2010年辽宁名校数学模拟卷分类汇编二：函数与导数

1、2021年优秀模拟试卷分类汇编第二局部：函数与导数1.2021丹东一模函数I假设，求函数的极值；II假设对任意的，都有成立，求的取值范围2.2021丹东二模对任意，直线都不是的切线I求的取值范围；II求证在上至少存在一个，使得成立3.2021沈阳一模设函数.求函数的单调递增区间；设函数在上是增函数，且对于内的任意实数,当为偶数时，恒有成立，求实数的取值范围；()当是偶数时，函数，求证：.4.2021沈阳三模函数f(x)xln(xa)a是常数 (I)求函数f(x)的单调区间；(II) 当在x1处取得极值时，假设关于x的方程f(x)2xx2b在 EQ f(1,2)，2上恰有两个不相等的实数根，求实

2、数b的取值范围；(III)求证:当时5.2021抚顺模拟函数，为常数，为自然对数的底 假设函数在时取得极小值，试确定的取值范围； 在的条件下，设由的极大值构成的函数为，试判断曲线只可能与直线、，为确定的常数中的哪一条相切，并说明理由6.2021全国四校二模 定义在正实数集上的函数，其中设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同，用表示，并求的最大值；设，证明：假设，那么对任意， 有7.2021全国四校三模对任意的恒有成立。 1求正数与的关系； 2假设 对恒成立，求函数的解析式； 3证明：8.2021全国四校一模函数 I证明函数在区间0，1上单调递减； II假设不等式都成立，其中e是自然对数的底数

3、，求实数a的最大值。9.2021大连二模函数 1设两曲线与有公共点，且在公共点处的切线相同，假设，试建立关于的函数关系式； 2在1的条件下求的最大值； 3假设时，函数在0，4上为单调函数，求的取值范围。10.2021模拟题函数 1当时，求函数在上的最大值和最小值； 2当函数在单调时，求的取值范围； 3求函数既有极大值又有极小值的充要条件。11.2021锦州三模设函数 I当图像上的点到直线距离的最小值； II是否存在正实数a，使对一切正实数x都成立？假设存在，求出a的取值范围；假设不存在，请说明理由12.2021锦州二模 的单调区间和最值；假设13.2021沈阳二模函数满足,当时,当时, 的最大

4、值为-4(I)求实数的值；(II)设，函数，假设对任意的,总存在,使,求实数的取值范围14.2021预测函数aR。 I我们称使=0成立的x为函数的零点。证明：当a=1时，函数只有一个零点； II假设函数在区间1，+上是减函数，求实数a的取值范围。15.2021东北三校三模定义：其中。 1求的单调区间； 2假设恒成立，试求实数a的取值范围； 3记的导数，当a=1时，对任意的，在区间上总存在k个正数，使成立，试求k的最小值。16.(2021东北三校一模)函数 1假设函数在定义域内单调递增，求的取值范围； 2假设且关于x的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围； 3设各项为正的数列满足：求

5、证：2021年优秀模拟试卷分类汇编第二局部：函数与导数详解答案1.解：I， 2分，得，或，列表：2+0-0+极大极小函数在处取得极大值， 4分函数在处取得极小值； 6分II方法1：，时，i当，即时，时，函数在是增函数，恒成立； 8分ii当，即时，时，函数在是减函数，恒成立，不合题意 10分iii当，即时，时，先取负，再取，最后取正，函数在先递减，再递增，而，不能恒成立；综上，的取值范围是. 12分方法2：，i当时，而不恒为0，函数是单调递增函数，恒成立；8分ii当时，令，设两根是，当时，是减函数，而， 10分假设，不可能，假设，函数在是减函数，也不可能，综上，的取值范围是. 12分方法3：i当

6、，即时，函数在上为增函数，恒成立；ii当，即，或时， 假设，在增函数，恒成立；8分假设，由，得 设，列表：+0-0+极大极小任意的，恒成立，而，或， 10分与矛盾，也与矛盾，以上两式都与矛盾，对任意的，不能恒成立，综上，的取值范围是. 12分2. 解：I， 2分对任意，直线都不是的切线，实数的取值范围是； 4分II方法1：问题等价于当时， 6分设，在上是偶函数，故只要证明当时， 当上单调递增且， ； 8分当，列表： +0-0+极大极小在上递减，在上递增， 10分，时，时，假设，那么；假设，那么；在上至少存在一个，使得成立 12分方法2：反证法假设在上不存在，使得成立，即，设，在上是偶函数，时，

7、 6分当上单调递增且， ，与矛盾； 8分当，列表： +0-0+极大极小在上递减，在上递增， 10分，时，时，矛盾；，矛盾；综上，与矛盾，假设不成立，原命题成立 12分3. 解：由，得函数f(x)的定义域为. 1分当k为偶数时，那么,又，即，得x，所以此时函数的单调递增区间为.当k为奇数时，那么在定义域内恒成立，所以此时函数的单调增区间为. 4分函数在上是增函数在上恒成立，即在上恒成立，即，. 6分由可知当k为偶数时，得0 x,即在为减函数，.又对于内的任意实数x1，x2，当k为偶数时，恒有成立,即,所以, 由得. 8分()由可知，即证，9分由二项式定理= . 即证. 10分设Sn=,那么Sn=

8、.两式相加得2Sn=,即Sn，所以原不等式得证. .12分4. (I) 由由函数的定义域为， ，由得，由得，所以函数的减区间为，增区间为 4分II由题意，得 ， a0 5分由()知f(x)xlnx，f(x)2xx2b ，即 xlnx2xx2b ， x23xlnxb0，设x23xlnxb(x0)，那么2x3 EQ f(1,x) EQ f(2x23x1,x)f(2x1)(x1),x),当变化时，的变化情况如下表：x EQ f(1,2)( EQ f(1,2)，1)1(1，2)200b EQ f(5,4)ln2b2b2ln26分方程f(x)2xx2b在 EQ f(1,2)，2上恰有两个不相等的实数根,

9、 EQ blc(aal(g(f(1,2)0,g(1)0,g(2)0) , EQ blc(aal(bf(5,4)ln20,b20,b2ln20), EQ f(5,4)ln2b1)，假设a1，x1，那么f(x)0，f(x)在1，上连续，f(x)在1，上是单调递增函数，当a1，x1时，f(x)min=f(1)=1，函数有最小值1，无最大值 -4分记g(x)=f(x)2ax=x22alnx2ax，充分性：假设，那么g(x)=x2lnxx，g(x)=(2x2x1)=(2x1)(x1)当x(0，1)时，g(x)0，g(x)在1，上是单调递增函数当x=1时，g(x)min=g(1)=0，即g(x)0，当且仅

10、当x=1时取等号，方程f(x)=2ax有唯一解必要性：假设方程f(x)=2ax有唯一解，即g(x)=0有唯一解令g(x)=0，得x2axa=0a0，x0，x1=(舍去)，x2=当x(0，x2)时，g(x)0，g(x)在(x2，)上是单调递增函数当x=x2时，g(x2)=0，g(x)min=g(x2)g(x)=0有唯一解，g(x2)=0，2alnx2ax2a=0，a0，2lnx2x21=0，*设函数h(x)=2lnxx1，在x0时h(x)是增函数，h(x)=0至多有一解h(1)=0，方程(*)的解为x2=1，即，解得由、知，“方程f(x)=2ax有唯一解的充要条件是“ -12分13. (I)由,

11、得, 4分时,设,那么, ,时, ,所以,，又由,可得,在上是增函数,在上是减函数,=-1 7分II设的值域为A，的值域为B，那么由，对于任意的，使得， 9分由I=-1，当时,，在上单调递减函数,的值域为 A= 10分,1当时，在上是减函数，此时，的值域为，为满足，又即 11分2当时，在上是单调递增函数，此时，的值域为，为满足，又,综上可知b的取值范围是 12分14. 解：I当a=1时，其定义域为0，+，令，解得或，又x0，故x=1，当0 x1时， ，函数在区间0，1上单调递增，在区间1，+上单调递减，当x=1时，函数取得最大值，即，所以函数只有一个零点；5分 II因为，其定义域为0，+，所以

12、，1当a=0时，所以在区间0，+上为增函数，不合题意。7分 2当a0时，等价于，即x，此时，的单调减区间为，+，依题意，得，解之得。9分 3当a0时，等价于，即0 x，此时的单调减区间为0，不合题意。综上所述，实数a的取值范围是。12分15. 解：1，那么 1分当时，对恒成立，在上递增当时，令，那么， 2分时，为增函数；时，为减函数综上，时，增区间为；时，增区间为，减区间为. 4分2由1知时，在递增，且时，那么不恒成立，故 5分又的极大值即最大值恒成立，只须，即 6分3当时，令，那么 8分当时， 在上是增函数当时， 在上是增函数 10分当时，当时，那么为使得k最小，需，那么，又，所以当时，当时，那么