理论力学3—力偶系

1、第三章第三章 力偶系力偶系 平面中力对点之矩平面中力对点之矩 平面力偶系平面力偶系 力对轴之矩和力对点之力对轴之矩和力对点之矩矩 空间力偶系空间力偶系3.1平面力对点之矩的概念及计算MO(F)OhrFAB3.1.1 力对点之矩（力矩）力F与点O位于同一平面内，点O称为矩心，点O到力的作用线的垂直距离h称为力臂。力对对点之矩是一个代数量，它的绝对值等于力的大小与力臂的乘积，它的正负可按下法确定：力使物体绕矩心逆时针转动时为正，反之为负。()2OOABMFhA F力矩的单位常用Nm或kNm。3.1.2 合力矩定理与力矩的解析表达式平面汇交力系的合力对于平面内任一点之矩等于所有各分力对于该点之矩的代

2、数和。R1()()niOOiMM FFFFxFyxyOqxyA()sincosOyxMxFyFxFyFqq F(1) 合力矩定理(2) 力矩的解析表达式3.1平面力对点之矩的概念及计算例1如图圆柱直齿轮，受到啮合力F的作用。已知F1400 N, 节圆半径r60 mm, a20，求力Fn对O点的矩。()cos78.93 N mOMF hFr Frtt()()()()cosOOOOMMMMFr FFFFFnFrFtFn3.2 平面力偶由两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成的力系，称为力偶，记为(F, F)。力偶的两力之间的垂直距离d称为力臂，力偶所在的平面称为力偶作用面。力偶不能合成为一个力

3、，也不能用一个力来平衡。力和力偶是静力学的两个基本要素。3.2.1力偶与力偶矩3.2.1 力偶与力偶矩FFdDABC力偶是由两个力组成的特殊力系，它的作用只改变物体的转动状态。力偶对物体的转动效应用力偶矩来度量。平面力偶对物体的作用效应由以下两个因素决定：(1) 力偶矩的大小；(2) 力偶在作用面内的转向。平面力偶矩可视为代数量，以M或M(F, F)表示，2ABCMFdA 平面力偶矩是一个代数量，其绝对值等于力的大小与力偶臂的乘积，正负号表示力偶的转向：一般以逆时针转向为正，反之则为负。力偶矩的单位与力矩相同。3.2 平面力偶 3.2.2 同平面内力偶的等效定理定理定理：在同平面内的两个力偶，

4、如果力偶矩相等，则两力偶彼此等效。推论：(1) 任一力偶可以在它的作用面内任意移转，而不改变它对刚体的作用。因此，力偶对刚体的作用与力偶在其作用面内的位置无关。(2) 只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变，可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变力偶对刚体的作用。3.2 平面力偶3.2.2 同平面内力偶的等效定理定理力偶的臂和力的大小都不是力偶的特征量，只有力偶矩才是力偶作用的唯一量度。今后常用如图所示的符号表示力偶。M为力偶的矩。3.2 平面力偶1113MFdF d2224MF dF d M1(F1, F1)， M2(F2, F2)3434FFFFFF343412()MFdFF d

5、F dF dMM在同平面内的任意个力偶可以合成为一个合力偶，合力偶矩等于各个力偶矩的代数和。 1niiMM 3.2.3 平面力偶系的合成3.2 平面力偶3.2.4 平面力偶系的平衡条件所谓力偶系的平衡，就是合力偶的矩等于零。因此，平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力偶矩的代数和等于零，即10niiM3.2 平面力偶思考题思考题1：刚体上A、B、C、D四点组成一个平行四边形，如在其四个顶点作用有四个力，此四力沿四个边恰好组成封闭的力多边形，如图所示。此刚体是否平衡？ F1F3BACDF2F43.2 平面力偶3.2.4 平面力偶系的平衡条件PORM思考题思考题2：从力偶理论知道，一力不能与力

6、偶平衡。图示轮子上的力P为什么能与M平衡呢？ FO3.2 平面力偶3.2.4 平面力偶系的平衡条件例例3 在一钻床上水平放置工件在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径在工件上同时钻四个等直径的孔的孔,每个钻头的力偶矩为每个钻头的力偶矩为 ,求工件的求工件的总切削力偶矩和总切削力偶矩和A 、B端水平反力端水平反力? mN154321mmmmmN60)15(4 4321mmmmM02 . 04321mmmmNBN3002 . 060BNN 300BANN解解: 各力偶的合力偶矩为各力偶的合力偶矩为根据平面力偶系平衡方程有根据平面力偶系平衡方程有:由力偶只能与力偶平衡的性质，由力偶只能与力

7、偶平衡的性质，力力NA与力与力NB组成一力偶。组成一力偶。例例4 图示结构，已知图示结构，已知M=800N.m，求，求A、C两点的约束反力。两点的约束反力。).(255. 0mNRdRMCCAC 0iM0 MMACNRC3137例例5图示杆系，已知图示杆系，已知m，l。求。求A、B处约束力。处约束力。解：解：1、研究对象二力杆：、研究对象二力杆：ADADNCR2、研究对象：、研究对象： 整体整体ADNBRlmRNBAD思考：思考：CB杆受力情况如何？杆受力情况如何？BRCRm练习：练习：解：解：1、研究对象二力杆：、研究对象二力杆：BC2、研究对象：、研究对象： 整体整体ADNBRBRCRAD

8、NmCRlmlmRNBAD245sin0 力对点的矩以矢量表示力矩矢xyzOFMO(F)rA(x,y,z)hB 空间力对点的矩的作用效果取决于：力矩的大小、转向和力矩作用面方位。这三个因素可用一个矢量MO(F)表示，如图。其模表示力矩的大小；指向由右手螺旋法则确定；方位与力矩作用面法线相同。由于力矩与矩心的位置有关，所以力矩矢的始端一定在矩心O处，是定位矢量。3.3 力对点之矩与力对轴之矩3.3.1力对点之矩以r表示力作用点A的矢径()O MFrF(1)矢量积的模为xyzOFMO(F)rA(x,y,z)hBjikFhrFFrsin3.3 力对点之矩与力对轴之矩3.3.1力对点之矩它与力F对O点

9、之矩矢 的模相等；矢量积的方位由矢量r与F所决定平面的垂线确定；矢量积的指向根据矢量积规则确定，它们分别以力F对O点之矩矢的方位和指向一致。所以：)(FMo（2）力对点之矩矢的解析表示式()O MFrF以矩心O为原点建立坐标系，则xyzxyzFFF rijkFijk()()()()OxyzzyxzyxxyzFFFyFzFzFxFxFyF ijkMFrF =ijkxyzOFMO(F)rA(x,y,z)hBjik3.3 力对点之矩与力对轴之矩3.3.1力对点之矩力矩矢MO(F)在三个坐标轴上的投影为()()()OxzyOyxzOzyxyFzFzFxFxFyF MFMFMFxyzOFMO(F)rA(

10、x,y,z)hBjik3.3 力对点之矩与力对轴之矩3.3.1力对点之矩1.力F对z 轴的矩定义为：()()2zOxyxyOabMMF hA FF力对轴的矩是力使刚体绕该轴转动效果的度量，是一个代数量，其绝对值等于力在垂直于该轴平面上的投影对于轴与平面交点的矩。xyzOFFxyhBAab符号规定：从z轴正向看，若力使刚体逆时针转则取正号，反之取负。也可按右手螺旋法则确定其正负号。由定义可知：(1)当力的作用线与轴平行或相交(共面)时，力对轴的矩等于零。(2)当力沿作用线移动时，它对于轴的矩不变。3.3 力对点之矩与力对轴之矩3.3.2力对轴之矩2 .力对轴的矩的解析表达式xyzOFFxFyFz

11、A(x,y,z)BFxFyFxyabxy()()()()zOxyOxOyyxMMMMxFyF FFFF设力F沿三个坐标轴的分量分别为Fx，Fy，Fz，力作用点A的坐标为(x,y,z)，则同理可得其它两式。故有()()()xzyyxzzyxMyFzFMzFxFMxFyF FFF3.3 力对点之矩与力对轴之矩3.3.1力对点之矩比较力对点的矩和力对轴的矩的解析表达式得：即：力对点的矩矢在通过该点的某轴上的投影，等于力对该轴的矩。3.3.2 力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系()()()()()()OxxOyyOzzMMM MFFMFFMFF3.3 力对点之矩与力对轴之矩力对轴之矩实例力对轴之矩实

12、例FzFxFy3.3 力对点之矩与力对轴之矩（3 3）力对轴之矩）力对轴之矩 力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力对该轴的矩为零。内），力对该轴的矩为零。求力F在三轴上的投影和对三轴的矩。解：222coscosxFaFFabcq222cos sinyFbFFabcq222sinzFcFFabcq ()()()()xxxxyxzyMMMMF c FFFF()0yMF()()()()zzxzyzzyMMMMF a FFFFyxzFqbcaFxy22222cosababcq22cosaabaazxyOFa图示力图示力F，对，对x轴之矩轴之矩Mx(F )

13、为：为： 答案：答案：DFz2a3a 例题例题 FaDFaCFaBFaA33)(22)(3)(2)(xyzO图示力图示力 ，已知，已知F = 2 kN。则力。则力 对对x轴之矩为：轴之矩为：ABCD答案：答案：D 例题例题 4 m3 m5 mFF在棱边边长为a的正方体侧面作用力 ,设a=1m，F1000N，则力对z轴之矩大小为（）A1000NmB1414NmC707NmD0Nm空间力偶对刚体的作用效应，可用力偶矩矢来度量，即力偶中的两个力对空间某点之矩的矢量和来度量。 1 力偶矩以矢量表示，力偶矩矢3.4 空间力偶3.4.1力偶矩矢式中，M称为力偶矩矢，它是力偶对刚体产生的绕任一点转动效应的度

14、量，与O点位置无关，是自由矢量空间力偶对刚体的作用效应取决于三个因素： 1 力偶矩以矢量表示，力偶矩矢 1. 矢量的模，及力偶矩大小MFd 3. 矢量的指向与力偶转向的关系服从右手螺旋法则 2. 矢量的方位与力偶作用面相垂直3.4 空间力偶3.4.1力偶矩矢 由力偶的性质可知：力偶的作用效果取决于力偶矩的大小、力偶转向和作用面方位。因此可用一矢量M表示：选定比例尺，用M的模表示力偶矩的大小；M的指向按右手螺旋法则表示力偶的转向； M的作用线与力偶作用面的法线方位相同。如图所示。 M称为力偶矩矢。 空间力偶的等效条件是：两个力偶的力偶矩矢相等。FMF3.4 空间力偶3.4.2 空间力偶等效定理力偶作用面不在同一平面内的力偶系称为空间力偶系。 空间力偶系合成的最后结果为一个合力偶，合力偶矩矢等于各力偶矩矢的矢量和。即：12ni MMMMM3.4 空间力偶3.4.3 空间力偶系的合成根据合矢量投影定理：,xxyyzzMMMMMM 于是合力偶矩的大小和方向可由下式确定：222()()()xyzMMMM cos(, ),cos(, ),cos(, )yxzMMMMMMM iM jM k3.4 空间力偶3.4.3 空间力偶系的合成 空间力偶系可以合成一合力偶，所以空间力偶系平衡的必要与充分条件是：合力偶矩矢等于零。即：0