(复习一)第六章

1、复习（一）复习（一）l总体、随机样本总体、随机样本l抽样分布抽样分布6.1 随机样本随机样本一、总体与样本一、总体与样本 1. 1. 总体总体：研究对象的全体。：研究对象的全体。通常指研究对象的某项数量指标。通常指研究对象的某项数量指标。组成总体的元素称为组成总体的元素称为个体。个体。从本质上讲，总体就是所研究的随机变量或从本质上讲，总体就是所研究的随机变量或随机变量的分布。随机变量的分布。2. 样本：样本：来自总体的部分个体来自总体的部分个体X X1 1， ，X Xn n 如果满足：如果满足：（1）同分布性：同分布性：X Xi i i=1,i=1,n ,n 与总体同分布与总体同分布. .（2

2、 2）独立性：独立性： X X1 1， ，X Xn n 相互独立；相互独立； 则称为则称为容量为容量为n n 的简单随机样本的简单随机样本，简称，简称样本样本。而称而称X X1 1， ，X Xn n 的一次实现为样本观察值，的一次实现为样本观察值，记为记为x x1 1， ，x xn n 来自总体来自总体X X的随机样本的随机样本X X1 1， ，X Xn n可记为可记为),.(),(,1xFxfXXXiidn或显然，样本联合分布函数或密度函数为显然，样本联合分布函数或密度函数为niinxFxxxF121*)(),(或或niinxfxxxf121*)(),(.),(,),( ,)0(2121的概

3、率密度的概率密度求样本求样本是来自总体的样本是来自总体的样本布布的指数分的指数分服从参数为服从参数为设总体设总体nnXXXXXXX 解解的概率密度为的概率密度为总体总体 X , 0, 0, 0,e)(xxxfx , 21有相同的分布有相同的分布且与且与相互独立相互独立因为因为XXXXn的概率密度为的概率密度为所以所以),( 21nXXX)(),(121 niinnxfxxxf ., 0, 0,e1其他其他ixnxnii 例例1.),(,),(, 10), 1(2121的分布律的分布律求样本求样本是来自总体的样本是来自总体的样本其中其中服从两点分布服从两点分布设总体设总体nnXXXXXXppBX

4、 解解的分布律为的分布律为总体总体 X, 21相互独立相互独立因为因为nXXXiippiXP 1)1()1, 0( i,有相同的分布有相同的分布且与且与X的分布律为的分布律为所以所以),( 21nXXX例例2,2211nnxXxXxXP 2211nnxXPxXPxXP niiniixnxpp11)1(.1 , 0,21中取值中取值在集合在集合其中其中nxxx3.总体、样本、样本观察值的关系总体、样本、样本观察值的关系总体总体 样本样本 样本观察值样本观察值 理论分布理论分布 统计是从手中已有的资料统计是从手中已有的资料样本观察值，去推断样本观察值，去推断总体的情况总体的情况总体分布。样本是联系

5、两者的桥梁总体分布。样本是联系两者的桥梁。总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样。总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本取到样本观察值的规律，因而可以用样本观察值本取到样本观察值的规律，因而可以用样本观察值去推断总体去推断总体1. 统计量的定义统计量的定义.),( ,),(,21212121计量计量是一个统是一个统则称则称不含未知参数不含未知参数中中若若的函数的函数是是的一个样本的一个样本是来自总体是来自总体设设nnnnXXXggXXXXXXgXXXX.),(),(,21212121的观察值的观察值是是则称则称的样本值的样本值是相应于样本是相应于样本设设nnnnXXXgxxxgXXX

6、xxx二、统计量二、统计量?,),(,22321哪些不是哪些不是些是统计量些是统计量判断下列各式哪判断下列各式哪为未知为未知为已知为已知其中其中样本样本的一个的一个是来自总体是来自总体设设 NXXX,11XT ,3212XeXXT ),(313213XXXT ),max(3214XXXT ,2215 XXT).(123222126XXXT 是是不是不是实例实例12. 几个常用统计量的定义几个常用统计量的定义.,2121是这一样本的观察值是这一样本的观察值是来自总体的一个样本是来自总体的一个样本设设nnxxxXXX(1)样本平均值样本平均值;11 niiXnX(2)样本方差样本方差 niiXXn

7、S122)(11.11122 niiXnXn.11 niixnx其观察值其观察值其观察值其观察值 niixxns122)(11.11122 niixnxn(3)样本标准差样本标准差 ;11122 niiXXnSS其观察值其观察值.)(1112 niixxns(4) 样本样本 k 阶阶(原点原点)矩矩;, 2, 1,11 kXnAnikik其观察值其观察值., 2, 1,11 kxnnikik (5)样本样本 k 阶中心矩阶中心矩;, 3, 2,)(11 kXXnBnikik其观察值其观察值., 3, 2,)(11 kxxnbnikik6.2 抽样分布抽样分布一、一、 2 2分布分布统计量的分布

8、称为抽样分布。数理统计量的分布称为抽样分布。数理统计中常用到如下三个分布：统计中常用到如下三个分布： 2 2分布、分布、 t t 分布和分布和 FF分布。分布。 .).(),1 , 0(,. 1221221分布的称为自由度为则设构造nnXNXXniiiidn2.2. 2 2分布的分布的密度函数密度函数f(y)f(y)曲线曲线 0y, 00y,ey)y( f2y12n)2/n(212/n3. 分位点分位点 设X 2(n)，若对于 ：0 1， 存在0)(2n满足满足,)(2nXP则称则称)(2n为为)(2n分布的上分布的上 分位点。分位点。)(2nP443附表附表44.性质性质：(p164)a.分

9、布可加性分布可加性 若若X 2(n1)，Y 2(n2 )， X， Y独立，则独立，则 X + Y 2(n1+n2 )b.期望与方差期望与方差 若若X 2(n)，则则E(X)= n，D(X)=2n1.构造构造 若若 N(0, 1), 2(n), 与与 独立，则独立，则).n( tn/T T 称为自由度称为自由度为n的的t分布分布。二、二、t分布分布T 的概率密度为的概率密度为(p165)(p165) t,)nt1()2n(n)21n() t ( f21n22.2.基本性质基本性质: (1) f(t)(1) f(t)关于关于t=0(t=0(纵轴纵轴) )对称对称。 (2) f(t)(2) f(t)

10、的极限为的极限为N(0N(0，1)1)的密度函数，即的密度函数，即 3.3.分位点分位点设设T Tt(n)t(n)，若对，若对 :0:0 1,0(n)0 满足满足 PTPT t t (n(n)=)= ，则称则称t t (n)(n)为为T T的上侧的上侧 分分位点位点 x,e21) t () t (flim2tn2)(ntP441附表附表3注注:)()(1ntnt)(1nt)(nt三、三、F分布分布1.构造构造 若若 1 2(n1)， 2 2(n2)， 1， 2独立，独立，则则).,(/212211nnFnnF 称为第一自由度为称为第一自由度为n1 ，第二自由度为，第二自由度为n2的的F分布分布

11、,其概率密度为其概率密度为00012222122122212121111yyynnnynnnnyhnnnnn,)()()/)()(/ )(/2. 2. F F分布的分位点分布的分位点对于对于 ：00 10)0满足满足PFPF F F (n(n1 1, , n n2 2)=)= ， 则称则称F F (n(n1 1, , n n2 2) )为为F(nF(n1 1, , n n2 2) )的的上侧上侧 分位点；分位点；),(21nnFP447附表附表51),(211nnFFP证明证明:设设FF(n1,n2),则则),(1),(12211nnFnnF注：注：1),(11211nnFFP),(112nn

12、FF),(11211nnFFP),(112nnFFP得证得证!6.3 正态总体的抽样分布定理正态总体的抽样分布定理 (P168),(/),(,.10121NnXUNXXiidn则若证明证明:niiXnX11是是n 个独立的正态随机变量个独立的正态随机变量niiXEnXE11)()(nXDnXDnii2121)()(),(nNX2) 1, 0(/NnX的线性组合的线性组合,故服从正态分布故服从正态分布212,( ,),2.(1);iidnXXNXS 若则与相互独立);1() 1()2(2222nSn).1(/)3(ntnSXT证明证明:) 1, 0(/NnXU且U与V独立,根据t分布的构造);1() 1(222nSnV) 1(1ntnVU得证得证!2212121212222112212(2),() (2).1/1/(1)(1).2wwXYTt nnSnnnSnSSnn进一步 假定就有其中称为混合样本方差);,(/.),(,),(,.11) 1 (321222221212221211121nnFSSFNYYNXXiidniidn则且两样本独立若(P169)例例1：设总体：设总体XN(10,32), X1， ，Xn是它的一是它的一个样本