数字信号处理第4章 有限长单位脉冲响应(FIR)滤波器的设计方法_第1页
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文档简介

1、第第4章章 有限长单位脉冲响应有限长单位脉冲响应(FIR)滤波器的设计方法)滤波器的设计方法4.1 线性相位线性相位FIR数字滤波器的特性数字滤波器的特性4.2 窗口设计法(时间窗口法)窗口设计法(时间窗口法)4.3 频率取样法频率取样法4.4 FIR数字滤波器的最优化设计数字滤波器的最优化设计4.5 IIR与与FIR数字滤器的比较数字滤器的比较序言序言FIR数字滤波器的差分方程描述数字滤波器的差分方程描述10)()(Niiinxany10)(NiiizazH10)()()(Niinxihny)()()(10ihazihzHiNii对应的系统函数对应的系统函数因为它是一种线性时不变系统,可用卷

2、积和形式表示因为它是一种线性时不变系统,可用卷积和形式表示FIR数字滤波器的特点数字滤波器的特点(与与IIR数字滤波器比较数字滤波器比较):优点优点:(1)很容易获得严格的线性相位,避免被处理的信)很容易获得严格的线性相位,避免被处理的信号产生相位失真,这一特点在号产生相位失真,这一特点在宽频带信号处理、阵宽频带信号处理、阵列信号处理、数据传输等系统中非常重要;列信号处理、数据传输等系统中非常重要;(2)可得到多带幅频特性;)可得到多带幅频特性;(3)极点全部在原点(永远稳定),无稳定)极点全部在原点(永远稳定),无稳定性问题;性问题;(4)任何一个非因果的有限长序列,总可以通过一)任何一个非

3、因果的有限长序列,总可以通过一定的延时,转变为因果序列,定的延时,转变为因果序列,所以因果性总是满足;所以因果性总是满足;(5)无反馈运算,运算误差小。)无反馈运算,运算误差小。缺点:缺点:(1)因为无极点,要获得好的过渡带特性,需以)因为无极点,要获得好的过渡带特性,需以较高的阶数为代价;较高的阶数为代价;(2)无法利用模拟滤波器的设计结果,一般无解)无法利用模拟滤波器的设计结果,一般无解析设计析设计公式,要借助计算机辅助设计程序完成。公式,要借助计算机辅助设计程序完成。4.1 线性相位线性相位FIR数字滤波器的特性数字滤波器的特性 )(4.1.1线性相位的条件线性相位的条件线性相位意味着一

4、个系统的相频特性是频率的线性函线性相位意味着一个系统的相频特性是频率的线性函数,即数,即式中式中 为常数,此时通过这一系统的各频率分量的时为常数,此时通过这一系统的各频率分量的时延为一相同的常数,系统的群时延为延为一相同的常数,系统的群时延为ddg)(FIR滤波器的滤波器的DTFT为为 10NnnjjenheH式中式中H()是是正或负的实函数正或负的实函数。等式中间和等。等式中间和等式右边的实部与虚部应当各自相等,同样实部式右边的实部与虚部应当各自相等,同样实部与虚部的比值应当相等与虚部的比值应当相等: NnNnnnhnnhcossincossin jeH将上式两边交叉相乘,再将等式右边各项移

5、到将上式两边交叉相乘,再将等式右边各项移到左边,应用三角函数的恒等关系左边,应用三角函数的恒等关系 Nnnnhsin 10 ,121NnnNhnhN另外一种情况是,除了上述的线性相位外,还另外一种情况是,除了上述的线性相位外,还有一附加的相位,即有一附加的相位,即)( nNhnhN1221 20) 1( N 偶对称)(nh 20) 5 . 0( N2 奇对称)(nh图1 线性相位特性分四种情况4.1.2线性相位线性相位FIR滤波器滤波器的幅度特性的幅度特性1 1、N N为奇数,为奇数,偶对称偶对称2 2、N N为偶数,为偶数,偶对称偶对称3 3、N N为奇数,为奇数,奇对称奇对称4 4、N N

6、为偶数,为偶数,奇对称奇对称例例1N=5, h (0) = h (1) = h (3) = h (4) = -1/2, h (2) = 2,求幅度函数H ()。解 为奇数并且h(n)满足偶对称关系a (0) = h (2) = 2a (1) = 2 h (3) = -1a (2) = 2 h (4) = -1H () = 2 - cos- cos2 = 2- (cos+cos2) 1偶对称,偶对称,N为奇数为奇数h(n)=h(N-1-n)(nh jjeHeH10)(Nnnjenh 212301121212302121NjNnnNjnjNNnnjNjNnnjeNheenhenheNhenh2/

7、)3(021cos)(221)(NnNnnhNhH 2121cos221)()(23021212302121NhNnnheNheenheeHNnNjNnjNnNnjNjj21)(N21Nnm令令,则则2/ ) 1(1cos)21(221)(NmmmNhNhH21, 2 , 1,212)(,21)0(NnnNhnaNha令令 2/10cos)(NnnnaH则则由于 偶对称,因此 对这些频率也呈偶对称。2 , 0cos关于n H2h(n)偶对称,偶对称,N为偶数为偶数h(n)=h(N-1-n) 12/021cos)(2NnNnnhH令 ,则mNn12 2/121cos122NmmmNhH 1202

8、11201120112021cos21NnNjNnnNjnjNnnNjNnnjjNnnheeenhenNhenheH nNhnbnnbHNn122)(21cos)(2/1或写为:(1)由于 奇对称,所以 对 也为奇对称(2)由于 时, 处必有一零点,因此这种情况不能用于设计 时 的滤波器,如高通、带阻滤波器。对2/1cosn H1)(, 0)(zzHH在故 0H, 02/1cosn3.h(n)奇对称,奇对称,N为奇数,为奇数,h(n)=-h(N-1-n) 230221230112123021sin2NnNjNnnNjnjNNnnjNnnjjNnnheeenhenhenheH 令 n=m+(N-

9、1)/2,得: 2/ )1(1sin212NmmmNhH)21(sin)(2)(230NnNnnhH mmNhHNm211sin212所以 nNhncnncHNn212)(sin)(211由于 点呈奇对称,所以 对这些点也奇对称。由于 时, 相当于H(z)在 处有两个零点,不能用于 的滤波器设计,故不能用作低通、高通和带阻滤波器的设计。2 , 0sin对n H1z2 , 0 , 0, 0sinHn 00)0(HH和4.h(n)奇对称,奇对称,N为偶数为偶数 12022121sin2NnNjjNnnheeH)21(sin)12(2)(21NmmmNhH12Nnm令 2/121sin)(Nnnnd

10、HnNhnd122)(21sinn由于 在=0,处为零,所以H()在=0, 2处为零,即H(z)在z=1上有零点,并对=0,2呈奇对称,故不能设计低通和带阻滤波器。 四种线性相位四种线性相位FIR滤波器滤波器四种线性相位FIR DF特性,参考 P91 表4.1第一种情况 ,H(w)关于0,2呈偶对称, 四种滤波器都可设计。第二种情况, H(w)关于0, 2呈偶,关于呈奇对称, 可设计低、带通滤波器,不能设计高通和带阻。第三种情况, H(w)关于0,2呈奇对称, 只能设计带通滤波器,其它滤波器都不能设计。第四种情况, H(w)关于0, 2呈奇对称、关于呈偶对称, 可设计高通、带通滤波器,不能设计

11、低通和带阻四种四种FIR数字滤波器的相位特性只取决于数字滤波器的相位特性只取决于h(n)的对的对称性,而与称性,而与h(n)的值无关。的值无关。幅度特性取决于幅度特性取决于h(n)。设计设计FIR数字滤波器时,在保证数字滤波器时,在保证h(n)对称的条件下,对称的条件下,只要完成幅度特性的逼近即可。只要完成幅度特性的逼近即可。注意:当注意:当H()用用H()表示时,当表示时,当H()为奇对为奇对称时,其相频特性中还应加一个固定相移称时,其相频特性中还应加一个固定相移。小结:小结:4.1.3线性相位线性相位FIR滤波器的零点特性滤波器的零点特性 )1()(nNhnh 10NnnznhzH101N

12、nnznNh )()(11101101zHzzmhzzmhNNmmNNmmN 11zHzzHN由该式可看出,若由该式可看出,若z=zi是是H(z)的零点,则的零点,则z=z-1i也一也一定是定是H(z)的零点。由于的零点。由于h(n)是实数,是实数,H(z)的零点还必的零点还必须共轭或对,所以须共轭或对,所以z=z*i及及z=1/z*也必是零点。也必是零点。所以线性相位滤波器的零点必须是互为倒数的共所以线性相位滤波器的零点必须是互为倒数的共轭对,即成四出现,这种共轭对共有四种可能的情轭对,即成四出现,这种共轭对共有四种可能的情况:况:既不在单位园上,也不在实轴上,有四个互为既不在单位园上,也不

13、在实轴上,有四个互为倒数的两组共轭倒数的两组共轭对,对,zi,z*i,1/zi,1/z*i,在单位圆上,但不在实轴上,因倒数就是自己在单位圆上,但不在实轴上,因倒数就是自己的共轭,所以有一对共轭零点,的共轭,所以有一对共轭零点,zi,z*i不在单位圆上,但在实轴上,是实数不在单位圆上,但在实轴上,是实数,共轭就是共轭就是自己,所以有一对互为倒数的零点自己,所以有一对互为倒数的零点, zi, 1/zi又在单位圆上,又在实轴上,共轭和倒数都合又在单位圆上,又在实轴上,共轭和倒数都合为一点,所以成单出现,只有两种可能,为一点,所以成单出现,只有两种可能,zi=1或或zi=-1 我们从幅度响应的讨论中

14、已经知道,对于第二种我们从幅度响应的讨论中已经知道,对于第二种FIR滤波器(滤波器(h(n)偶对称,偶对称,N为偶数),为偶数), ,即即 是是 的零点,为单根;同样道理,的零点,为单根;同样道理,对于第四种对于第四种FIR滤波器(滤波器(h(n)奇对称,奇对称,N为偶为偶数),数), ,即,即 是是 的零点,为单的零点,为单根;对于第四种根;对于第四种FIR滤波器(滤波器(h(n)奇对称,奇对称,N为偶为偶数),数), ,即,即 是是 的零点,的零点,为单根为单根 0H1jez zH 00 H10jez zH zH1, 1zz 00 HH线性相位滤波器是线性相位滤波器是FIR滤波器中最重要的

15、一种,滤波器中最重要的一种,应用最广。实际使用时应根据需用选择其合适类应用最广。实际使用时应根据需用选择其合适类型,并在设计时遵循其约束条件。型,并在设计时遵循其约束条件。4.2 窗口设计法(时域)窗口设计法(时域)如果希望得到的滤波器的理想频率响应如果希望得到的滤波器的理想频率响应为为,那么,那么FIR滤波器的设计就在于寻找一滤波器的设计就在于寻找一个传递函数个传递函数去逼近去逼近,逼近方法有三种:,逼近方法有三种:窗口设计法(时域逼近)窗口设计法(时域逼近)频率采样法(频域逼近)频率采样法(频域逼近)最优化设计(等波纹逼近)最优化设计(等波纹逼近))(jdeH10)(NnjnjenheH)

16、(jdeH时间窗口设计法是从单位脉冲响时间窗口设计法是从单位脉冲响应序列着手,应序列着手,使使h(n)逼近理想的单位脉逼近理想的单位脉冲响应序列冲响应序列hd(n)。我们知道。我们知道hd(n)可以从可以从理想频响通过付氏反变换获得理想频响通过付氏反变换获得221)(onjjdddeeHnh 但一般来说,理想频响 是分段恒定,在边界频率处有突变点,所以,这样得到的理想单位脉冲响应hd(n)往往都是无限长序列,而且是非因果的。但FIR的h(n)是有限长的,问题是怎样用一个有限长的序列去近似无限长的hd(n)。最简单的办法是直接截取一段 hd(n) 代替 h(n) 。这种截取可以形象地想象为h(n

17、)是通过一个“窗口”所看到的一段hd(n),因此 ,h(n)也可表达为h(n)和一个“窗函数”的乘积,即 h(n)=w(n) hd(n) 在这里窗口函数就是矩形脉冲函数RN(n),当然以后我们还可看到,为了改善设计滤波器的特性,窗函数还可以有其它的形式,相当于在矩形窗内对hd(n)作一定的加权处理。)(jdeH )()()()(nwnhnheHddjd)()(nheHj)()(nheHdjd设设计步骤:设计步骤:)(jdeHccjjdeeH01)(以一个截止频率为以一个截止频率为c的线性相位理想的线性相位理想低通滤波器为例低通滤波器为例,讨论讨论FIR的设计问题。的设计问题。a.对于给定的理想

18、低通滤波器对于给定的理想低通滤波器,计算计算:低通滤波器的延时:低通滤波器的延时)(nhddeeHnhnjjdd21)(ccdeenjj21nncsinccSan是是一个以一个以为中心的为中心的偶对称偶对称的无限长非因果序列,的无限长非因果序列,如果截取一段如果截取一段n=0N-1的的hd(n)作为作为h(n),则为保,则为保证所得到的是线性相位证所得到的是线性相位FIR滤波器,延时滤波器,延时应为应为h(n)长度长度N的一半的一半,即即2/ ) 1( NccSan)(nhd为其它值nNnonhnwnhnhdRd01)()()()(其中其中)()(nRnwNRb.计算计算)(nh1011Nnj

19、jNnjeee)2/sin()2/sin(21NeNjc.计算计算)(jeH)(*)(21)(jRjdjeWeHeHnnjRjenweW)()(用幅度函数和相位函数来表示用幅度函数和相位函数来表示jRjeWeW)()(21N )2/sin()2/sin(NWR理想频响也可以写成幅度函数和相位函数的理想频响也可以写成幅度函数和相位函数的表示形式表示形式|0|1)(ccdHjdjdeHeH)()(jRjdjeWeHeH*21deWeHjRjd21 deWeHjRjd21 jjRdewHedWH)(21如果也以幅度函数如果也以幅度函数和相位函数来表示和相位函数来表示H(ej),jjeHeH)()(d

20、WHHRd)()(21)()(H则实际则实际FIR滤波器的幅度函数滤波器的幅度函数H()为为正好是正好是理想滤波器幅度函数理想滤波器幅度函数与与窗函数幅度函数窗函数幅度函数的卷的卷积。积。 矩形窗的卷积过程(P95的图4.5来说明))(RWNc2)(RW4个特殊频率点看卷积结果:个特殊频率点看卷积结果:(1)=0时时,H(0)等于等于在在-c,c内的积分面积内的积分面积因一般因一般故故H(0)近似为近似为在在-,内的积分面积内的积分面积(2)=c时,一半重叠,时,一半重叠,H(c)=0.5H(0);(3)=c2/N时,第一旁瓣(负数)在通时,第一旁瓣(负数)在通带外,出现正肩峰;带外,出现正肩

21、峰;(4)=c+2/N时,第一旁瓣(负数)在时,第一旁瓣(负数)在通带内,出现负肩峰。通带内,出现负肩峰。窗口函数对理想特性的影响:窗口函数对理想特性的影响:N4改变了理想频响的边沿特性,形成改变了理想频响的边沿特性,形成过渡带过渡带,宽,宽为为,等于,等于WR()的主瓣宽度。(的主瓣宽度。(决定于窗长决定于窗长)过渡带两旁产生过渡带两旁产生肩峰和余振肩峰和余振(带内、带外起伏),(带内、带外起伏),取决于取决于WR()的旁瓣,旁瓣多,余振多;旁瓣相对的旁瓣,旁瓣多,余振多;旁瓣相对值大,肩峰强,与值大,肩峰强,与N无关。(无关。(决定于窗口形状决定于窗口形状)N增加增加,过渡带宽减小过渡带宽

22、减小,肩峰值不变。肩峰值不变。因主瓣附近因主瓣附近其中其中x=N/2,所以所以N的改变不能改变主瓣与旁瓣的的改变不能改变主瓣与旁瓣的比例关系,只能改变比例关系,只能改变WR()的绝对值大小和起伏的绝对值大小和起伏的密度,当的密度,当N增加时,幅值变大,频率轴变密,增加时,幅值变大,频率轴变密,而最大肩峰永远为而最大肩峰永远为8.95%,这种现象称为,这种现象称为吉布斯吉布斯(Gibbs)效应)效应。xxNNNNNWRsin2/)2/sin()2/sin()2/sin()(051-40-30-21-100N=15N=31用矩形窗设计的用矩形窗设计的 c= /2FIR滤波器的幅

23、度响应滤波器的幅度响应改变窗函数的形状,可改善滤波器的特性,改变窗函数的形状,可改善滤波器的特性,窗函数有许多种,但要满足以下两点要求:窗函数有许多种,但要满足以下两点要求:窗谱主瓣宽度要窄,以获得较陡的过渡带;窗谱主瓣宽度要窄,以获得较陡的过渡带;相对于主瓣幅度,旁瓣要尽可能小,使能量尽相对于主瓣幅度,旁瓣要尽可能小,使能量尽量集中在主瓣中,这样就量集中在主瓣中,这样就可以减小肩峰和余振,可以减小肩峰和余振,以提高阻带衰减和通带平稳性。以提高阻带衰减和通带平稳性。但实际上这两点不能兼得,一般总是通过增加主但实际上这两点不能兼得,一般总是通过增加主瓣宽度来换取对旁瓣的抑制。瓣宽度来换取对旁瓣的

24、抑制。肩峰值的大小决定了滤波器通带内的平稳程度肩峰值的大小决定了滤波器通带内的平稳程度和阻带内的衰减,所以对滤波器的性能有很大的影和阻带内的衰减,所以对滤波器的性能有很大的影响。响。几种常用的窗函数:几种常用的窗函数:1.矩形窗矩形窗)()(nRnwN jRjeWeW 2sin2sinNWR2.汉宁窗汉宁窗Hanning(升余弦窗)(升余弦窗))(12cos1 21)(nRNnnwN)(25.0)(5 .01212nReenRNNnjNnjN 211221122121121225. 05 . 011225. 05 . 0NjRRRNNjRNNjRNjRjeNWNWWeNWeNWeWeW)12(

25、)12(25. 0)(5 . 0)(NWNWWWRRR三部分矩形窗频谱相加,使旁瓣互相抵消,能三部分矩形窗频谱相加,使旁瓣互相抵消,能量集中在主瓣,旁瓣大大减小,主瓣宽度增加量集中在主瓣,旁瓣大大减小,主瓣宽度增加1倍,为倍,为。N83.汉明窗汉明窗Hamming(改进的升余弦窗)(改进的升余弦窗)它是对汉宁窗的改进,在主瓣宽度(对应第一零它是对汉宁窗的改进,在主瓣宽度(对应第一零点的宽度)相同的情况下,旁瓣进一步减小,可点的宽度)相同的情况下,旁瓣进一步减小,可使使99.96%的能量集中在窗谱的主瓣内。的能量集中在窗谱的主瓣内。)(12cos46.054.0)(nRNnnwN4.布莱克曼窗(

26、二阶升余弦窗)布莱克曼窗(二阶升余弦窗)增加一个二次谐波余弦分量,可进一步降低旁瓣,增加一个二次谐波余弦分量,可进一步降低旁瓣,但主瓣宽度进一步增加,为但主瓣宽度进一步增加,为。加。加N可减少过渡带可减少过渡带。频谱的幅度函数为:。频谱的幅度函数为:)(14cos08. 012cos5 . 042. 0)(nRNnNnnwN)14()14(04. 0)12()12(25. 0)(42. 0)(NWNWNWNWWWRRRRRN12窗口函数的频谱 N=51,A=20lg|W()/W(0)|四种窗函数的比较5 . 051cN窗函数主瓣宽度过渡带宽旁瓣峰值衰减(dB)阻带最小衰减(dB)矩形N/4N/

27、8 . 1-13-21汉宁N/8N/2 . 6-31-44汉明N/8N/6 . 6-41-53布莱克曼N/12N/11-57-745.凯塞窗凯塞窗以上四种窗函数,都是以增加主瓣宽度为代价来降以上四种窗函数,都是以增加主瓣宽度为代价来降低旁瓣。凯塞窗则可自由选择主瓣宽度和旁瓣衰减。低旁瓣。凯塞窗则可自由选择主瓣宽度和旁瓣衰减。 101/211)(2NnINnInwooI0(x)是零阶修正贝塞尔函数,参数是零阶修正贝塞尔函数,参数可自由选择,决定主瓣可自由选择,决定主瓣宽度与宽度与旁瓣衰减。旁瓣衰减。越大,越大,w(n)窗越窄,其频谱的主瓣变宽窗越窄,其频谱的主瓣变宽,旁瓣变小。一般取,旁瓣变小。

28、一般取4N时,时,hM(n)hd(n)零阶贝塞尔函数零阶贝塞尔函数NkjddeHkH2)(窗口设计法的主要工作是计算窗口设计法的主要工作是计算hd(n)和和w(n),当,当较为复杂时,较为复杂时,hd(n)不容易由反付里叶变换求得。这时一般不容易由反付里叶变换求得。这时一般可用离散傅里叶变换代替连续傅里叶变换,求得近似值:可用离散傅里叶变换代替连续傅里叶变换,求得近似值:令令102)(1)(MnMknjdMekHMnhjdeH210!)2/(1)(kkkxxI过渡带宽过渡带宽At阻带最小衰减为阻带最小衰减为dBAtdBAtdBAtAtdBAtAt21, 05021),21(07886. 0)2

29、1(5842. 050),7 . 8(1102. 04 . 0286. 28AtNnnnndeenhccnjjdcc/,)()(sin21)(例例2用凯塞窗设计一用凯塞窗设计一FIR低通滤波器,低通边界频低通滤波器,低通边界频率率,阻带边界频率,阻带边界频率,阻带衰减,阻带衰减At不小于不小于50dB。3 . 0c5 . 0r解:解:4 . 025 . 03 . 02rcc2 . 0cr302 . 0285. 2850N55. 4)7 . 850(1102. 0wn=kaiser(30,4.55);nn=0:29;alfa=(30-1)/2;hd=sin(0.4*pi*(nn-alfa)./(

30、pi*(nn-alfa);h=hd.*wn;h1,w1=freqz(h,1);plot(w1/pi,20*log10(abs(h1);axis(0,1,-80,10);grid;xlabel(归一化频率归一化频率/pi);ylabel(幅度幅度/dB);clear;w1=0.3*pi;w2=0.5*pi;wc=(w1+w2)/2;dw=w2-w1;At=50;ifAt=50bata=0.1102*(At-8.7)elseifAt21bata=0.5842*(At-21)0.4+0.07886*(At-21)elsebata=0endN=ceil(At-8)/(2.286*dw)N=ceil(A

31、t-8)/(2.286*dw)alfa=(N-1)/2;M=1024;formm=0:M-1w=2*pi/M*mm;ifw=wcHd(mm+1)=exp(-j*alfa*w);elseHd(mm+1)=0;endendhd=real(ifft(Hd);wn=kaiser(N,bata);nn=0:N-1;hd=real(hd(1:N);h=hd.*wn;h1,w1=freqz(h,1);plot(w1/pi,20*log10(abs(h1);axis(0,1,-80,10);grid;xlabel(归一化频率归一化频率/pi);ylabel(幅度幅度/dB);4.3 频率采样法频率采样法 工程

32、上,常给定频域上的技术指标,所以采用工程上,常给定频域上的技术指标,所以采用频域设计更直接。频域设计更直接。一、基本思想一、基本思想 使所设计的使所设计的FIRFIR数字滤波器的频率特性数字滤波器的频率特性在某些在某些离散频率点上的值准确地等于所需滤波器在这些频离散频率点上的值准确地等于所需滤波器在这些频率点处的值率点处的值,在其它频率处的特性则有较好的逼近,在其它频率处的特性则有较好的逼近。jnhNIDFTNNkjdjdeHnhkHeHeHd )(2)()(不同于点点频率取样确定内插公式内插公式 kNjddeHkHkH2 kHIFFTnh 1021NknkNjekHN 10NnnznhzH

33、101021NnnNknkNjzekHN 101021NkNnnnkNjzekHNzH 1010121NkNnnkNjzekHN 101212111NkkNjNkNjzezekHN 1012111NkkNjNzezkHNzH 101211NkkNjNzekHNz 10111NkkNzWkHNz10/21)(1NkjNkjNjjeekHNeeH10212/2sin2/sin)(1NkNkNjeNkNkHN10)(NkjkekHNkNjjkeNkNNe212/2sin)2/sin(1内插函数内插函数kikieiNjk01)(2, 1, 1 , 0,2NiiN1, 1 , 0,NiNkNjjkeNk

34、NNe212/2sin)2/sin(1内插公式表明:内插公式表明:l在每个采样点上,在每个采样点上,逼近误差为零,逼近误差为零,频响频响严格地与理想频响的采样值严格地与理想频响的采样值H(k)相等;相等;)()(kHeHkj)(jeH)(jeHl在采样点之间,频响由各采样点的内插函数延伸迭在采样点之间,频响由各采样点的内插函数延伸迭加而形成,因而有一定的逼近误差,误差大小与理想加而形成,因而有一定的逼近误差,误差大小与理想频率响应的曲线形状有关,理想特性平滑,则误差小;频率响应的曲线形状有关,理想特性平滑,则误差小;反之,误差大。在理想频率响应的不连续点附近,反之,误差大。在理想频率响应的不连

35、续点附近,会产生肩峰和波纹。会产生肩峰和波纹。lN增大,则采样点变密,逼近误差减小。增大,则采样点变密,逼近误差减小。二、设计方法二、设计方法1)确定)确定kkH、1, 1 , 0,)()(2NkeHkHeHkjkNkjd1, 1 , 0,)(1)(102NnekHNnhNkNnkj10)()(NnnznhzH)(nh2)计算)计算)(ZH3)计算)计算 10111NnkNNzWkHNz三、三、 约束条件约束条件为了设计线性相位的为了设计线性相位的FIR滤波器,采样值滤波器,采样值H(k)要满足要满足一定的约束条件。一定的约束条件。前已指出前已指出,具有线性相位的具有线性相位的FIR滤波器,其

36、单位脉冲滤波器,其单位脉冲响应响应h(n)是实序列,且满足是实序列,且满足,由此,由此得到的幅频和相频特性,就是对得到的幅频和相频特性,就是对H(k)的约束。的约束。例如,要设计例如,要设计第一类线性相位第一类线性相位FIR滤波器,即滤波器,即N为奇数,为奇数,h(n)偶对称,则偶对称,则幅度函数幅度函数H()应具有偶对称性:应具有偶对称性:)1()(nNhnh21)(NjjeHeH)2()( HHNkNkNN) 1(221第二种线性相位第二种线性相位FIR滤波器滤波器,N为偶数,为偶数,h(n)偶对偶对称,由于幅度特性是奇对称的称,由于幅度特性是奇对称的 2HH1, 1 , 0NkkjkeH

37、kH)(令令kNkHHkH1, 1 , 0Nk则则必须满足偶对称性:必须满足偶对称性:kNk2kNkHHkH1, 1 , 0Nk则则必须满足奇对称性:必须满足奇对称性:第一类线性相位滤波器第二类线性相位滤波器第三类线性相位滤波器第四类线性相位滤波器kHkkNkHHNkNk1kNkHHkNkHHkNkHHNkNk121NkNk21NkNk1, 2 , 1 , 0Nk例例3:利用频率采样法,设计一个线性相位低通:利用频率采样法,设计一个线性相位低通FIR数字滤波器,其理想特性为数字滤波器,其理想特性为采样点数采样点数N=33,要求线性相位。,要求线性相位。5 .005 .001jdeH解:解:N为

38、奇数,设计为奇数,设计LPDF,此低通滤波器为,此低通滤波器为第第一类线性相位滤波器一类线性相位滤波器。即。即h(n)=h(N-1-n),幅频幅频特性关于特性关于偶对称,也即偶对称,也即Hk偶对称。偶对称。利用利用Hk的对称性的对称性,求求2区间的频响采样区间的频响采样值。值。O15 . 05 . 12 H3322N24903225; 801kkHkkjkeHkH)(3203332212kkNkNk 10111)(NkkNNzWkHNzzH 81332sin33233sin332sin33233sin2sin233sin331)(kjkkkkeHN=65;k=0:(N-1)/2;Wm=2*pi

39、*k./N;Ad(1:(N+1)/2)=1;Ad(18)=0.5886;Ad(19)=0.1065;Ad(20:33)=0;Hd=Ad.*exp(-j*0.5*(N-1)*Wm);Hd=Hd conj(fliplr( Hd(2:(N+1)/2) ) );h=real(ifft(Hd);w=linspace(0,pi-0.1,1000);H=freqz(h,1,w);plot(w/pi,20*log10(abs(H);grid;小结:小结:频率采样设计法优点:频率采样设计法优点:直接从频域进行设计,物理概念清楚,直观方直接从频域进行设计,物理概念清楚,直观方便;便;适合于窄带滤波器设计,这时频率

40、响应只有少适合于窄带滤波器设计,这时频率响应只有少数几个非零值。数几个非零值。缺点:截止频率难以控制。缺点:截止频率难以控制。因频率取样点都局限在因频率取样点都局限在2/N的整数倍点上,所的整数倍点上,所以在指定通带和阻带截止频率时,这种方法受到以在指定通带和阻带截止频率时,这种方法受到限制,比较死板。充分加大限制,比较死板。充分加大N,可以接近任何,可以接近任何给定的频率,但计算量和复杂性增加。给定的频率,但计算量和复杂性增加。4.4FIR数字滤波器的最优化设计数字滤波器的最优化设计l 最优化设计的前提是最优准则的确定,在最优化设计的前提是最优准则的确定,在FIR滤波器最优化设计中,常用的准

41、则有滤波器最优化设计中,常用的准则有l 均方误差最小准则均方误差最小准则l 最大误差最小化准则。最大误差最小化准则。1)均方误差最小化准则,均方误差最小化准则,若以若以E(ej)表示逼近误差,则表示逼近误差,则deEdeHeHjjjd2222121 jjdjeHeHeE均方误差为均方误差为根据根据Parseval定理定理ndnhnh22)()(其它01)()(Nnonhnhd所以,矩形窗窗口设计法是一个最小均方误差所以,矩形窗窗口设计法是一个最小均方误差FIR设设计,根据前面的讨论,我们知道其优点是过渡带较窄,计,根据前面的讨论,我们知道其优点是过渡带较窄,缺点是局部点误差大缺点是局部点误差大

42、,或者说误差分布不均匀。或者说误差分布不均匀。2)最大误差最小化准则(也叫最佳一致逼近准则)最大误差最小化准则(也叫最佳一致逼近准则)其中其中F是根据要求预先给定的一个频率取值范围,可是根据要求预先给定的一个频率取值范围,可以是通带,也可以是阻带。最佳一致逼近即选择以是通带,也可以是阻带。最佳一致逼近即选择N个个频率采样值频率采样值(或时域或时域h(n)值值),在给定频带范围),在给定频带范围内使频响的最大逼近误差达到最小。也叫等波纹逼近。内使频响的最大逼近误差达到最小。也叫等波纹逼近。优点:可保证局部频率点的性能也是最优的,误差分优点:可保证局部频率点的性能也是最优的,误差分布均匀,相同指标

43、下,可用最少的阶数达到最佳化。布均匀,相同指标下,可用最少的阶数达到最佳化。min| )(|maxjeEF例如,我们提到的频率采样最优化设计,它是例如,我们提到的频率采样最优化设计,它是从已知的采样点数从已知的采样点数N、预定的一组频率取样和已知的、预定的一组频率取样和已知的一组可变的频率取样(即过渡带取样)出发,利用一组可变的频率取样(即过渡带取样)出发,利用迭代法(或解析法)得到具有最小的阻带最大逼近迭代法(或解析法)得到具有最小的阻带最大逼近误差(即最大的阻带最小衰减)的误差(即最大的阻带最小衰减)的FIR滤波器。但它滤波器。但它只是通过改变过渡带的一个或几个采样值来调整滤只是通过改变过

44、渡带的一个或几个采样值来调整滤波器特性。如果所有频率采样值(或波器特性。如果所有频率采样值(或FIR时域序列时域序列h(m))都可调整,显然,滤波器的性能可得到进一)都可调整,显然,滤波器的性能可得到进一步提高。步提高。4.4.1 非线性最优化非线性最优化 MMnjnjenheH为了简化分析,假定滤波器的单位脉冲响应为为了简化分析,假定滤波器的单位脉冲响应为对称于对称于n=0的单位脉冲响应,且的单位脉冲响应,且N为奇数。为奇数。令令N=2M+1MnMnnnannhh01cos)(cos)(2)0(低通滤波器的误差分配切比雪夫最佳一致逼近 如图,用等波纹逼近法设计滤波器需要确定五个参数: M、c

45、、r、1、2按上图所示的误差容限设计低通滤波器,就是说要在通带 0 p 内以最大误差 1 逼近1,在阻带r 内 以最大误差2逼近零。 要同时确定上述五个参数较困难。常用的两种逼近方法: 1)给定M、1、2,以c和r为变量。 缺点:边界频率不能精确确定。 2)给定M、c和r,以1和2为变量,通过迭代运算 ,使逼近误差1和2 最小,并确定h(n)切比雪 夫最佳一致逼近。 特点:能准确地指定通带和阻带边界频率。 等波动逼近的低通滤波器cr一.误差函数 定义逼近误差函数: )()(HHWEd E 为所设计的滤波器与理想滤波器的幅频特性在通带和阻带内的误差值, 是已知的权函数,在不同频带可取不同的值,

46、所要设计的滤波器的幅频特性 理想滤波器的幅频特性 W H dH rcdH001 rckW101例如,希望在固定例如,希望在固定 M, c, r 的情况下逼近一个低通滤波器,这时有的情况下逼近一个低通滤波器,这时有21k21cos)()(0NMnnaHMn21, 2 , 1,212)(,21)0(NnnNhnaNha对于表4.1中的第一种滤波器,) 1 (cos)()()()(0MndnnaHWE于是切比雪夫逼近问题变为,寻求一组系数 使逼近误差的最大值达到最小,即, 1 , 0),(Mnna2minmaxE 给定后等效于求 最小。c0r21/k二.交替定理(最佳逼近定理) 令F表示闭区间 的任

47、意闭子集,为了使 在 F 上唯一最佳地逼近于 ,其充分必要条件是误差函数 在 F 上至少应有(M+2)次“交替”, 即其中 ,且 属于F。 1) 至少有 M+2 个极值,且极值正负相间,具有等波纹的性质 , 2)由于 是常数,所以 的极值也就是 的极值。 E0i)(H)(dH1210M E)(max1EEEii )( dHW和 E H 借助于低通滤波器的设计,可以直观地解释这个定理。这时,闭子集F包括区间 和 。因为滤波器频响 是逐段恒定的,所以对应于误差函数 各峰值点的频率 同样也对应于 恰好满足误差容限时的频率。 根据前面的讨论, 在开区间 内至多有M-1个极值,此外,根据通带和阻带的定义,令 的约束条件为 ,p0rjeH0jdeH EijeHjeH11pjeH,再加上 和处的极值,误差曲线最多有M+1个极值频率(交替)满足定理。2rjeH0逼近方法:固定 k、M、

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