[理学]数学物理方程 第十三讲MPppt课件

1、三、勒让德方程的本征值和本征函数(续0)1 (2ydxdyxdxd有限值1)(xy时，本征函数：当本征值为6 , 4 , 2 , 0, 2 , 1 , 0),1(llllnkkkxknknkknnnxyxy0220)!()!()!2()!22() 1()!2() !()()(nkkkxknknkknnnnxyxy0121)!()!1()!12()!222() 1()!22()!1( !)()(时，本征函数：当531l四、勒让德多项式).(2)(!)!2(!)!12() 1(, 1) 1 () 1 (, 020001xPnxynncycycnn阶勒让德多项式，记为称为这时确定的。则且取nkknn

2、knmmmnnnmmmnnxknknkknxmnmnmmnxmnmnmmnnnnnxP02220220222)!22()!2( !2)!24() 1( )!()!()!2()!22() 1(2) 1( )!()!()!2()!22() 1()!2() !(!)!2(!)!12() 1()(mnk)4 , 2 , 0( )!2()!( !2)!22() 1()(202lxklklkklxPlkkllkl四、勒让德多项式续).(12)(!)!2(!)!12() 1(, 1) 1 () 1 (, 0121110 xPnxynncycycnn阶勒让德多项式，记为称为这时确定的。则且取nkknnknmm

3、mnnnmmmnnxknknkknxmnmnmmnxmnmnmmnnnnnnxP0212120121201212)!212()!12( !2)!224() 1( )!()!1()!12()!222() 1(2) 1( )!()!1()!12()!222() 1()!22()!1( !)!2(!)!12() 1()(mnk)5 , 3 , 1( )!2()!( !2)!22() 1()(2102lxklklkklxPlkkllkl0)1 (2ydxdyxdxd有限值1)(xy),1( ll本征值为)()(xPxyl本征函数：3 , 2 , 1 , 0l)4 , 2 , 0( )!2()!( !2

4、)!22() 1()(202lxklklkklxPlkkllkl)5 , 3 , 1( )!2()!( !2)!22() 1()(2102lxklklkklxPlkkllkl总结).33035(81)( )35(21)( ),13(21)( ,)( , 1)(244332210 xxxPxxxPxxPxxPxP0) 1(sinsin1lldddd有限值有限值，)()0(),1( ll本征值为)(cos)(lP本征函数：3 , 2 , 1l).33035(81)( )35(21)( ),13(21)( ,)( , 1)(244332210 xxxPxxxPxxPxxPxP).92cos204co

5、s35(641)3cos30cos35(81)(cos ),3cos(5cos381)cos3cos5(21)(cos ),12cos3(41) 1cos3(21)(cos ,cos)(cos , 1)(cos244332210PPPPP3 勒让德多项式的性质当l为偶数时 2ln 当l为奇数时 21ln )!2()!( !2)!22() 1()(02nkkllklxklklkklxP, 1) 1 (lP)3 , 2 , 1( !)!2(!)!12() 1()0(02nnncPnn0)0(12nP)3 , 2 , 1( !)!2(!)!12() 1()0(112nnncPnn一. 特殊值、奇偶性

6、和图形)() 1()(xPxPlll二. 勒让德多项式的导数表示lllllxxlxP) 1(dd!21)(2证 利用二项式定理，有lkklklxklklx0222) 1()!( !) 1(当x的幂次低于l的项变为0，不为0的项必满足2l-2kl，即kl/2.当l为偶数时，有2022022)!2()!( !2)!22() 1( )!( !2) 12() 122)(22() 1() 1(dd!21lkkllklkkllkllllxklklkklxklkklklklxxl3 勒让德多项式的性质当l为奇数时，有210221022)!2()!( !2)!22() 1( )!( !2) 12() 122)

7、(22() 1() 1(dd!21lkkllklkkllkllllxklklkklxklkklklklxxllllllxxlxP) 1(dd!21)(2罗德里格斯Rodrigues公式3 勒让德多项式的性质二. 勒让德多项式的导数表示续lllllxxlxP) 1(dd!21)(2三. 勒让德多项式的积分表示dzxzzixPCllll12)() 1(2121)(柯西公式：则有内的任一点，为的境界线，为上解析，在闭单连通区域若BBlBzf)(dzzzfifl)(21)(dzzzfinflnn1)()()(2!)(C为z平面上围绕z=x点的任一闭合回路。施列夫利(Schlafli)积分3 勒让德多项

8、式的性质则，上，在，半径为为圆周，圆心在取, 1 1.1222dexidzexxzCxxzCiidzxzzixPCllll12)() 1(2121)(dexiexexxiililil)1()1( 1)1(212121222dexexexxxlilii)12( 1)1 (12(2122222三. 勒让德多项式的积分表示续dixxdeexxlliisin121)(2112122拉普拉斯积分3 勒让德多项式的性质1. 球坐标下有轴对称的拉普拉斯方程解的普遍性式0) 1(sin1sinsin1222YllYY0) 1(2RlldrdRrdrd假设讨论的问题具有轴对称性，那么有)(),(YY)()(,c

9、os Yxyx令0sin1sinsin112222222ururrurrr0) 1()1 (2ylldxdyxdxd四. 勒让德多项式的生成函数)1()(llllrBrArR),1( ll本征值为)()(xPxyl本征函数：3 , 2 , 1 , 0l1)(cos)(),(0)1(llllllPrBrAru方程1解的普遍方式，即就是球坐标系下具有轴对称性的拉普拉斯方程解的普遍方式为x yz 04e d M r设在一个单位球的北极放置一带电量为设在一个单位球的北极放置一带电量为04e的正电荷，那么在球内任一点的正电荷，那么在球内任一点M其球坐标志作其球坐标志作, r的静电势为的静电势为 2cos

10、2111),(rrdru2.一个物理问题的解四. 勒让德多项式的生成函数续1. 球坐标下有轴对称的拉普拉斯方程解的普遍性式续静电势静电势1d服从拉普拉斯方程，且以球坐标系的极轴为对称轴，服从拉普拉斯方程，且以球坐标系的极轴为对称轴， 因此，因此，1d应具有轴对称情况下拉普拉斯方程普通解的方式应具有轴对称情况下拉普拉斯方程普通解的方式.四. 勒让德多项式的生成函数续2.一个物理问题的解续)(cos)(),(0)1(llllllPrBrAru0)1(01 )(cos1 )(cos),(llllllllrPrBrPrAru当当四. 勒让德多项式的生成函数续2.一个物理问题的解续, 1) 1(cos0

11、lP时，当0101 11 )0 ,(llllllrrBrrAru当当0)1(01 )(cos1 )(cos),(llllllllrPrBrPrAru当当2cos2111),(rrdru01021 11 1111211)0 ,(llllrrrrrrrrru当当 四. 勒让德多项式的生成函数续2.一个物理问题的解续3 , 2 , 1 , 0 , 13 , 2 , 1 , 0 , 1lBlAll所以原物理问题的解为0101 )(cos11 )(cos),(llllllrPrrPrru当当3. 勒让德多项式的生成函数2cos211rr0101 )(cos11 )(cosllllllrPrrPr当当21

12、12 cosrr或或211 2rxr叫作勒让德多项式的生成函数或母函数叫作勒让德多项式的生成函数或母函数 3. 勒让德多项式的生成函数续 cosx令2211rrx0101 )(11 )(llllllrxPrrxPr当当根据勒让德多项式的母函数可以导出勒让德多项式的递推公式根据勒让德多项式的母函数可以导出勒让德多项式的递推公式 对对r求导求导 对上式两边同乘以对上式两边同乘以)21 (2rrx ，得，得五五. 勒让德多项式的递推公式勒让德多项式的递推公式)() 12()()() 1(11xxPlxlPxPllll1.)(21102xPrrrxlll)()21 (01232xPlrrrxrxlll

13、)()21 (210122xPlrrrxrrxrxlll)(21102xPrrrxlll)()21 (210122xPlrrrxrrxrxlll)()21 ()()(0120 xPlrrrxxPrrxllllll五五. 勒让德多项式的递推公式续勒让德多项式的递推公式续)() 12()()() 1(11xxPlxlPxPllll0)() 1()() 12()(110lllllllrxPlrxxPlrxPl其中llllllrxPlrxPl)() 1()(1010llllllrxPlrxPl)()() 1(1010五五. 勒让德多项式的递推公式续勒让德多项式的递推公式续0)()() 12()() 1

14、(110lllllrxlPxxPlxPl)() 12()()() 1(11xxPlxlPxPllll4.)(12)()(11xPlxPxPlll2.)()(2)()(11xPxPxxPxPllll3.)() 1()()(1xPlxPxxPll六. 勒让德多项式的正交性、完备性与模klNlklxxPxPlkl,122, 0d)()(211 勒让德多项式的完备性0)()(lllxPfxf其中f(x)是定义在-1，1区间上恣意一个平方可积的函数。11( )d0knx P xxkn112d) 1(dd!21xxxnxnnnnk11211) 1(ddd!21nnnknxxxn11121111211d)

15、1(dd) 1(dd!21xxxxkxxxnknnnnnnkn112111d) 1(dd!2xxxxnknnnkn121!d( 1)(1) d2!dn kknnn kkxxnx 11211|) 1(dd!2!) 1(nknknnkxxnk0先证明：klNlklxxPxPlkl,122, 0d)()(211112d)(xxPl 112222d) 1(dd) 1(dd!21xxxxxllllllll 11211222) 1(ddd) 1(dd!21lllllllxxxxl 1121121122d) 1(dd) 1(dd!21xxxxxllllllll 11222222d) 1() 1(dd!21x

16、xxxlllllll 11222222d) 1(dd!21xxxxlllllll 11222d) 1(!2)!2(1xxlllllcosxlllx22sin) 1(1 01222112dsin!2)!2(d)(lllllxxP 2/012212dsin!2)!2(llll 2/012212112dsin!2)!2(d)(lllllxxP2/012dsinl2/02dcossinl2/0122dsinsin-12ll2/0122dsincos2ll2/0122/012dsin2dsin2llll 2/012212112dsin122!2)!2(d)(lllllllxxP 351212!2!2!2

17、)!2(2lllllllll 2/0212dsin35121224222!2)!2(lllllll!12)!2(2ll122l2/0122/012dsin122dsinllll例1:将 在-1,1内展成勒让德多项式的级数方式 2x02)( lllxPCx解：设112d)(212 xxPxlCll其中0 ,lC2 l所以)(32)(31202xPxPx112221)d-(321214xxxC1124d345xxx323256451121d212xxxC113d43xx01120d21xxC313221)()()(2211002xPCxPCxPCx另解：设1)-(3212210 xCxCC2232

18、0122CCxCxC)( 0d)(11lkxxPxlk因为例2：将 在-1,1内展成勒让德多项式的级数方式 x0)(nnnxPCx11d)(212xxPxnCnn012nC1122d)(214xxPxnCnn102d)(14xxxPnn1022222d) 1(dd!2214xxxxnnnnnn102212122) 1(ddd!2214nnnnxxxnn10221212102212122d) 1(dd|) 1(dd!2214xxxxxxnnnnnnnnn102212122d) 1(dd!2214xxxnnnnnn102222222|) 1(dd!2214nnnnxxnn1100d)(21xxPx

19、C2111d21xx02222222|) 1(dd!2214xnnnnxxnn)!22() 1(!221412122nCnnnnnnn02022222222|) 1(dd!2214xnkknkknnnnxCxnn)!22() 1()!1()!1(!2!221412nnnnnnnn)!1()!1(2)!22(14) 1(21nnnnnn只需当k=n-1时，x=0处2n-2阶导数不为0例4：在电场强度为E0的均匀电场中放一个接地导体球，半径为a，求球外电势的分布. 解：0cos),(, 0),(0 ,00sinsin110222rEruauarurrurrrar)(cos)(),(0)1(llll

20、llPrBrAru球坐标系下具有轴对称性的拉普拉斯方程解的普遍方式为cos)(cos),(00rEPrArullllar)3 , 2 , 0( 0 ,01lAEAl0)(cos1cos),(010llllPaBaEau)3 , 2 , 0( 0 ,301lBaEBlcoscos),(2300raErEru5 连带勒让德函数与球函数一. 连带勒让德函数)3 , 2 , 1( )()1 ()( 22mxvxxym设0)()1() 1()() 1(2)()1 (2 xvmmllxvxmxvx另一方面0)() 1()()1 (2xPlldxxdPxdxdll0)() 1()(2)()1 (2 xPll

21、xPxxPxlll0)() 1()(1)()1 (222xyllxyxmdxxdyxdxd1一. 连带勒让德函数续0)() 1()(2)()1 (2 xPllxPxxPxlll对上式关于x求导m次，有0)()1() 1( )() 1(2 )()1 ()()()(2 xPmmllxPxmxPxmlmlml)()( )(xPxvml所以)3 , 2 , 1( )()1 ()( 1)(22mxPxxymlm）的有限解为方程（.)()()(不是平凡的时次多项式，所以只有是注意xPlmlxPmll)0,1,2,3(m )()1 ()( )(22lxPxxPmlmml记连带勒让德函数0)() 1()(1)

22、()1 (222xyllxyxmdxxdyxdxd有限值 ) 1(y一. 连带勒让德函数续是：本征值和本征函数分别)2 , 1 , 0( )( ),1(lxPllmllllmlmmlmlxdxdxlxP) 1()1 (!21)(222留意：上式虽然是在条件0ml下得到的，但是当m满足-lm0时，上式同样是本征值问题的相应于本征值=l(l+1)的本征函数，不过它与 线性相关.)(xPml)()!()!() 1()(xPmlmlxPmlmml)(cos)(cos0llPPNoImagesin)1 ()()1 ()(212121211xxPdxdxxP2222222222sin3)1 (3)()1

23、()(xxPdxdxxPcossin3)1 ( 3)()1 ()(212221212xxxPdxdxxP二. 连带勒让德函数根本性质llmlmmlmlxdxdxlxP) 1()1 (!21)(222称为l次m阶连带勒让德函数)()( . 10 xPxPll)()!()!() 1()( . 2xPmlmlxPmlmml.)()( . 3122不是多项式是多项式，xPxPjlkl)()()()1()() 12( . 411xPmlxPmlxxPlmlmlml. , 0)()( . 511lkdxxPxPmlmk当.)()!()!(122)()( . 6211mlmlmlNmlmlldxxPxP)(

24、)( . 70 xPfxfmlll112)()()(1dxxPxfNfmlmll. )(cos)(,sin)(0 1广义傅里叶级数展成按试上的函数有定义在区间例lPff)()1 (sin)(10212xPCxflll解：111212)()1 ()!1()!1(212 dxxPxlllCll其中dxxdxdxllllllll112112) 1()1 (!21)!1()!1(21211211221) 1(2) 1()1 ()!1()!1(!212dxxdxdxxdxdxlllllllllll11211221) 1(2) 1()1 ()!1()!1(!212dxxdxdxxdxdxlllllllll

25、ll1121111211) 1() 1()!1()!1(!212dxxdxdxdxdxlllllllllll11211) 1() 1()!1()!1(!212dxxdxdllllllll. 1 , 0) 1() 1()!1()!1(!212 , 1) 1(43 112221121lxdxdllllCdxxClllll由上式可得)(cossin)(11Pf故三. 球函数0) 1(sin1sinsin1222YllYY有限值有限值，),(), 0(YY)2 ,()0 ,()2 ,()0 ,(YYYY，0) 1(sinsinsin122llmdddd有限值有限值，)()0( 0222mdd)2()0(),2()0()2 , 1 , 0( ,)()