《收敛数列的性质》ppt课件

1、2.2 收敛数列的性质1、独一性、独一性2、有界性、有界性3、保号性、保号性4、保不等式性、保不等式性5、四那么运算、四那么运算6、迫敛性、迫敛性7、子数列的收敛性、子数列的收敛性1、独一性、独一性定理定理2.2 2.2 每个收敛的数列只需一个极限每个收敛的数列只需一个极限. .证证,lim,limbxaxnnnn 又又设设由定义由定义,使使得得., 021NN ;1 axNnn时恒有时恒有当当;2 bxNnn时时恒恒有有当当 ,max21NNN 取取时时有有则则当当Nn )()(axbxbann axbxnn .2 .时时才才能能成成立立上上式式仅仅当当ba 故收敛数列极限独一故收敛数列极限

2、独一.2、有界性、有界性例如例如,;1 nnxn数列数列.2nnx 数数列列数数轴轴上上对对应应于于有有界界数数列列的的点点nx都都落落在在闭闭区区间间,MM 上上.有界有界无界无界定理定理2.3 2.3 收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界. .证证,limaxnn 设设由定义由定义, 1 取取, 1, axNnNn时时恒恒有有使使得得当当则则. 11 axan即即有有,1,1,max1 aaxxMN记记,Mxnn 皆有皆有则对一切自然数则对一切自然数 .有界有界故故nx留意：有界性是数列收敛的必要条件留意：有界性是数列收敛的必要条件.推论推论 无界数列必定发散无界数列必定发散. .例例1.

3、)1(1是是发发散散的的证证明明数数列列 nnx证证,limaxnn 设设由定义由定义,21 对于对于,21,成成立立有有时时使使得得当当则则 axNnNn),21,21(, aaxNnn时时即即当当区间长度为区间长度为1.,1, 1两两个个数数无无休休止止地地反反复复取取而而 nx不能够同时位于长度为不能够同时位于长度为1的区间内的区间内., ,但却发散但却发散是有界的是有界的事实上事实上nx0axn20baaxn0byn20babyn2|baaan从而 22babaaan定理2.6 (收敛数列的保号性) 假设数列xn收敛于a, 且a0(或a0) 那么存在正整数N 当nN时 有xn0(或xn

4、0)推论 假设数列xn从某项起有xn0(或xn0) 且数列xn收敛于a 那么a0(或a0)nxnxnx证证,azaynn使得使得, 0, 0, 021 NN ( 双逼原理双逼原理 ),1 ayNnn时时恒恒有有当当,2 azNnn时时恒恒有有当当,max21NNN 取取上两式同时成立上两式同时成立, ayan即即, azan恒恒有有时时当当,Nn , azxyannn,成立成立即即 axn.limaxnn 上述数列极限存在的准那么可以推行到函数的极限上述数列极限存在的准那么可以推行到函数的极限例例1 1).12111(lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnnnnnn

5、nn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夹逼定理得由夹逼定理得. 1)12111(lim222 nnnnn6 绝对值收敛性绝对值收敛性: . lim ,limaaaannnn ( 留意反之不成立留意反之不成立 ). .0 lim ,0limnnnnaa 推论推论 设数列设数列 na 和和 nb 收敛收敛, 那么那么 .lim , lim min , min lim, lim , lim max , maxlimnnnnnnnnnnnnnnbabababa7数列极限的四那么运算法那么 (1)BAyxnnn)(lim (2)BAyxnnn)(lim (3

6、)当0ny(n1 2 )且 B0 时 BAyxnnnlim 定理2.8 设有数列xn和yn 假设Axnnlim Bynnlim 那么例例4 求求lim(1)nnnnli m1nnnaa 例例4 求求解：解： 分分 a=1， |a|1 三种情况三种情况 解：分子有理化1010limmmknka na nab nb nb例例3 求求8、子数列的收敛性、子数列的收敛性 的子数列（或子列）的子数列（或子列）的一个数列称为原数列的一个数列称为原数列到到中的先后次序，这样得中的先后次序，这样得这些项在原数列这些项在原数列保持保持中任意抽取无限多项并中任意抽取无限多项并定义：在数列定义：在数列nnnxxx,

7、21nixxxx,21knnnxxx .kkknnnnkkxxkxxnnk在子数列中，一般项是第 项，而在原数列中却是第项，显然，留意：留意：例如，例如，定理定理7 7 收敛数列的任一子数列也收敛且极限一收敛数列的任一子数列也收敛且极限一样样证证 的的任任一一子子数数列列是是数数列列设设数数列列nnxxk,limaxnn ., 0, 0 axNnNn恒恒有有时时使使,NK 取取,时时则当则当Kk .kKNnnnN. axkn.limaxknk 证证毕毕例例4对于数列对于数列xn )(2 kaxk若若)(12 kaxk)( naxn则则证证0 知知由由axkk 2lim时时，有有使使当当11,K

8、kK |2axk知知再由再由axkk 12lim时，有时，有使当使当22,KkK |12axk12 ,2max21 KKN取取时时则则当当Nn 11222KmKmmn 则则若若此时有此时有 |2axaxmn22121212KmKmmn 则则若若此时有此时有 |12axaxmn总之：总之：0 N 时时使使当当Nn 恒有恒有 |axnaxnn lim即即)(),()(| naxqpaNBABqxApxxnqpn则则趋趋于于同同一一极极限限值值其其中中与与：若若子子数数列列对对数数列列Th ( 数列收敛充要条件 ) na 收收敛敛 naTh ( 数列收数列收敛敛充要条件充要条件 ) na 收收敛敛

9、子列子列 12 na 和和 na2收收敛敛于同一极限于同一极限. 的任何子列收敛的任何子列收敛 于同一极限于同一极限.Th ( 数列收数列收敛敛充要条件充要条件 ) na 收收敛敛 子列子列 12 ka、ka23ka都收都收敛敛. 和和 思索题思索题指指出出下下列列证证明明1lim nnn中中的的错错误误 证明证明要使要使,1 nn只需使只需使)1ln(ln1 nn从而由从而由2ln)1ln(ln)1ln(1 nn得得, 0 取取1)1ln(2ln N当当 时，必有时，必有 成立成立Nn 10nn1lim nnn思索题解答思索题解答 1nn)1ln(ln1 nn等价等价证明中所采用的证明中所采用的2ln)1ln(ln)1ln(1 nn实践上就是不等式实践上就是不等式)1ln(ln2ln nnn即证明中没有采用即证明中没有采用“适当放大适当放大 的值的值nnln从而从而 时，时，2ln)1ln( Nn仅有仅有 成立，成立，)1ln(2