高阶偏导数及泰勒公式PPT课件

1、).,(),(),(yxfyxfyxfzyx的偏导数为设由于它们还是 x, y 的函数. 因此, 可继续讨论.),(),(的偏导数yxfyxfyx一、高阶偏导数一、高阶偏导数第1页/共81页, .),(),( .),( 则记还可偏导若内可偏导在区域设yxfyxfDyxfzyx xfyyxfyxzxy),(2,),(22 xfxyxfxzxx第2页/共81页,),(22 yfyyxfyzyy yfxyxfxyzyx),(2称为 z = f (x, y)的二阶偏导数. .),(),( 为二阶混合偏导数称yxfyxfyxxy 第3页/共81页类似, 可得三阶, 四阶, , n 阶偏导数.则记可偏导若

2、如, ,22xz,2233xzxxz.,2223等等xzyyxz第4页/共81页例1., 3sin3322xzyxyxz求全部二阶偏导和设解:, 122xyxz.cos22yyxyz,2222yxz,42xyxyz. 033xz,sin2222yxyz.42xyyxz第5页/共81页. ,122xyzyxz有中在例若不是, 那么满足什么条件时, 二阶混合偏导数才相等呢?问题: 是否任何函数的二阶混合偏导数都相等?第6页/共81页若 z = f (X) = f (x, y)的两个混合偏导数, ,)(),(,0000022连续且它们在内存在的某邻域在XXUyxXxyfyxf则xyXfyxXf)()

3、(0202定理1第7页/共81页分析. 按定义,),(),(lim),(0 xyxfyxxfyxfxx,),(),(lim),(0yyxgyyxgyxgyy),(yxfxy yxyxf),(,),(),(lim0yyxfyyxfxxy第8页/共81页yy1lim0 xyyxfyyxxfx),(),(lim0 xyxfyxxfx),(),(lim0),(),(11limlim00yyxfyyxxfxyxy),(),(yxfyxxf第9页/共81页),(,00yxfxy 故 ),(1limlim0000yyxxfyxxyf (x0 , y0 +y) f (x0 +x , y0) + f (x0 ,

4、 y0)同理),(00yxfyx ),(1limlim0000yyxxfyxyxf (x0 +x , y0) f (x0, y0 +y ) + f (x0 , y0)第10页/共81页证证: 分别给 x, y 以改变量x, y , 使(x0 +x , y0 +y), (x 0 +x , y0)及 (x0 , y0 +y)均在U(X0)内.记 A = f (x0 +x , y0 +y) f (x0 +x , y0) f (x0, y0 +y) f (x0 , y0)(x) = f (x , y0 +y ) f (x , y0), 有 A = (x0 +x) (x0)第11页/共81页.)(,)(

5、00存在在从而内存在在因XUfXUfxxy 即(x) 在x0的某邻域内可导, 故满足拉格郎日中值定理条件.因A = (x0 +x) (x0) , (x) = f (x , y0 +y )f (x , y0), A = (x0 +1x) x,),(),(010010 xyxxfyyxxfxx. 10 ,1其中第12页/共81页再对变量 y 用拉格朗日中值定理. 得. 1,0 ,),(212010 yxyyxxfAxy另外, A = f (x0 +x , y0 +y) f (x0, y0 +y ) f (x0+x, y0) f (x0 , y0)记 (y) = f (x0 +x , y) f (x

6、0 , y),从而xyxxfyyxxfAxx),(),(010010第13页/共81页A = (y0 +y) (y0) (由拉格朗日中值定理)yyyxfyyxxfyy),(),(300300. 1,0 ,),(433040yxyyxxfyxyyy)(30第14页/共81页故),(),(30402010yyxxfyyxxfyxxy ,),(, . 0, 000有连续在因令yxffyxyxxy ),(),(0000yxfyxfyxxy yxyyxxfAxy ),(2010yxyyxxfAyx),(3040第15页/共81页1.定理1的结果可推广到更高阶的混合偏导的情形. 同时可推广到二元以上的函数

7、情形. 即,若混合偏导数连续, 则混合偏导相等(即求混合偏导与求导顺序无关).注第16页/共81页2.若多元函数 f (X)在区域 D内有(直到) k 阶连续偏导. 则记为 f (X)Ck (D). k为非负整数.若 f (x, y)Ck (D), 则不论求导顺序如何, 只要是对 x 求导 m 次, 对 y 求导 k m 次, 都可写成)( , ,kyxmkmkmkmfyxf或第17页/共81页例2. ., .d)sin(d)(d),(),(2bayxbyxxayxuyxyxuu求常数处的全微分在任何点设解:.sin ,2xbyxuayxuyx有均可导知,yxuu).( ,sin1 ),( ,

8、连续连续xbuauyxxy yxxyuuyx 有在任何点从而),(,.sin1 axb即比较知 a = 1, b = 0.第18页/共81页),( ,:2为积分变量以积分由本题也可xayxux).(31 3ycaxyxu得).( ycaxuy从而. 0, 1sin baxbyxuy比较可得与第19页/共81页例3. 解: 设 u=x+y+z, v=xyz,. , ),(22zxwCfxyzzyxfw求设从而 w = f (u, v)是x , y , z,的复合函数. 由链式法则.第20页/共81页yzffxw 211).,(),(21xyzzyxfyzxyzzyxf注意：.,),(),(111

9、的复合函数仍是zyxxyzzyxfvuff,21再求偏导时以及对 ff还要用链式法则来求.第21页/共81页)(212fyzzzfzxw 11 zuf zvf12zfyzf y2221211f yfxyf yz1(21 f)22xyf ).( .)(211222221211fff yf zxyfyzxyf ),(),(111xyzzyxfvuff),(),(222xyzzyxfvuff第22页/共81页例4. 解:. .),(222yxwCfxyyxfw求设 2212xyfxyfxw.2221fxyfxy., 21求导时要用链式法则对它们的复合函数仍是注意yxffyfxyfxyfxyf xyx

10、w2222112122第23页/共81页xyfxf x212221211(xf )112xf 2xy221(xf )122xf 22312113221212fxyf yf yxfxf x . 2112ff 其中yfxyfxyfxyf xyxw2222112122),(2xyyxfw 第24页/共81页例5. 解: (1). ,tg),(2222xzezyxyxzzz求所确定由方程设zezyxzyxFtg),(22记由隐函数求导公式,zxFFxz,2xFx有从而,zexxzz2sec2.sec2zzezF第25页/共81页(2)上式两端对 x 求偏导. 此时右边的z看作 x 的的函数. y要看作

11、常数.222)sec()tgsecsec2(2)sec(2zezzzzzexzezzxxzzxx 有zexxzz2sec22222)sec()tgsec2(2)sec(2zezzzexzezxzz322222)sec()tgsec2(4)sec(2zezzexzezzz第26页/共81页例6. 设方程组解: (1)先求一阶偏导. 2. 12222vuyxvuyx., 22xuxvxu求注意, u, v 看作 x, y 的函数.得022201xvvxuuxxvxu方程两边对x 求偏导.xvvuuvuxxxx1 ,即第27页/共81页xvvuuvuxxxx1, 11 uvvuDvxvxD 11 1

12、, 11 2xuxuD从而,uvxuxvuvvxDDxu ,1第28页/共81页(2), ,uvxuxvuvvxxu从而,xuvvxxu222)()()(1 (uvuvvxuvvxxx2)()()(1uvuvvxuvxuvxuvuvxu32)()2)()(2uvxvuvxuvxuv第29页/共81页例7. 设u = f (x, y, z), y=x3, (x2, lny, z) = 0 . 0,1xCfdxdu其中求解:u = f (x, x3, z) (x2, 3lnx, z) = 0易见 z, u均 x 的函数, 方程两边对 x 求导数.xxzffxfu 322131032321 xzxx

13、第30页/共81页得321232xxzx从而33212221323fxxfxfux第31页/共81页和一元函数一样, 多元函数也有高阶微分的概念. 我们只介绍二元函数的高阶微分.,.d),(d),(d,),( 的函数仍是则可微设yxyyxfxyxfzyxfzyx若 dz 还可微, 则记 d2z = d(dz), 称为z 的二阶微分.,d1),(, 1可微且仍存在阶微分的若一般zkyxfzk.),d(dd1阶微分的称为则记kzzzkk 二、高阶微分二、高阶微分第32页/共81页下边推导 z 的 k 阶微分的计算公式.设以 x, y 为自变量为自变量 的函数 z = f (x, y)Ck .由于x

14、, y 为自变量,故dx = x, dy = y,与 x, y 的取值无关.yyxfxyxfzyxd),(d),(d 有固定x, y, (即将它们看作常数), 求dz的微分.).(),(, .d, 2二阶可微存在二阶微分则若即可微存在连续偏导时当易见yxfzCfzffyx第33页/共81页且 d2z = d(dz)d),(d),(dyyxfxyxfyxd),(dd),(dyyxfxyxfyxyyxfxyxfyxd),(dd),(dyyyxfxyxfxyyxfxyxfyyyxxyxxdd),(d),( dd),(d),( 2222222ddd2dyyzyxyxzxxz第34页/共81页.,存在三

15、阶微分存在连续偏导时当易见zfffyyxyxx 记zyyxxyyzxxzdddd.),(,3形式将更加繁杂但其存在三阶微分则即若yxfzCf引进记号.这相当于规定了 将字母 z 移到括号外 的方法。第35页/共81页实际上，确定了一个映射。yyzxxzdd它把C1中的每一个z, 通过上述运算, 映成了dz.ddd ,1yyzxxzzCz即若记这个映射为g , yyzxxzzgddd(z).ddzyyxx则第36页/共81页比较两端式子, 可看出,.dd)(zyyxxzg.ddgyyxx就是我们的映射不过是用一个我们陌生的式子yyxxdd来代替字母 g 而已.gyyxxdd即, 我们把这个映射称

16、为一阶微分算子.第37页/共81页zyyyxyxxxyyzyxyxzxxz22222222222222ddd2dddd2d .:2yxyxyx的乘积与形式上规定,222xxxx,222yyyy类似, 记第38页/共81页并规定:.2222yxyxyx,2yxabybxa.2222222axxaxa第39页/共81页22222222ddd2d zd yyzyxyxzxxz则zyyxx2ddzyyyxyxxx2222222ddd2d第40页/共81页.dd2为二阶微分算子称映射yyxx)d(ddd 2zzyyxx由于)(zgg故, 二阶微分算子实际上就是一阶微分算子 g 复合二次. 只不过这种复合

17、运算在上述规定下, 可以看作是一阶微分算子.dd的平方而已yyxx第41页/共81页一般, 若形式上规定.SLSLSSLLyxyx.)(SLSLSLSLSLSLyxbayxbyxaLLLxx第42页/共81页zyyxxzkkdd d 则zyxyxCkiikiikikiiik0ddkiikiikikikyxyxzC0ddzyyxxCkiikiik0dd第43页/共81页(1) 当 z = f (x, y)Ck 时, z 有 k 阶微分.(2) .dd 是一种运算符号kyyxx只有把它按上述规定, 展开后, 再将各项 乘以 z (即, 将 z 补写在 k 后面), 一切记号才回复到导数和微分的意义

18、.注第44页/共81页(3) .dd 阶微分算子为称kyyxxk它本质上是一个映射. 它将 Ck 中的元素 z 映成 dk z . (4) 若 x, y 不是自变量, dk z 一般不具有上述形式.第45页/共81页1 18 8方向导数第46页/共81页函数的导数就是函数的变化率.比如, y = f (x),xyxxfxxfxfxx00000lim)()(lim)(如图. ., 平均变化率即就是平均改变量是函数改变量其中xyyxoyx0 x0+xx0+xyx0y = f (x)一、方向导数的概念一、方向导数的概念第47页/共81页xoyx0 x0+xx0+xyx0y = f (x)xxfxxf

19、xfx)()(lim)(0000表示在 x0处沿 x 轴正方向的变化率.xxfxxfxfx)()(lim)(0000表示在 x0处沿 x 轴负方向的变化率.第48页/共81页又比如, z = f (x, y), 偏导数xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0000000yyxfyyxfyxfyy),(),(lim),(0000000分别表示函数在点 (x0, y0)沿 x 轴方向,沿 y 轴方向的变化率.第49页/共81页如图xoyzx0(x0, y0)y),(),(0000yxfyyxfzy),(0yxfz ),(00yyx第50页/共81页yyxfyyxfyzyyy),(),(

20、limlim,000000特别表示在 (x0, y0)处沿 y 轴正方向的变化率.表示在 (x0, y0)处沿 y 轴负方向的变化率.yyxfyyxfyzyyy),(),(limlim,000000而第51页/共81页但在许多实际问题中, 常需知道 f (X)在 X0 沿任何方向的变化率.比如, 设 f (X)表示某物体内部点 X 处的温度. 那么, 这个物体的热传导就依赖于温度沿各方向下降的速度.因此有必要引进 f (X)在 X0 沿一给定方向的方向导数.第52页/共81页把偏导数概念略加推广即可得到方向导数的概念.yxzoz = f (x, y)X0M0即 f x (x0, y0) 表示

21、y = y0 与 z = f (x, y)的交线在 M0处的切线对 x 的斜率.T11 : z = f (x, y0)1y0第53页/共81页yxzoz = f (x, y)M0X022 : z = f (x0 , y)即 f y (x0, y0) 表示 x = x0 与 z = f (x, y)的交线在 M0处的切线对 y 的斜率.x0T2第54页/共81页如图xoyzM0lX0=(x0, y0)X = (x0+x, y0+y)MN第55页/共81页设 z = f (X) = f (x, y)在点 X0 = (x0, y0)的某邻域U(x0)内有定义.以 X0 为端点引射线 l , 其单位方

22、向向量为 e = (cos, cos), 设X = (x0+x, y0+y)是 l 上另一点. xoyzM0lX0=(x0, y0)X = (x0+x, y0+y)MN定义第56页/共81页若当 X 沿 l 趋于 X0 时, 对应的函数改变量与线段X0X的长 | X0X |的比值.|)()(00的极限存在XXXfXfX = (x0+x, y0+y)xoyzM0lX0=(x0, y0)MN则称它为 z = f (X) = f (x, y)在点 X0 = (x0, y0)沿 l 的方向导数.第57页/共81页.),( ,)( 000lyxflXf记作.),( ,)( 000eyxfeXf或xoyz

23、M0lX0=(x0, y0)MNX = (x0+x, y0+y)lyxf),( 00即.22yx其中|)()(lim000XXXfXfXX沿l,),(),(lim2200000yxyxfyyxxf沿l第58页/共81页1.定义中要求点 X 只取在 l 的正向上, 且 X 沿 l 趋向于X0 . |)()(00XXXfXf的分母大于0.如图另外比值xoyX0=(x0, y0)lX = (x0+x, y0+y)yx注第59页/共81页2.若 z = f (X) = f (x, y)在 X0 = (x0, y0)处偏导存在.则在 X0 处沿 x 轴正向的方向导数,),0, 0,(xy此时lyxf),

24、(0022000000),(),(limxyxfyxxf|),(),(lim00000|xyxfyxxfxxyxfyxxfx),(),(lim00000),(00yxfx第60页/共81页在 X0 处沿 x 轴负方向的方向导数,),0, 0,(xy此时lyxf),(00200000),(),(limxyxfyxxf|),(),(lim00000|xyxfyxxfxxyxfyxxfx),(),(lim00000),(00yxfx同样可得沿 y 轴正向的方向导数为 f y (x0, y0), 而沿 y 轴负方向的方向导数为 f y (x0, y0).第61页/共81页3.定义中的极限表示式可用另一

25、形式给出.由于l的单位方向向量为e = (cos, cos ), 从而 l 的参数式方程为x = x0 + t c o sy = y0 + tcos t 0或 (x, y) = (x0, y0) + t (cos , cos ), 而 X X0 就是 t 0+.tteXXXX | | |00且即 X = X0+ te第62页/共81页从而lXf)(0tXfteXft)()(lim00这正是教材中给出的定义式.|)()(lim000XXXfXfXX沿 l第63页/共81页若 z = f (X) = f (x, y) 在点 X0 = (x0, y0) 可微, 则 z = f (X) 在 X0沿任一

26、方向e = (cos, cos)的方向导数存在. e为单位向量.且cos)(cos)()(000yXfxXfeXf)cos,(cos)(,)(00 yXfxXf= Jf (X0) e. (最后两式为数量积) 二、方向导数的计算二、方向导数的计算定理4第64页/共81页证: 如图xoyX0 = (x0, y0) eyxlX0 = (x0+x, y0+y)在射线 l 上取点X = (x0+x, y0+y) 其中, X =(x, y)因向量X = X X0 = X0 X / e , 故 X = te , (t 0), X = X0 +te , | X0 X | = | X | = t= X0 + X

27、第65页/共81页由方向导数定义|)()(lim)(0000XXXfXfeXfXXtXfteXft)()(lim000看 f (X0 + te) f (X0).沿 l第66页/共81页因 f (X)在X0可微,知 z = f (X0 + X ) f (X0)= f (x0 + x, y0 + y ) f (x0 , y0)(022yxybxa由定理1|)(|0)()(00XyyXfxxXf= Jf (X0) X + 0(| X |)第67页/共81页上式对任何x, y 都成立. 特别, 当 X = X0 + X 在射线 l 上时, 当然成立.即, 当 X0 + X = X0 + te 时, 有

28、f (X0 + te ) f (X0)= Jf (X0) ( te ) + 0(| te |)= t (Jf (X0) e + 0 ( t )除以 t 0, 并令 t 0+, 有 即 z = f (X0 + X ) f (X0) = Jf (X0) X + 0(| X |)第68页/共81页eXf)(0tXfteXft)()(lim000tteXJft)(0)(lim00= Jf (X0) e cos)(cos)(00yXfxXf第69页/共81页即, 若 u = f (x, y, z) 在点 X0 = (x0, y0 , z0) 可微, 则 u 在该点处沿任何方向e = (cos, cos

29、, cos )的方向导数存在eXf)( 0= Jf (X0) e cos)(cos)(cos)(000zXfyXfxXf且公式可推广到三元函数中去.第70页/共81页例例5.求 u = xyz 在点 X0 = (1, 1, 1)处沿从该点到点 X1 = (1, 2, 2)方向的方向导数.解:(1)先求出这个方向上的单位向量 e .向量 X0X1 = (0, 1, 1)从而与 X0X1 同向单位向量|e1010XXXX22 ,22 , 0第71页/共81页(2)求 u 在 X0 = (1, 1, 1) 处偏导数.,yzxu,xzyu.xyzu(3)由公式得方向导数1)1 , 1 , 1()1 , 1 , 1()1 , 1 , 1(zuyuxu从而22 ,22 , 0) 1 , 1 , 1 () 1 , 1 , 1 (ef