理论力学第十章 质点动力学基本方程(Y)

1、第三篇第三篇 动力学动力学运动分析运动分析画速度、加速度图画速度、加速度图静力学静力学运动学运动学受力分析受力分析画受力图画受力图质点质点质点系质点系一、质点动力学的基本定律一、质点动力学的基本定律二、质点的运动微分方程二、质点的运动微分方程三、质点动力学的两类基本问题三、质点动力学的两类基本问题 一、质点动力学的基本定律一、质点动力学的基本定律第一定律第一定律 ( (惯性定律惯性定律):):不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。常矢量常矢量vaF00不受力作用的质点是不存在的，指作用于质点上合力为零。不受力作用的质点是不存在的，指作用于质

2、点上合力为零。质点上作用的是平衡力系质点上作用的是平衡力系惯性惯性物体具有保持其原有运动状态的特征物体具有保持其原有运动状态的特征第三定律第三定律 ( (作用与反作用定律作用与反作用定律):):两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等, ,方向方向相反相反, ,沿着同一直线沿着同一直线, ,且同时分别作用在这两个物体上。且同时分别作用在这两个物体上。第二定律第二定律Fam力的单位力的单位: :牛牛 顿顿,2sm11kg1N在外力作用下，物体所获得的加速度不仅与外力有关，在外力作用下，物体所获得的加速度不仅与外力有关，而且还决定于物体本身的特征而且还决定于

3、物体本身的特征 m 惯性惯性maF，不不变变)1(物体的运动状态容易改变物体的运动状态容易改变惯性小惯性小在力的作用下物体所获得的加速度的大小与作用力的大在力的作用下物体所获得的加速度的大小与作用力的大小成正比，与物体的质量成反比，方向与力的方向相同小成正比，与物体的质量成反比，方向与力的方向相同。 maF，不不变变)2(物体的运动状态不易改变物体的运动状态不易改变惯性大惯性大合力矢合力矢二、质点的运动微分方程二、质点的运动微分方程iiFtrmFam22dd矢量形式的微分方程矢量形式的微分方程 1 1 、在直角坐标轴上的投影、在直角坐标轴上的投影kajaiaazyx zzyyxxFdtzdmz

4、mmaFdtydmymmaFdtxdmxmma222222 Fam2 2、在自然轴上的投影、在自然轴上的投影 0bnanaaa bbnnFaFvmmaFdtdvmma02 nnFvmmaFdtdvmma2混合问题：混合问题：对于多数非自由质点，一般同时存在对于多数非自由质点，一般同时存在 以上动力学的两类问题以上动力学的两类问题。第一类问题：比较简单。第一类问题：比较简单。 已知质点的运动规律，求作用在质点上的力，通常未知已知质点的运动规律，求作用在质点上的力，通常未知 的是约束力。这是点的运动方程对时间求导数的过程。的是约束力。这是点的运动方程对时间求导数的过程。第二类问题：比较复杂。第二类

5、问题：比较复杂。 已知作用在质点上的力，求质点的运动规律。这是运动已知作用在质点上的力，求质点的运动规律。这是运动 微分方程的积分过程。微分方程的积分过程。 第一类问题：第一类问题：已知质点的运动已知质点的运动, ,求作用于质点的力求作用于质点的力。第二类问题：第二类问题：已知作用于质点的力已知作用于质点的力, ,求质点的运动。求质点的运动。三三 、质点动力学的两类基本问题、质点动力学的两类基本问题 已知：已知：物体由高度物体由高度h 处以速度处以速度v0 水平抛出，如图所示。空气阻水平抛出，如图所示。空气阻 力可视为与速度的一次方成正比，即力可视为与速度的一次方成正比，即 ，其中，其中 m

6、为物体的质量，为物体的质量，v 为物体的速度，为物体的速度，k 为常系数。为常系数。 求：求：物体的运动方程和轨迹。物体的运动方程和轨迹。vFkm解：解：以物体为研究对象，分析物体任意位置的受力与运动。以物体为研究对象，分析物体任意位置的受力与运动。 列出物体直角坐标形式的运动微分方程列出物体直角坐标形式的运动微分方程()xyFkmvkm v iv j mgykmmgvkmymxkmvkmxmyx yvxvyxgykyxkx （1 1）xkx xxkvdtdvtvvxxkdtvdv00ktlnvlnv0 xktvvln0 xdtdxevvkt0 xtkt0 xdtevdx001 1kt0kt0

7、ekvekvxgyky （2 2）gkvdtdvyytvyydtgkvdvy00tlnggln(kvk1y )ktggkvlnyktyeggkvdtkgekgdytktyh)(0tkgekghykt)1 (2tkgekghykt)1 (21 1kt0kt0ekvekvx物体的运动方程物体的运动方程物体的运动轨迹物体的运动轨迹0002lnkvgxkxvvkghy已知：已知：图示质点的质量为图示质点的质量为m ，受指向原点，受指向原点O 的力的力 作用，作用， 力与质点到点力与质点到点O 的距离成正比。如初瞬时质点的坐标的距离成正比。如初瞬时质点的坐标 为为 ， ，而速度的分量为，而速度的分量为

8、， 。试求：试求：质点的轨迹。质点的轨迹。 krF 0 xx 0y0 xv0vvy解：解：画质点受力图（质点在水平面内运动）画质点受力图（质点在水平面内运动）ykFymxkFxmyx 00ymkyxmkx 解法一：解法一：tmkBtmkAytmkBtmkAxsincossincos2211边界条件定积分常数边界条件定积分常数 t=0 时时0 xx 0 xv0101BxA0y0vvykmvBA0220tmkkmvytmkxxsincos00tmkmkBtmkmkAvtmkmkBtmkmkAvyxcossincossin2211ykFymxkFxmyx 解法二：解法二：xkxm ykym （1 1

9、）kxdtdvmxdxdtdtdxkxdtmdvxdxkxdvvmxxxxvx002222022xkxkmvxdtdxxxmkvx220dtmkxxdxtxx02200（2 2）已知：已知：如图所示，在三棱柱如图所示，在三棱柱ABC 的粗糙斜面上，放一质量为的粗糙斜面上，放一质量为m 的物体的物体M，三棱柱以匀加速度三棱柱以匀加速度a 沿水平方向运动。设摩擦沿水平方向运动。设摩擦 系数为系数为 fs ，且，且 。为使物体。为使物体M 在三棱柱上处于在三棱柱上处于 相对静止，相对静止，试求：试求：a 的最大值，以及这时物体的最大值，以及这时物体M 对三棱柱的压力。对三棱柱的压力。tgsf解：解：

10、设物体设物体M 即将沿斜面上滑时，画受力图即将沿斜面上滑时，画受力图sincosmgFmaScossinmgFmaNNsSFfF gffasssincoscossinsincossNfmgF习题：习题：质量为质量为2kg的滑块在力的滑块在力F 作用下沿杆作用下沿杆AB 运动，杆运动，杆AB 在在 铅直平面内绕铅直平面内绕A 转动。转动。已知：已知： ， （s 的单位：的单位：m； 的单位：的单位：radrad； t 的单位：的单位：s），滑块与杆），滑块与杆AB的摩擦系数为的摩擦系数为0.10.1。 求：求： 时，推动滑块力时，推动滑块力F 的大小。的大小。t4 . 0st5 . 0st2解：

11、解：（1 1）滑块的速度分析）滑块的速度分析avevrvreavvv04 . 0t4 . 0rradtdsvs05 . 0t5 . 0dtd01 . 02 . 02eneeatsatsvcreneaaaaaa4 . 02rvacrev与垂直，垂直，caneaevrvavneacasinmgFFmamaSneaxsinmgmaNfFnes2 . 01 . 02tsane066.2821801t5 . 0radst2N23.17FcosmgNmamacay)cos(cagmNcreneaaaaaa已知：已知：图示一小球从半径为图示一小球从半径为R的光滑半圆柱体的顶点无初速地的光滑半圆柱体的顶点无初

12、速地 沿柱体下滑。沿柱体下滑。 求：求：（1）写小球沿圆柱体的运动微分方程；写小球沿圆柱体的运动微分方程； （2 2）小球脱离圆柱体时的角度）小球脱离圆柱体时的角度 。 解：解：以小球为研究对象，分析小球任意位置的受力与运动。以小球为研究对象，分析小球任意位置的受力与运动。 列写小球自然坐标形式的运动微分方程列写小球自然坐标形式的运动微分方程NmgRvmmgdtdvmcossin2 RdtdvaRS Rdtdsv小球沿圆柱体的运动微分方程为小球沿圆柱体的运动微分方程为 singR 000t初始条件：初始条件：dddddtddtd 00sindgdRcos122Rgcos122gRvdtdRRd

13、tdsvcos12gRvtdtRgd002cos1RS 0N脱离约束的条件为脱离约束的条件为 ，由此得出当，由此得出当02cos3 mgmg19.4832cos32cos1小球脱离圆柱体小球脱离圆柱体cos122gRvmgmgN2cos3NmgRvmmgdtdvmcossin2例例22 长长l，质量为质量为m 的均质杆的均质杆 AB 和和 BC 用铰链用铰链 B 联接，并用铰链联接，并用铰链 A 固定，固定，位于平衡位置。今在位于平衡位置。今在 C 端作用一水平端作用一水平力力F，求此瞬时，两杆的角加速度。求此瞬时，两杆的角加速度。解：分别以解：分别以AB和和BC为研究对象，受力为研究对象，受

14、力如图。如图。 AB和和BC分别作定轴转动和平面分别作定轴转动和平面运动。对运动。对AB由定轴转动的微分方程得由定轴转动的微分方程得21(1)3ABBxmlF lABFAxFBxFByaBWABCBAFFAyBC作平面运动，取作平面运动，取B为基点，则为基点，则nGBGBGBaaaa将以上矢量式投影到水平方向，得将以上矢量式投影到水平方向，得2lGxBGBABBCaaal(4)由由(1) (1) (4)(4)联立解得联立解得630,77ABBCFFmlml 2,0nlBABGBBCGBalaa对对BC由刚体平面运动的微分方程得由刚体平面运动的微分方程得GxBxmaFF(2)211222BCBx

15、llmlFF(3)BGCBCFWaGxaGyaGBFByFBxO例例23平板质量为平板质量为m1，受水平力受水平力F 作用而沿水平面运动，板作用而沿水平面运动，板与水平面间的动摩擦系数为与水平面间的动摩擦系数为f ，平板上放一质量为平板上放一质量为m2的均质的均质圆柱，它相对平板只滚动不滑动，求平板的加速度。圆柱，它相对平板只滚动不滑动，求平板的加速度。 解：取圆柱分析，解：取圆柱分析，21Om aF于是得：于是得：11222,NFFm gm r122OFaaramFaCFN1F1m2gaaO120NFm g22112m rFr1213Fm a121FFFam11120()NNNFm gFFmm ggmmfF)(21211221()3m aFf mm gm a1212()13Ff mm gammFN1F1FN2F2m1gFa取板分析取板分析例例24行星齿轮机构的曲柄行星齿轮机构的曲柄 OO1受力偶受力偶 M 作用而绕固定铅直轴作用而绕固定铅直轴 O 转动，并带动齿轮转动，并带动齿轮O1在固定水平齿轮在固定水平齿轮O 上滚动如图所示。设上滚动如图所示。设曲柄曲柄 OO1为均质杆，长为均质杆，长l、重重 P；齿轮齿轮 O1为均质圆盘，半径为均质圆盘，半径 r 、重重 Q。试求曲柄的角加速度及两齿轮接触处沿切线方向的力。试求曲柄的