因式分解公式法、十字相乘法-教师版[1]

1、2、运用公式法进行因式分解【知识精读】 把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。 主要有：平方差公式 完全平方公式 立方和、立方差公式 补充：欧拉公式： 特别地：1当时，有 2当时，欧拉公式变为两数立方和公式。 运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。但有时需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式。 用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用。因此，正确掌握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。下面我们就来学习用公式法进行因式分解【分类解析】 1. 把分解因式的结果是 A. B. C. D. 分析：。 再利用平方差公式

2、进行分解，最后得到，应选择B。说明：解这类题目时，一般先观察现有项的特征，通过添加项凑成符合公式的形式。同时要注意分解一定要彻底。2. 在简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的应用 例：多项式有一个因式是，求的值。 分析：由整式的乘法与因式分解互为逆运算，可假设另一个因式，再用待定系数法即可求出的值。 解：根据条件，设 那么 由此可得 由1得 把代入2，得把代入3，得 3. 在几何题中的应用。 例：是的三条边，且满足，试判断的形状。 分析：因为题中有，考虑到要用完全平方公式，首先要把转成。所以两边同乘以2，然后拆开搭配得完全平方公式之和为0，从而得解。 解： 为等边三角形。

3、4. 在代数证明题中应用 例：两个连续奇数的平方差一定是8的倍数。 分析：先根据条件把奇数表示出来，然后进行变形和讨论。 解：设这两个连续奇数分别为为整数 那么 由此可见，一定是8的倍数。5、中考点拨： 例1：因式分解：_。 解： 说明：因式分解时，先看有没有公因式。此题应先提取公因式，再用平方差公式分解彻底。例2：分解因式：_。 解： 说明：先提取公因式，再用完全平方公式分解彻底。题型展示： 例1. ：， 求的值。 解： 原式 说明：此题属于条件求值问题，解题时没有把条件直接代入代数式求值，而是把代数式因式分解，变形后再把条件带入，从而简化计算过程。例2. ，求证： 证明： 把代入上式， 可

4、得，即或或 假设，那么， 假设或，同理也有说明：利用补充公式确定的值，命题得证。 例3. 假设，求的值。 解： 且 又 两式相减得 所以 说明：按常规需求出的值，此路行不通。用因式分解变形条件，简化计算过程。【实战模拟】 1. 分解因式：1 2 32. ：，求的值。3. 假设是三角形的三条边，求证：4. ：，求的值。5. 是不全相等的实数，且，试求 1的值；2的值。【试题答案】 1. 1解：原式 说明：把看成整体，利用平方差公式分解。 2解：原式 3解：原式 2. 解： 3. 分析与解答：由于对三角形而言，需满足两边之差小于第三边，因此要证明结论就需要把问题转化为两边差小于第三边求得证明。 证

5、明： 是三角形三边且即 4. 解 ，即 5. 分析与解答：1由因式分解可知 故需考虑值的情况，2所求代数式较复杂，考虑恒等变形。 解：1 又 而 不全相等 2 原式 而，即 原式 说明：因式分解与配方法是在代数式的化简与求值中常用的方法。5、用十字相乘法把二次三项式分解因式【知识精读】 对于首项系数是1的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式进行因式分解。掌握这种方法的关键是确定适合条件的两个数，即把常数项分解成两个数的积，且其和等于一次项系数。 对于二次三项a、b、c都是整数，且来说，如果存在四个整数满足，并且，那么二次三项式即可以分解为。这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的类

6、型复杂，因此一般要借助画十字交叉线的方法来确定。 下面我们一起来学习用十字相乘法因式分解。【分类解析】 1. 在方程、不等式中的应用 例1. ：，求x的取值范围。 分析：此题为二次不等式，可以应用因式分解化二次为一次，即可求解。 解： 例2. 如果能分解成两个整数系数的二次因式的积，试求m的值，并把这个多项式分解因式。 分析：应当把分成，而对于常数项-2，可能分解成，或者分解成，由此分为两种情况进行讨论。 解：1设原式分解为，其中a、b为整数，去括号，得： 将它与原式的各项系数进行比照，得： 解得： 此时，原式 2设原式分解为，其中c、d为整数，去括号，得： 将它与原式的各项系数进行比照，得：

7、 解得： 此时，原式2. 在几何学中的应用 例. ：长方形的长、宽为x、y，周长为16cm，且满足，求长方形的面积。 分析：要求长方形的面积，需借助题目中的条件求出长方形的长和宽。 解： 或 又 解得：或 长方形的面积为15cm2或 3、在代数证明题中的应用 例. 证明：假设是7的倍数，其中x，y都是整数，那么是49的倍数。 分析：要证明原式是49的倍数，必将原式分解成49与一个整数的乘积的形式。 证明一： 是7的倍数，7y也是7的倍数y是整数 是7的倍数 而2与7互质，因此，是7的倍数，所以是49的倍数。 证明二：是7的倍数，设m是整数 那么 又 x，m是整数，也是整数 所以，是49的倍数。

8、4、中考点拨 例1.把分解因式的结果是_。 解： 说明：多项式有公因式，提取后又符合十字相乘法和公式法，继续分解彻底。 例2. 因式分解：_ 解： 说明：分解系数时一定要注意符号，否那么由于不慎将造成错误。5、题型展示 例1. 假设能分解为两个一次因式的积，那么m的值为 A. 1B. -1C. D. 2 解： -6可分解成或，因此，存在两种情况： 由1可得：，由1可得： 应选择C。 说明：对二元二次多项式分解因式时，要先观察其二次项能否分解成两个一次式乘积，再通过待定系数法确定其系数，这是一种常用的方法。 例2. ：a、b、c为互不相等的数，且满足。 求证： 证明： 说明：抓住条件，应用因式分

9、解使命题得证。 例3. 假设有一因式。求a，并将原式因式分解。 解：有一因式 当，即时， 说明：由条件知，时多项式的值为零，代入求得a，再利用原式有一个因式是，分解时尽量出现，从而分解彻底。【实战模拟】 1. 分解因式：1 2 32. 在多项式，哪些是多项式的因式？3. 多项式有一个因式，求k的值，并把原式分解因式。4. 分解因式： 5. ：，求的值。【试题答案】 1. 1解：原式 2解：原式 3解：原式 2. 解： 其中是多项式的因式。 说明：先正确分解，再判断。 3. 解：设 那么 解得： 且 说明：待定系数法是处理多项式问题的一个重要方法，所给多项式是三次式，有一个一次因式，那么另一个因

10、式为二次式，由多项式乘法法那么可知其二次项系数为1。 4. 解：简析：由于项数多，直接分解的难度较大，可利用待定系数法。 设 比拟同类项系数，得： 解得： 5. 解： 说明：用因式分解可简化计算。初一数学上因式分解练习题精选一、填空：30分1、假设是完全平方式，那么的值等于_。2、那么=_=_3、与的公因式是4、假设=，那么m=_，n=_。5、在多项式中，可以用平方差公式分解因式的有_ ，其结果是 _。6、假设是完全平方式，那么m=_。7、8、那么9、假设是完全平方式M=_。10、， 11、假设是完全平方式，那么k=_。12、假设的值为0，那么的值是_。13、假设那么=_。14、假设那么_。1

11、5、方程，的解是_。二、选择题：10分1、多项式的公因式是 A、a、 B、 C、 D、2、假设，那么m，k的值分别是 A、m=2，k=6，B、m=2，k=12，C、m=4，k=12、D m=4，k=12、3、以下名式：中能用平方差公式分解因式的有 A、1个，B、2个，C、3个，D、4个4、计算的值是 A、 B、三、分解因式：30分1 、 2 、 3 、 4、 5、 6、 7、 8、9 、 10、四、代数式求值15分，求 的值。假设x、y互为相反数，且，求x、y的值，求的值五、计算： 151 2 3六、试说明：8分1、对于任意自然数n，都能被动24整除。2、两个连续奇数的积加上其中较大的数，所得

12、的数就是夹在这两个连续奇数之间的偶数与较大奇数的积。七、利用分解因式计算8分1、一种光盘的外D=11.9厘米，内径的d=3.7厘米，求光盘的面积。结果保存两位有效数字2、正方形1的周长比正方形2的周长长96厘米，其面积相差960平方厘米求这两个正方形的边长。八、老师给了一个多项式，甲、乙、丙、丁四个同学分别对这个多项式进行了描述：甲：这是一个三次四项式乙：三次项系数为1，常数项为1。丙：这个多项式前三项有公因式丁：这个多项式分解因式时要用到公式法假设这四个同学描述都正确请你构造一个同时满足这个描述的多项式，并将它分解因式。4分?第6章 因式分解?2021年单元检测题答案答案与评分标准一、选择题

13、共10小题，每题3分，总分值30分1、以下从左到右的变形是分解因式的是A、x+1x1=x21B、C、x2+x+=x+2D、3x26x2+4=3x2x2+4考点：因式分解的意义。分析：根据因式分解的定义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做把这个单项式因式分解，逐一进行判断即可得正确的答案解答：解：A、D中最后结果不是乘积的形式，不属于因式分解；B、不是在整式范围内进行的分解，不属于因式分解；C、运用完全平方公式进行的因式分解应选C点评：注意因式分解的是多项式，分解的结果是积的形式2、以下各式从左到右的变形错误的选项是A、yx2=xy2B、ab=a+bC、ab3=ba3D、m+

14、n=m+n考点：因式分解-提公因式法；去括号与添括号；因式分解的意义。分析：根据互为相反数的偶次方相等，奇次方互为相反数；添括号法那么，对各选项分析判断后利用排除法求解解答：解：A、yx2=xy2，正确；B、ab=a+b，正确；C、ab3=ba3，正确；D、m+n=mn而不是m+n，故本选项错误；应选D点评：主要考查互为相反数的乘方与添括号法那么，为因式分解作铺垫3、以下各式分解正确的选项是A、12xyz9x2y2=3xyz43xyB、3a2y3ay+3y=3ya2a+1C、x2+xyxz=xx+yzD、a2b+5abb=ba2+5a考点：因式分解-提公因式法。分析：用提取公因式法分解因式，首

15、先要正确确定公因式；其次，要注意提取公因式后代数式的形式和符号解答：解：A、应为12xyz9x2y2=3xy4z3xy；故本选项错误B、3a2y3ay+3y=3ya2a+1；正确C、应为x2+xyxz=xxy+z；故本选项错误D、应为a2b+5abb=ba2+5a1；故本选项错误应选B点评：此题考查了提公因式法分解因式，准确找出公因式是解题的关键，注意符号，不要漏项4、在多项式x24x+4，1+16a2，x21，x2+xy+y2中，是完全平方式的有A、1个B、2个C、3个D、4个解答：解：x24x+4=x22；1+16a2，x21，不是三项式；x2+xy+y2中没有两个数乘积的2倍应选A点评：

16、此题考查了完全平方公式的结构特点和应用5、把a+b2c2分解因式的结果为A、a+bcab+cB、a+b+ca+bcC、a+b+cabcD、ab+cabc解答：解：a+b2c2=a+b+ca+bc故应选B点评：此题考查了用公式法进行因式分解的能力，进行因式分解时，应把a+b看作一个整体，从而套用公式进行因式分解6、如果a2+8ab+m2是一个完全平方式，那么m的值是A、b2B、2b C、16b2D、4b解答：解：a2+8ab+m2是一个完全平方式，m2=4b2=16b2，m=4b应选D点评：此题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式注意是m2=4b2

17、=16b2m=4b7、假设xn81=x2+9x+3x3，那么n等于A、2B、4 C、6D、8解答：解：x2+9x+3x3，=x2+9x29，=x481，xn81=x481，n=4应选B点评：此题考查了平方差公式，首先利用平方差公式化简等式的右边，然后根据多项式的项的指数相等来确定n的值8、对于多项式1x2y2；2x2y2；34x2y；44+x2中，能用平方差公式分解的是A、12B、13 C、14D、24解答：解：平方差公式必须只有两项，并且是两个数平方差的形式，1x2y2两平方项符号相反，可以利用平方差公式；2x2y2，两平方项符号相同，不能运用平方差公式；34x2y虽然是两项，并且是差的形式

18、，但不是平方差的形式；44+x2，两平方项符号相反，可以利用平方差公式所以14能用平方差公式分解应选C点评：主要考查了平方差公式的特点，只要抓住平方差公式的特点：两平方项，符号相反，熟记公式结构特点是解题的关键9、假设a+b=7，ab=10，那么a2b+ab2的值应是A、7B、10 C、70D、17解答：解：a+b=7，ab=10，a2b+ab2=aba+b=107=70应选C点评：主要考查了提公因式法分解因式的运用10、对于任意整数m，多项式m+72m2都能被整除A、2B、7 C、mD、m+7解答：解：m+72m2=72m+7故对于任意整数m，多项式m+72m2能被7整除应选B点评：此题考查

19、利用平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键二、填空题共10小题，每题3分，总分值30分11、把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式分解因式解答：解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式分解因式点评：此题主要考查了因式分解定义，注意因式分解的是多项式，分解的结果是积的形式12、分解因式：2x218=2x+3x3解答：解：2x218，=2x29，=2x+3x3点评：此题考查了提公因式法与公式法分解因式，有公因式的首先提取公因式，最后一定要分解到各个因式不能再分解为止13、假设9x2+mxy+16y2是一个完全平方式，那么m=24解答：解：3x4y2=9x224x

20、y+16y2，在9x2+mxy+16y2中，m=24点评：此题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式注意积的2倍的符号，防止漏解14、9x2+3xy212x2y的公因式是3x解答：解：9x2+3xy212x2y=3x3xy2+4xy，故公因式是3x点评：此题考查了应用提取公因式法分解因式的能力，解题的关键是准确确定公因式15、分解因式：a+b26a+b+9=a+b32解答：解：a+b26a+b+9，=a+b22a+b3+32，=a+b32点评：此题考查用完全平方公式分解因式，完全平方公式的结构特点需要熟练掌握，把a+b看作一个整体是解题的关键16、

21、计算：2003220022003=2003解答：解：2003220022003，=200320032002，=2003点评：此题考查了提公因式法分解因式，比拟简单，提取公因式2003是解题的关键17、假设x+5，x3都是多项式x2kx15的因式，那么k=2解答：解：根据题意得x+5x3=x2+2x15，=x2kx15，k=2，解得k=2点评：此题主要考查了因式分解与整式的乘法是互为逆运算，并且考查了代数式相等条件：对应项的系数相同22=15.2解答：22，=5.76+4.245.764.24，=101.52，=15.2点评：此题考查活用平方差公式因式分解，把问题简单化19、假设y2+4y4=0，那么3y2+12y5的值为7解答：解：由y2+4y4=0得，y2+4y=4，所以3y2+12y5=3y2+4y5=345=7点评：此题要把y2+4y看作一个整体，能够整体代入计算20、分解因式的结果是ab2解答：解：=ab2故答案为：ab2点评：此题考查了用完全平方公式分解因式，熟练掌握完全平方公式的结构是解题的关键三、解答题共3小题，总分值60分21、分解因式：121a2b+14ab27ab；2 6x324x；3pxy+qyx；4 xy2yx解答：解：121a2b+