直线与平面平面与平面的相对位置关系学习教案

1、会计学1第一页，共40页。ABLabccabXOOXbaccbadeed4.1 直线与平面平行4.2 过点c作平面平行于直线AB 直线直线L与与P平面平面(pngmin)内的直线内的直线AB平行，则平行，则L平行于平面平行于平面(pngmin)P。反之，如果直线。反之，如果直线L平行于平行于P平面平面(pngmin)，则在平，则在平面面(pngmin)P可以找到与直线可以找到与直线L平行的直线。平行的直线。 检查一平面是否平行检查一平面是否平行(pngxng)于一已知直线，只要看能否在该面上作一直线与已知直于一已知直线，只要看能否在该面上作一直线与已知直线平行线平行(pngxng)。第1页/共

2、40页第二页，共40页。abccabXOOXbaccbadeed第2页/共40页第三页，共40页。PpABCDcdpbaHHpabdcbadcXO第3页/共40页第四页，共40页。bacdadcbebacdadcbefeefOXOX第4页/共40页第五页，共40页。PQBCADFE第5页/共40页第六页，共40页。XOOXadefbccbadeffedfedaa第6页/共40页第七页，共40页。 当两个投影面垂直面P与Q相互平行时，它们的积聚(jj)投影，即它们与该投影面的交线，也相互平行。 第7页/共40页第八页，共40页。【分析【分析(fnx)(fnx)】由已知可得，】由已知可得，CDE

3、CDE 为铅垂面，且为铅垂面，且ab/cdeab/cde，过，过a a作作am/cd,am/cd,连连 接接bmbm，则，则AMBAMB即为所求即为所求 。abbaccddeeabbaccddeemmXOXO第8页/共40页第九页，共40页。LCDBAPebadccdabehhqq 直线与平面(pngmin)垂直的几何条件是：若直线垂直于平面(pngmin)内的两相交直线，则该直线与平面(pngmin)垂直。反之，若直线垂直于平面(pngmin)，则该直线垂直于平面(pngmin)内的所有直线。 在投影图上作平面的垂线时，可作出平面上的正平线和水平线作为面上的相交二直线。 根据两直线垂直的直角

4、投影特性可知，所作垂线与正平线所夹的直角，在V面投影仍反映为直角。垂线与水平线所夹的直角，在H面投影仍反映为直角。 第9页/共40页第十页，共40页。eeqqebadccdabehhqq第10页/共40页第十一页，共40页。QPABababppabH 直线垂直于投影面垂直面时，它必然是一条直线垂直于投影面垂直面时，它必然是一条(y tio)(y tio)投影面平行线，平行于该平投影面平行线，平行于该平面所垂直的投影面，该面的积聚投影与该垂线的同面投影相互垂直。面所垂直的投影面，该面的积聚投影与该垂线的同面投影相互垂直。第11页/共40页第十二页，共40页。【分析】如图所示，平面【分析】如图所示

5、，平面ABCD为铅垂面，在为铅垂面，在H面积聚为一条线段面积聚为一条线段(xindun)，要作铅垂面的垂线，只需作出其，要作铅垂面的垂线，只需作出其H面投影的垂线即可。与铅垂面垂直的直线均为水平线，因此，所求垂线的面投影的垂线即可。与铅垂面垂直的直线均为水平线，因此，所求垂线的V面投影一定为平行于面投影一定为平行于OX轴直线。轴直线。bacdadceeb第12页/共40页第十三页，共40页。bacdadcbemem第13页/共40页第十四页，共40页。【分析】要作正垂面垂直于正平线，只需在【分析】要作正垂面垂直于正平线，只需在V V投影面作投影面作cdcd的垂线，在此垂线上我们的垂线，在此垂线

6、上我们(w men) (w men) 定点定点aa、bb、mm，向下作连系线，可确定平面，向下作连系线，可确定平面ABMABM即为所求正垂面。即为所求正垂面。dcdcdcdcambabm第14页/共40页第十五页，共40页。PQLABCD 两平面垂直的几何(j h)条件是：若一平面上有一直线与另一平面垂直，则两平面相互垂直。如图所示，因P平面中一条直线L垂直于平面Q,则PQ。 在特殊情况下，当两平面都是同一投影面的垂直面时，则两平面的垂直关系可直接在两平面的积聚投影中表现出来。第15页/共40页第十六页，共40页。defdeamnXafmnodefdeackmnghghXacfkmno【分析】

7、作平面垂直于已知平面时，需先作一直线垂直于已知平面，然后包含【分析】作平面垂直于已知平面时，需先作一直线垂直于已知平面，然后包含(bohn)所作垂线作平面即可。因又要求平面平行于直线所作垂线作平面即可。因又要求平面平行于直线MN，故作另一直线平行于，故作另一直线平行于MN即可。即可。 第16页/共40页第十七页，共40页。defdeackmnghghXacfkmno作图步骤： 过A点作直线垂直于DEF。先在DEF内作水平线DG和正平线EH，然后过A作直线AK与水平线和正平线垂直，即akfg，akdh。则AK即与DEF垂直。 包含(bohn)AB作平面平行于MN。即作一直线AC，使ac/mn,

8、ac/mn,则直线AK与AC所组成的平面平行于直线MN。第17页/共40页第十八页，共40页。 直线与平面相交于一点，该点称为交点，交点是平面与直线的共有点，它既在直线上又在平面上。 平面与平面相交于一条直线，该直线称为交线，交线是两平面的共有线，它应同属于(shy)两平面。 直线与平面、平面与平面相交的求解方法一般有两种。 （1）积聚投影法：当直线或平面有积聚投影时，可利用积聚投影来求交点或交线。 （2）辅助面投影法：当直线或平面均无积聚投影时，可利用辅助平面来求交点或交线。交点、交线是互相联系的，为叙述方便起见，先介绍几种特殊情况，然后再讨论一般的作图方法。第18页/共40页第十九页，共4

9、0页。一、一般位置直线与特殊位置平面一、一般位置直线与特殊位置平面(pngmin)相交相交 由于平面处于特殊位置(wi zhi)时，其某一投影具有积聚性因此可利用其积聚投影来求交点，并判别可见性。 如图所示，一般线AB与铅垂面P 相交，交点K 既在AB上又在P 平面上。ABPbapXOpapabb12k1(2)kXOpabHabkK第19页/共40页第二十页，共40页。【例9】 求直线AB与平面(pngmin)P的交点K，并判别可见性。bapXOpab【分析】平面P为铅垂面，因此直线AB与平面P的交点的投影(tuyng)必在平面P的H面积聚线段上，又因为交点是两者的公共点，所以p与ab的交点k

10、既为所求交点的H面投影(tuyng)，由此作连系线，再与ab交得k。 第20页/共40页第二十一页，共40页。XOpapabb12k1(2)k第21页/共40页第二十二页，共40页。由于直线(zhxin)具有积聚性，因此可利用其积聚投影来求交点，并判别可见性。CDEecdHKABakbXOacdedecabbbakbcededcaOX1322(3)k1(a)(b)如图所示，铅垂线AB与平面CDE相交(xingjio)，交点K既在AB上又在CDE平面上。第22页/共40页第二十三页，共40页。CDEecdHKABakbXOacdedecabbbakbcededcaOX1322(3)k1(a)(b

11、)CDEecdHKABakbXOacdedecabbbakbcededcaOX1322(3)k1(a)(b)第23页/共40页第二十四页，共40页。bkcededcaOX1322(3)k1第24页/共40页第二十五页，共40页。ABCPpacbMNm(n)HXOacbpcapbbpacpbcaOX12m(n)1(2)nm(a)(b)第25页/共40页第二十六页，共40页。ABCPpacbMNm(n)HXOacbpcapbbpacpbcaOX12m(n)1(2)nm(a)(b)ABCPpacbMNm(n)HXOacbpcapbbpacpbcaOX12m(n)1(2)nm(a)(b)第26页/共4

12、0页第二十七页，共40页。pacpbcaOX12m(n)1(2)nm第27页/共40页第二十八页，共40页。 一般位置平面与特殊一般位置平面与特殊(tsh)位置平面相交，可利用特殊位置平面相交，可利用特殊(tsh)位置平面的积聚性投影位置平面的积聚性投影求交线，并判断可见性。求交线，并判断可见性。 HbBCpnmacMNAPbpacabcpm1(2)mnbacpacpbn12XO(a)(b)XO4.22 一般面与铅垂面相交 4.23一般面与铅垂面交线的求法 铅垂面P与ABC 相交，由于(yuy)P 面的H 面投影积聚为p，交线MN 的H 投影mn在p上；交线MN既在ABC上又在平面P上。利用平

13、面的积聚投影求交线，并判别可见性。 第28页/共40页第二十九页，共40页。HbBCpnmacMNAPbpacabcpm1(2)mnbacpacpbn12XO(a)(b)XO4.22 一般面与铅垂面相交 4.23一般面与铅垂面交线的求法HbBCpnmacMNAPbpacabcpm1(2)mnbacpacpbn12XO(a)(b)XO4.22 一般面与铅垂面相交 4.23一般面与铅垂面交线的求法第29页/共40页第三十页，共40页。HbBCpnmacMNAPbpacabcpm1(2)mnbacpacpbn12XO(a)(b)XO4.22 一般面与铅垂面相交 4.23一般面与铅垂面交线的求法12m

14、nmn1(2)第30页/共40页第三十一页，共40页。m1(2)mnbacpacpbn12XO第31页/共40页第三十二页，共40页。 直线与一般位置(wi zhi)平面相交。由于一般位置(wi zhi)直线、平面的投影没有积聚性，因此，在投影图中不能直接求出它们的交点。 直线AB与平面CDE 相交，由于交点K 是平面与直线的共有点，故过K 点可在平面CDE 内任作一直线MN，直线MN 与已知直线AB 可构成一个辅助平面R，而MN 就是辅助平面与已知平面的交线。MN 与直线AB 的交点K 即为已知直线与平面的交点。 由此可得出利用辅助平面求一般位置(wi zhi)的直线与平面交点的作图方法：(

15、1)包含AB 直线作一辅助平面R;(2)求辅助平面R 与己知平面CDE 的交线MN；(3)求AB 直线与交线MN 的交点K。 ABDCEMNKR第32页/共40页第三十三页，共40页。【例【例13】 已知直线已知直线(zhxin)DE和和ABC的两投影，试求的两投影，试求DE和和ABC的交点。的交点。第33页/共40页第三十四页，共40页。作图步骤： 过DE 作铅垂面P。可在投影图上延长de，加上标记PH。 求P 和ABC 的交线FG,fg和fg 即为交线的两面投影。 fg与de 相交于点k，从k 引铅直连线(lin xin)与de 相交于k，则k、k即为所求交点的两面投影。 判别可见性,整理

16、如图。第34页/共40页第三十五页，共40页。 六、一般位置(wi zhi)平面与一般位置(wi zhi)平面相交 两一般位置平面相交。求两一般位置平面的交线时，可选其中两一般位置平面相交。求两一般位置平面的交线时，可选其中(qzhng)一个平面内的任一直线，求出它与另一平面的交点，即得交线上的一个点。用同样方法求出另一个点，两点连线即为两平面的交线。一个平面内的任一直线，求出它与另一平面的交点，即得交线上的一个点。用同样方法求出另一个点，两点连线即为两平面的交线。befdac1(2)mndfeabcmn1233(4)4OXPQvvbefdacdfeabcOX第35页/共40页第三十六页，共4

17、0页。第36页/共40页第三十七页，共40页。efdcbaabcdefOXQvPvjmnikhjkihmn作图步骤作图步骤(bzhu)(bzhu)：(1) (1) 如图所示，通过如图所示，通过AC AC 边作一边作一正垂面正垂面P,P,交交DEFDEF于直线于直线HI,HI,直线直线HIHI与与ACAC的交点的交点N N，即为两平面交线上，即为两平面交线上的一点。的一点。(2)(2)又过又过EFEF作正垂面作正垂面Q Q，交，交ABC ABC 于直线于直线JKJK。并求得与。并求得与EF EF 的交点的交点M M。(3)(3)连连MNMN，即为所求交线。，即为所求交线。第37页/共40页第三十八页，共40页。(4)(4)判别可见判别可见(kjin)(kjin)性，整理如图。性，整理如图。第38页/共40页第三十九页，共40页。1 1、直线与平面、平面与平面的平行关系的判定条件以及、直线与平面、平面与平面的平行关系的判定条件以及其交点、交线的作