y, , z). . ) , ,(zyxzyxOMM+=kjir. 提示：四、利用坐标作向量的线性运算 a=axi+ay j+azk, b=bxi+by j+bzk, a+b =(ax+bx)i+(ay+by)j+(az+bz)k, a-b =(ax-bx)i+(ay-by)j+(az-bz)k, a =(ax)i+(ay)j+(az)k. 设a=(ax, ay, az), b=(bx,

8、by, bz), 则 a=(ax, ay, az). ab=(axbx, ayby, azbz), 五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 1 1、向量的模与两点间的距离公式、向量的模与两点间的距离公式 设向量 r=(x, y, z), 作r=OM, 则 +=OROQOPOMr, 按勾股定理可得按勾股定理可得 222|OROQOPOM+=r, 由 i xOP=, j yOQ=, kzOR=, 有有 |OP|= =|x|, , |OQ|= =|y|, , |OR|= =|z|, , 于是得向量模的坐标表示式于是得向量模的坐标表示式222|zyx+=r. 设向量设向量r= =(x,

9、, y, , z), , 作作, , 则则 222|zyx+=r. 设有点设有点A(x1, , y1, , z1)和点和点B(x2, , y2, , z2), , 则则-=OAOBAB= =(x2, , y2, , z2)- -(x1, , y1, , z1) = =(x2- -x1, , y2- -y1, , z2- -z1), , 于是点于是点A与点与点B间的距离为间的距离为 212212212)()()(|zzyyxxABAB-+-+-=. 14) 2(13|222=-+=AB, 例：已知两点A(4, 0, 5)和B(7, 1, 3), 求与 方向相同的单位向量e. AB 解 因为) 2

10、 , 1 , 3 () 5 , 0 , 4() 3 , 1 , 7(-=-=AB 解 ) 2 , 1 , 3 () 5 , 0 , 4() 3 , 1 , 7(-=-=AB) 2 , 1 , 3 () 5 , 0 , 4() 3 , 1 , 7(-=-=AB, 所以 ) 2 , 1 , 3 (141|-=ABABe. 2、方向角与方向余弦、方向角与方向余弦 （1）两个向量的夹角）两个向量的夹角 当把两个非零向量当把两个非零向量a与与b的起点放到同一点时的起点放到同一点时, , 两个向量两个向量之间的不超过之间的不超过 的夹角称为向量的夹角称为向量a与与b的夹角的夹角, , 记作记作(a, ,b

11、)或或(b, ,a). . 如果向量如果向量a与与b中有一个是零向量中有一个是零向量, , 规定它们的夹角可以规定它们的夹角可以在在0与与 之间任意取值之间任意取值. . 类似地类似地, , 可以规定向量与一轴的夹角或空间两轴的夹角可以规定向量与一轴的夹角或空间两轴的夹角. . （2 2）向量的方向角和方向余弦）向量的方向角和方向余弦 非零向量非零向量r与三条坐标轴的夹角与三条坐标轴的夹角 、 、 称为向量称为向量r的方的方向角向角. . cos 、cos 、cos 称为向量称为向量r的方的方向余弦向余弦. . |cosrx=, |cosry=, |cosrz=. 设设r= =(x, , y,

12、 , z), , 则则rerr=|1)cos ,cos ,(cos. 显然显然 以向量以向量r的方向余弦为坐标的向量的方向余弦为坐标的向量就是与就是与r同方向的单位向量同方向的单位向量e r. . cos2 + +cos2 + +cos2 = =1. . 因此因此 32=, 3=, 43 =. 21cos-=, 21cos=, 22cos-=; 解 rerr=|1)cos ,cos ,(cos. 例 3 设已知两点)2 , 2 , 2( A)和 B (1, 3, 0), 计算向量 例 AB的模、方向余弦和方向角. 解 )2 , 1 , 1()20 , 23 , 21 (-=-=AB; 2)2(

13、1) 1(|222=-+-=AB; 3 3、向量在轴上的投影、向量在轴上的投影 设点设点O及单位向量及单位向量e确定确定u轴轴. . 任给向量 r, 作r=OM, 再过点再过点M作与作与u轴垂直的平面交轴垂直的平面交u轴于点轴于点M, , 则向量则向量 MO称为向量 r在 u 轴上的分向量. 设e=MO, 则数称为向量 r在 u 轴上的投影, 记作 Prjur或或(r)u. . 向量a在直角坐标系Oxyz中的坐标ax, ay, az就是a在三条坐标轴上的投影, 即 ax=Prjxa, ay=Prjya, az=Prjza. （3）性质3 (a)u=(a)u (即Prju(a)=Prjua);（

14、2）性质2 (a+b)u=(a)u+(b)u (即Prju(a+b)=Prjua+Prjub); （1）性质1 (a)u=|a|cos (即Prjua=|a|cos), 其中为向量与u轴的夹角; v投影的性质 3、向量在轴上的投影 六、两向量的数量积六、两向量的数量积 设一物体在常力设一物体在常力F作用下沿直线从点作用下沿直线从点M1移动到点移动到点M2. . 以以s表示位移表示位移. . 数量积的物理背景数量积的物理背景 由物理学知道由物理学知道, , 力力F所作的功为所作的功为 W= =|F|s|cos , , 其中其中 为为F与与s的夹角的夹角. . 对于两个向量对于两个向量a和和b,

15、, 它们的模它们的模|a|、|b|及它们的夹角及它们的夹角 的余的余弦的乘积称为向量弦的乘积称为向量a和和b的数量积的数量积, , 记作记作a b, , 即即 ab= =|a|b|cos . . 1、数量积的定义、数量积的定义 根据数量积根据数量积, , 力力F所作的功所作的功W就是力就是力F与位移与位移s的数量积的数量积, , 即即 W= =F s . . 2、数量积与投影、数量积与投影 由于由于|b|cos = =|b|cos(a, , b), , 当当a 0时时, , |b|cos(a, , b)是向量是向量b在向量在向量a的方向上的投影的方向上的投影, , 于是于是 ab= =|a|P

16、rjab. . 同理同理, , 当当b 0时时, , ab= =|b|Prjba. . 所以所以, , 3、数量积的性质、数量积的性质 (1) aa= =|a|2. . (2) 对于两个非零向量对于两个非零向量 a、b, , 如果如果 ab= =0, , 则则 a b; ; 反之反之, , 如果如果a b, , 则则ab= =0. . 如果认为零向量与任何向量都垂直如果认为零向量与任何向量都垂直, , 则则 a bab= =0. . 4、数量积的运算律、数量积的运算律 (1)交换律交换律: : ab= =ba; ; (2)分配律分配律: : (a+ +b)c= =ac+ +bc. . (3)(

17、 a)b= =a( b)= = (ab), , ( a)( b)= =(ab), , 其中其中 、 为数为数. . 提示：5、数量积的坐标表示 a=axi+ay j+azk, b=bxi+by j+bzk, ab=(axi+ay j+azk)(bxi+by j+bzk) =axbxii+axbyij+axbzik +aybx ji+ayby jj+aybz jk +azbxki+azbykj+azbzkk =axbx+ayby+azbz . ab=axbx+ayby+azbz . 设a=(ax, ay, az ), b=(bx, by, bz ), 则 设设 = =(a, , b), , 则当

18、则当a 0、b 0时时, , 有有 6、向量夹角余弦的坐标表示、向量夹角余弦的坐标表示 提示提示: : a b= =|a|b|cos . . 222222|coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa+=baba222222|coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa+=baba. 例 已知三点M(1, 1, 1)、A(2, 2, 1)和B(2, 1, 2), 求AMB. 从M到A的向量记为a, 从M到B的向量记为b, 则AMB 就是向量a与b的夹角. 2011|222=+=a, 2101|222=+=b, 所以 21221|cos=babaAMB. 从而 3=AMB.

19、因为 ab=11+10+01=1, b =(2, 1, 2)- -(1, 1, 1)a =(2, 2, 1)- -(1, 1, 1)=(1, 1, 0), =(1, 0, 1). 解 设向量设向量c是由两个向量是由两个向量a与与b按下列方式定出按下列方式定出: : c的模的模|c|= =|a|b|sin(a, , b); ; c的方向垂直于的方向垂直于a与与b所决定的平面所决定的平面, , c的指向按右手规则的指向按右手规则从从a转向转向b来确定来确定. . 右手规则右手规则 那么那么, , 向量向量c叫做向量叫做向量a与与b的向量积的向量积, , 记作记作a b, , 即即 c= =a b. . 七、两向量的向量积七、两向量的向量积1、向量积的运算律2、向量积的性质 v (1) aa=0; (2) 对于两个非零向量a、b, 如果ab=0, 则a/b; 反之, 如果a/b, 则ab=0. 如果认为零向量与任何向量都平行, 则 a/bab=0. （3）模ab 在空间直角坐标系中在空间直角坐标系中 i i= =j j= =k k= =? i j= =? j k= =? k i= =? (1) 交换律交换律: : a b=-=-b a; ; (2) 分配律分配律: : (a+ +b) c= =a c+ +b