【课件】5.6 函数y=Asin(ωx ψ)（课件）高一数学上学期（人教A版2019必修第一册）

1、第第五五章章 三角三角函数函数人教A版2019 必修第一册5.6sin()yAx 函函数数问题问题 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用今还在农业生产中得到使用(图图5.6-1)明朝科学家徐光启在明朝科学家徐光启在农政全书农政全书中用图画描绘了筒车的工作原理中用图画描绘了筒车的工作原理(图图5.6-2)假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动你能用一个合适的函数模型来刻画盛水筒动你能用一个合适的函数模型来刻画盛水筒

2、(视为质点视为质点)距离水面的相距离水面的相对高度与时间的关系吗？对高度与时间的关系吗？因筒车上盛水筒的运动具有周期性，可以考虑利用三角函数模型刻画它因筒车上盛水筒的运动具有周期性，可以考虑利用三角函数模型刻画它的运动规律的运动规律思考思考与盛水筒运动相关的量有哪些？它们之间有怎样的关系？与盛水筒运动相关的量有哪些？它们之间有怎样的关系？如图如图5.6-3，将筒车抽象为一个几何图形，设经过，将筒车抽象为一个几何图形，设经过t s后，盛水筒后，盛水筒M从点从点P0运动到点运动到点P由筒车的工作原理可知，这个盛水筒距离水面的高度由筒车的工作原理可知，这个盛水筒距离水面的高度H，由以下量所决定：筒车

3、转轮的中心由以下量所决定：筒车转轮的中心O到水面的距离到水面的距离h，筒车的半径，筒车的半径r，筒，筒转动的角速度转动的角速度，盛水筒的初始位置，盛水筒的初始位置P0以及所经过的时间以及所经过的时间t下面我们分析这些量的相互关系，进而建立盛水筒下面我们分析这些量的相互关系，进而建立盛水筒M运动的数学模型运动的数学模型00.0,s( , ),sin(),OOxOxOPxtMPOPtP x yxyrt 如如图图 以以 为为原原点点 以以与与水水平平面面以以为为始始边边为为终终边边的的平平行行的的直直线线为为 轴轴建建立立直直角角坐坐标标系系 设设时时 盛盛水水筒筒位位于于点点后后运运动动到到点点于

4、于是是为为终终边边的的角角为为经经过过以以为为角角为为边边且且始始并并有有,sin()MHtHrth所所以以 盛盛水水筒筒距距离离水水面面的的高高度度与与时时间间 的的关关系系是是函数就是要建立的数学模型，只要将它的性函数就是要建立的数学模型，只要将它的性质研究清楚，就能把握盛水筒的运动规律由质研究清楚，就能把握盛水筒的运动规律由于于h是常量，我们可以只研究函数的性质是常量，我们可以只研究函数的性质sin()(0,0).,yAxAA 上上面面我我们们利利用用三三角角函函数数的的知知识识建建立立了了一一个个形形如如其其中中的的函函数数 显显然然 这这个个函函数数由由参参数数所所确确定定 因因此此

5、 只只要要了了解解这这些些参参数数的的意意义义 知知道道它它们们的的变变化化对对函函数数图图象象的的影影响响 就就能能把把握握这这个个函函数数的的性性质质. .,sinsin()1,1,0.(1)sin,sin()?(2)sin(),?yxyAxAyxAyAxyAx 从从解解析析式式看看 函函数数就就是是函函数数在在时时的的特特殊殊情情形形能能否否借借助助我我们们熟熟悉悉的的函函数数的的图图象象与与性性质质研研究究参参数数对对函函数数的的影影响响函函数数含含有有三三个个参参数数 你你认认为为应应按按怎怎样样的的思思路路进进思思行行研研究究考考1.sin()yAx探探索索 对对图图象象的的影影响

6、响,为为了了更更加加直直观观地地观观察察参参数数 对对函函数数图图象象的的影影响响 下下面面借借助助信信息息技技术术做做一一个个数数学学实实验验. .1,1,1,AMO 如如图图 取取动动点点在在单单位位圆圆上上以以单单位位角角速速度度按按逆逆时时针针方方向向运运动动. .0(0),s,sin .( , ),sin.MQxPPyxx yyx 如如果果动动点点以以为为起起点点 此此时时经经过过后后运运动动到到点点那那么么点点 的的纵纵坐坐标标 就就等等于于以以为为坐坐标标描描点点 可可得得正正弦弦函函数数的的图图象象001101,6,?,?633QQOQQO 在在单单位位圆圆上上拖拖动动起起点点

7、使使点点绕绕点点你你发发现现图图象象有有什什么么变变探探究究旋旋化化如如果果使使点点或或者者旋旋转转一一个个任任意意转转到到绕绕点点旋旋角角转转呢呢1,sin.66Qyx 当当起起点点位位于于时时可可得得函函数数的的图图象象0101,s,s.6QQQPxQPx 进进一一步步 在在单单位位圆圆上上 设设两两个个动动点点分分别别以以为为起起点点同同时时开开始始运运动动. .如如果果以以为为起起点点的的动动点点到到达达圆圆周周上上点点 的的时时间间为为那那么么以以为为起起点点的的动动点点相相继继到到达达点点 的的时时间间是是( , )sin,sin,66,sin,6sin.6F x yyxG xyy

8、xyxyx 这这个个规规律律反反映映在在图图象象上上就就是是： 如如果果是是函函数数图图象象上上的的一一点点那那么么点点就就是是函函数数图图象象上上的的点点 如如图图所所示示 这这说说明明 把把正正弦弦曲曲线线上上的的所所有有点点向向左左平平移移个个单单位位长长度度就就得得到到的的图图象象,sin()(0),(0)(0),sin().MQyxyx 一一般般地地 当当动动点点的的起起点点位位置置 所所对对应应的的角角为为 时时 对对应应的的函函数数是是把把正正弦弦曲曲线线上上的的所所有有点点向向左左 当当时时 或或向向右右当当时时 平平移移个个单单位位长长度度 就就得得到到函函数数的的图图象象2

9、.(0)sin()yx 探探索索对对图图象象的的影影响响.,1.,.1,sin.6,6Ayx 仍仍然然通通过过数数学学实实验验来来探探索索 如如图图 取取圆圆的的半半径径为为了了研研究究方方便便不不妨妨下下令令当当时时 得得到到的的图图象象面面112,?3,23? 图图象象有有什什么么变变化化取取呢呢 取取图图象象又又有有什什么么变变化化 当当 取取探探究究任任意意正正数数呢呢取取2,sin 2.6yx 取取时时 得得到到函函数数的的图图象象12112,122112,( , )sin,261,s.s.,s226,inQPxPxxxG x yyxKx yyx 为为起起点点的的动动点点 当当时时到

10、到达达点点 的的时时间间为为当当时时到到达达点点 的的时时间间为为时时动动点点的的转转速速是是时时的的 倍倍 所所以以是是函函数数图图象象上上的的进进一一步步 在在单单位位圆圆上上一一点点那那么么就就是是函函数数图图象象设设以以因因为为这这样样 设设上上的的相相应应点点. .12,1212,1,sin62sin 2,sin 2,6,s.61sin.62(),QPxyxyxyxyx 为为起起点点的的动动点点 当当时时到到达达点点 的的时时间间为为时时动动点点的的转转速速是是时时 倍倍 如如图图所所示示这这说说明明 把把的的图图象象上上所所有有点点的的横横坐坐标标缩缩短短到到原原来来的的倍倍纵纵坐

11、坐标标不不变变就就得得到到的的进进一一步步 在在单单位位圆圆上上图图象象的的周周期期为为是是的的为为周周期期的的设设以以倍倍因因111,1,2212,sin612sin.261sin4 ,sin,(),2266QPyxyxyxyx 时时 动动点点的的转转速速是是时时的的倍倍 以以到到达达点点 的的时时间间是是时时的的 倍倍. .这这样样 把把图图象象上上所所有有点点的的横横坐坐标标扩扩大大到到原原来来的的 倍倍 纵纵坐坐标标不不变变的的图图象象的的周周期期同同理理 当当为为起起是是是是周周点点就就到到期期的的得得倍倍2,sin(),sin()1(1)(01)(),sin()yxyxyx 一一般

12、般地地 函函数数的的周周期期是是把把图图象象上上所所有有点点的的横横坐坐标标缩缩短短 当当时时 或或伸伸长长 当当时时 到到原原来来的的倍倍纵纵坐坐标标不不变变就就得得到到的的图图象象. .3.(0)sin()A AyAx探探索索对对图图象象的的影影响响.2,6A 下下面面通通过过数数学学实实验验探探索索 对对函函数数图图象象的的影影响响 为为了了研研究究方方便便. .不不妨妨令令1,sin 2.6Ayx 当当时时 如如图图 得得到到的的图图象象,112,3,?23?AAA等等 你你发发现现图图象象有有什什么么变变化化当当探探究究改改取取任任意意变变 的的取取值值取取正正数数呢呢使使2,2si

13、n 2.6Ayx 当当时时 得得到到函函数数的的图图象象11111112,2,sin 2;,26,2sin 2.6,.O QOTQx sPPxTOTTx 为为半半径径的的圆圆交交于于如如果果单单位位圆圆上上以以为为起起点点的的动动点点 以以的的转转速速经经过过到到达达圆圆周周上上点点那那么么点点 的的纵纵坐坐标标是是相相应应地地 点点在在以以为为半半径径的的圆圆上上运运动动到到点点点点 的的进进一一步步 设设射射线线与与以以为为圆圆心心、为为圆圆心心纵纵、坐坐标标是是( , )sin 2,( ,2 )62sin 2,.,6sin 262sin 2.,(,6)K x yyxN xyyxyxyx

14、是是函函数数图图象象上上的的一一点点 那那么么点点就就是是函函数数图图象象上上的的相相应应点点 如如图图所所示示 这这说说明明 把把图图象象上上所所有有点点的的纵纵坐坐标标伸伸长长到到原原来来的的倍倍 横横这这样样 设设就就坐坐标标不不变变到到的的图图象象得得1,()sin 2621sin 226,yxyx 同同图图象象上上所所有有点点的的纵纵坐坐标标缩缩短短到到原原来来的的倍倍横横坐坐标标不不理理 把把变变就就得得到到的的图图象象. .,sin(),sin()(1)(01)().,sin(),.yAxyxAAAyAxA AAA 一一般般地地 函函数数的的图图象象 可可以以看看作作把把图图象象

15、上上所所有有点点的的纵纵坐坐标标伸伸长长 当当时时 或或缩缩短短 当当时时 到到原原来来的的 倍倍横横坐坐标标不不变变从从而而 函函数数的的值值域域是是最最大大值值是是最最小小值值是是;sin)1(:的图象的图象先画出函数先画出函数答答xy (2)(),sin();yx再再把把正正弦弦曲曲线线向向左左 右右 平平移移个个单单位位长长度度 得得到到函函数数的的图图象象1(3),()sin();yx 然然后后使使曲曲线线上上各各点点的的横横坐坐标标变变为为原原来来的的倍倍 纵纵坐坐标标不不变变 得得到到函函数数的的图图象象(4),()sin().AyAx 最最后后把把曲曲线线上上各各点点的的纵纵坐

16、坐标标变变为为原原来来的的 倍倍 横横坐坐标标不不变变 这这时时的的曲曲线线就就是是函函数数的的图图象象,sin()(0,0)?yAxA 你你能能总总结结一一下下从从正正弦弦函函数数图图象象出出发发 通通过过图图象象变变换换得得到到图图象象的的过过程程与与思思方方法法吗吗考考步骤步骤1步骤步骤2步骤步骤3步骤步骤4xyo-122321y12232-1xo2232xyo-112232xyo-11(沿沿x轴平行移动轴平行移动)(横坐标伸长或缩短横坐标伸长或缩短)(纵坐标伸长或缩短纵坐标伸长或缩短)2sin 361.yx 画画出出函函数数的的简简图图例例sin,6sin.6yxyx 先先画画出出函函

17、数数的的图图象象 再再把把正正弦弦曲曲线线向向右右平平移移个个单单位位长长度度得得到到函函数数的的图图象象sinyx sin6yx 1,sin 336yx 然然后后使使曲曲线线上上各各点点的的横横坐坐标标变变为为原原来来的的倍倍 得得到到函函数数的的图图象象sin6yx sin 36yx 2,2sin 3,.6yx 最最后后把把曲曲线线上上各各点点的的纵纵坐坐标标变变为为原原来来的的 倍倍 这这时时的的曲曲线线就就是是函函数数的的图图象象 如如图图所所示示3sin 36yx 22sin 3,6313,636yxTXxxX下下面面用用“五五点点法法”画画函函一一个个周周期期内内的的图图象象令令则

18、则列列表表数数描描点点画画图图X02xy020-202 32 18 29 718 59 1318 例例2 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色如图里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色如图5.6-9，某摩天轮最高，某摩天轮最高点距离地面高度为点距离地面高度为120m，转盘直径为，转盘直径为110m，设置有，设置有48个座舱，开启后个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要

19、一周大约需要30min(1)游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动t min后后距离地面的高度为距离地面的高度为H m，求在转动一周的过程中，求在转动一周的过程中，H关于关于t的函数解析式的函数解析式;分析：摩天轮上的座舱运近似地看作是质点在分析：摩天轮上的座舱运近似地看作是质点在圆周上做匀速旋转在旋转过程中，游客距离圆周上做匀速旋转在旋转过程中，游客距离地面的高度呈现周而复始的变化，因此可以考地面的高度呈现周而复始的变化，因此可以考虑用三角函数来刻画虑用三角函数来刻画,.POx设设座座舱舱距距离离地地面面最最近近的的位位置置为为点点以以轴轴心心 为为原原点点 与与地地面面平平行行的的直直线线为为 轴轴建建立立直直角角坐坐标标系系(0, 55),230min,rad(/min,1555sin65, 0301)0min152,POtPHtt 游游客客甲甲位位于于点点以以为为终终边边的的角角为为根根据据摩摩天天轮轮转转一一周周大大约约需需要要可可知知座座舱舱转转动动的的角角速速度度约约为为由由题题