函数的求导法则(25)课件

1、二、反函数的求导法则二、反函数的求导法则 三、复合函数求导法则三、复合函数求导法则 四、导数基本公式、初等函数的导数四、导数基本公式、初等函数的导数 一、四则运算求导法则一、四则运算求导法则 导数的运算法则 第二二章 定理定理2.1的和、的和、 差、差、 积、积、 商商 (除分母除分母为为 0的点外的点外) 也都在点也都在点 x 可导可导, 且且处可导，处可导，都在点都在点及及函数函数xxvvxuu)()( )()(xvxu及及)()( )()()1(xvxuxvxu )()()()( )()()2(xvxuxvxuxvxu )()()()()()()()3(2xvxvxuxvxuxvxu )

2、0)( xv )()1uC )()3wvuuC wvuwvuwvu ( C为常数为常数 ).( )( )()( )42121xvkxukxvkxuk 常数因子可常数因子可以从导数符以从导数符号中提出来号中提出来 )(2wvu）wvu )0)()()()(152 xvxvxvxv） )(cscx)sin1( xx2sin )(sin xx2sin ,sec)(tan2xx 证证 .cotcsc)(cscxxx )cossin()(tan xxx x2cosxx cos)(sin )(cossin xx x2cosx2cosx2sin x2sec xcos xxcotcsc 类似可证类似可证:,c

3、sc)(cot2xx .tansec)(secxxx ，xx2sec)(tan xxxcotcsc)(csc 解解）xsin4 1(21)1sin , )1sincos4(3 xxxy.1 xyy 及及求求 y)( xx )1sincos4(213xxx23(xx) 1xy1cos4 )1sin43( 1cos21sin2727 )1sincos4(3 xx)1sincos4(3 xx).(,sin)(3xfxxxf 求求设设解解,0时时当当 x)(sinsin)()(331 xxxxxfxxxxcossin31332 0)0()(lim)0(0 xfxffx,0时时当当 xxxxxsinli

4、m30 xxxx0sinlim30 010 .0, 00,cossin31)(332 xxxxxxxf注注下下列列推推导导不不正正确确：03310)(sinsin)()()0( xxxxxxxff错误原因：错误原因：3x在在 x = 0 处不可导，故不能用乘积处不可导，故不能用乘积的求导法则的求导法则.定理定理2.2 若函数若函数 x = (y)在某区间在某区间 Iy 内单调、可导内单调、可导且且 (y) 0，则其反函数则其反函数y = f (x) 在对应区间在对应区间 Ix 内也可导，且内也可导，且)()(1)()(xxfyIxyxf 反函数的导数等于直接函数导数的倒数反函数的导数等于直接函

5、数导数的倒数.arcsin的的导导数数求求函函数数xy 解解,)2,2(sin内内单单调调增增、可可导导在在 yIyx, 0cos)(sin yy且且内内有有在在)1 , 1( xI)(sin1 yycos1 y2sin11 .112x 同理可得同理可得，211)(arctanxx )(arcsin x.11)(arccos2xx .11)cot(arc2xx )arcsin(x211x )arccos(x211x )arctan(x211x )cotarc(x211x xx2sec)(tan xxxcotcsc)(csc xx2csc)(cot xxxtansec)(sec 在点在点 x 0

6、 处处 可导可导,定理定理2.3)(xu )(ufy 在对应在对应)(00 xu 处可导，则处可导，则 复合函数复合函数 fy )(x 且且0ddxxxy 在点在点x 0 处可导处可导,点点00ddddxxuuxuuy )( )(00 xuf 即因变量对自变量求导即因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量等于因变量对中间变量求导求导, 乘以中间变量对自变量求导乘以中间变量对自变量求导.链式法则链式法则有有若若),(0bax 则可将则可将 x0 换成换成 x :xydd即即)()()()(xufxfxu xuuydddd 0ddxxxy 00ddddxxuuxuuy )( )(00 xuf )(

7、)()(xufxu x2cos )()()(xfufxu 记记).()(xfxf 一般地，一般地，如：如：,sin)(uuf ,2sin)(xxf )( xf )(xf ,2)(xxu )2(sin xxuuf2)( xuu2cos 例如例如,)(, )(, )(xvvuufy xydd)()()(xvuf yuvx uydd vuddxvdd关键关键: 搞清复合函数结构搞清复合函数结构, 由由外外向向内内逐层求导逐层求导.复合函数求导法则称为复合函数求导法则称为链式求导法则链式求导法则.对于复合函数，不能直接用对于复合函数，不能直接用基本初等函数基本初等函数求导公式求导公式.xxcos)(s

8、in 如：如：即即xxxcosdsind ( 一致一致 )但但,2cos)2(sinxx 事实上事实上)2(sin x( 不一致不一致 )xuuudddsind )2(2cosxuu ( 一致一致 )xxd2sind x2cos2 .sinln的导数的导数求函数求函数xy 解解.sin,lnxuuy xuuyxydddddd u1xxsincos xcot xcos熟练后，可不写出中间变量：熟练后，可不写出中间变量：)sin(ln xy xsin1xxcossin1 )(sin xxcot , )cos(lnxey 设设求求.ddxy解解xydd)cos(1xe )sin(xe )( xe).

9、tan(xxee )cos( xe)cos(1xe )sin(xe xe )cos(1xe 1. 常数和基本初等函数的导数公式常数和基本初等函数的导数公式 )(C0 )( x1 x )(sinxxcos )(cosxxsin )(tan xx2sec )(cotxx2csc )(secxxxtansec )(cscxxxcotcsc )(xaaaxln )(xexe )(lnxx1 )(log xaaxln1 )(arcsinx211x )(arccosx211x )(arctanx211x )cot(arcx211x )(vuvu )( uCuC )( vuvuvu vu2vvuvu ( C

10、为常数为常数 )0( v )( xf1 )(1 yf dd xy或或yxdd1),(, )(xuufy xydd)()(xuf uyddxudd 又如又如,)(, )(, )(xvvuufy xydd)()()(xvuf uydd vuddxvdd关键关键: : 搞清复合函数结构搞清复合函数结构, 由由外外向向内内 逐层求导逐层求导., )1(ln2 xxy.y 求求解解 y 112xx112 x)1(2 xx1112 xx)1(2 x 112xx 1(1212 xx2 )求导公式及求导法则求导公式及求导法则注意注意: 1),)(vuuv vuvu 2) 搞清复合函数结构搞清复合函数结构 ,

11、由外向内逐层求导由外向内逐层求导 .,)()(00处处可可导导在在处处不不可可导导，在在若若xxxvxxxu 问：问：处处不不可可导导？是是否否一一定定在在0)()(xxxvxu 1.答：答：不一定不一定. 反例见反例见例例3.41)1(43 x2.)1( xx)1(43 x 对吗对吗?答：答：不对不对.正确解法：正确解法：21x )1( xx)1(43 x41)1(43 x,1)(lnxx ,1)(lnxx 对吗？对吗？不对！不对！事实上，事实上，,0时时当当 x)(ln)(ln xx,1x ,0时时当当 x) )(ln()(ln xx)1(1 x,1x 综上所述：综上所述：)0(1)(ln

12、 xxx此结论今后常用此结论今后常用xxxysin223 解解23xy x4 例例2-2xxyln2sin 解解xxyln)2(sin )(ln2sinxx .cos x .2sin1ln2cos2xxxx 求求的导数的导数.求求的导数的导数.xxln22cos xx12sin axafxfafax )()(lim)(axxaxax )()(lim )(limxax )(a 正确解法正确解法: 设设, )()()(xaxxf 其中其中)(x 在在ax 因因)()()()(xaxxxf 故故).()(aaf )(af 时时, 下列做法是否正确下列做法是否正确?处连续处连续. 在求在求解解错错存存在在的的条条件件题题设设中中无无)(x ),99()2)(1()( xxxxxf).0(f 求求解解 (方法方法1) 利用导数定义利用导数定义.0)0()(lim)0(0 xfxffx)99()2)(1(lim0 xxxx!99 (方法方法2) 利用求导公式利用求导公式. )(xf)( xx )99()2)(1( xxx)99()2)(1( xxx!99)0( f解解)1(sin1sin xeyx)1(1cos1sin xxex)1(1cos21si