专题42：利用二项式定理求指定项-教师版

1、典型高考数学试题解读与变式2018版考点42利用二项定理求指定项一、知识储备汇总与命题规律展望1.知识储备汇总：（1）二项式定理：（a+b）n=C0an+C：an，b+C2anb2+C；an,br+C：bn；注意：展开式共有n+1项；a按降哥排列b按升哥排列，a,b哥指数之和为n；系数依次为C0,C：,C；,，C：。注意区分二项式系数与某一项的系数，二项式系数是C；（r=0,1,2，n）,而系数既包括二项式系数也包括二项式中系数和符号展出部分（2）二项展开式的通项公式：Tr4=Cnanbr（r=0,1Z，n）.（3）二项式定理系数性质：0wkwn时，C：=C；a.当n为偶数时，中间一项的二项式

2、系数最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大，最大值.各二项式系数和：d+d+C2+C=2n,C°+C2+C；+-=Cn+Cn+Cn+-=2n.2.命题规律展望：二项式定理是高考的热点和重点，主要考查利用二项式定理或通项公式计算二项式展开式或三项式或两个二项式乘积的特定项或特定项系数，难度为基础题，分值为5分.二、题型与相关高考题解读1 .求展开式中的特定项或特定系数1.1 考题展示与解读例112017山东，理11】已知（1+3x1的展开式中含有x2项的系数是54,则n=【命题意图探究】本题主要考查利用二项展开式通项公式计算已知指定项系数求二项式的指数问题，是基础题.【答案】4【

3、解析】由二项式定理的通项公式中=C：（3x）r=C：3r.X，令r=2得：C232=54,解得n=4.【解题能力要求】运算求解能力【方法技巧归纳】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步，根据给出的条件（特定项）和通项公式，建立方程来确定指数（求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n,r均为非负整数，且n>r）；第二步，根据所求的指数求解所求的项.1.21 典型考题变式】f1弋【变式1：改编条件】二项式IxJX-1展开式中的常数项为（）IX）A.10B.-10C.5D.-5【答案】B1,r15_5r1【解析】展开式的通项为Tr书=（-1）C；x2"I

4、令a（15-5r）=0得r=3,所以展开式中的常数项为3-C3=-10,故选B.n【变式2：改编结论】若'x6+'=）的展开式中含有常数项，则n的最小值等于（）x、xA.3B.4C.5D.6【解析】由题意得6（同一。一:尸=O,（r=QL工,小有解，因为冉=*y,所以当r=4时，n取最小值等于5,选配【变式3：改编问法】若nn2y+-的展开式中常数项为（yJA.8B.16C.24D.60【解析】n2_n=2.2sini0.xdx4Ji=2Iisinxcosxdx=2'-cosxsinx|2-2兀-i.,2,、_rr42r=2-cos+cos0+sinsin01=4,，y

5、+的通项公式为Tr书=C4-2yI22Jyy；令42r=0,即r=2,.二项式y+-展开式中常数项是C：22=24,故选C'<yJ2 .求三项式展开式的指定项2.1 考题展示与解读例212015高考新课标1,理10（x2+x+y）5的展开式中，x5y2的系数为（）(A) 10(B) 20(C) 30(D) 60【命题意图探究】本题主要考查利用排列组合知识计算二项式展开式某一项的系数，是基础题【答案】C【解析】在（x2+x+y）5的5个因式中，2个取因式中x2剩余的3个因式中1个取x,其余因式取y,故x5y2212的系数为C5c3c2=30,故选C.【解题能力要求】转化思想，运算求

6、解能力【方法技巧归纳】三项展开式中的特定项（系数）问题的处理方法：（1）通常将三项式转化为二项式积的形式，然后利用多项式积的展开式中的特定项（系数）问题的处理方法求解；（2）将其中某两项看成一个整体，直接利用二项式展开，然后再分类考虑特定项产生的所有可能情形.2.21 典型考题变式】【变式1：改编条件】（x-yXx+2y+z：的展开式中，x2y3z2的系数为（）A.-30B.120C.240D.420【答案】BL解析】（，+2量）+=丁展开式中含/项为点（工+2.%*X+2y户展开式中号打页的系数为之项的系数为C卜片；（,一¥）（，+刀+2展开式中1£/的系数为CCx2JC

7、x2a=480-360=120,故选B.4【变式2：改编结论】（x+y+z）的展开式共（）项A.10B.15C.20D.21【答案】B4-443o2o【斛析】因为xyz=xyzC4xyi.C4xyz+C4xyz+C：（x+y）z3+C：z4,所以再运用二项式定理展开共有5+4+3+2+1=15项，故选B.【变式3:改编问法】已知（21的展开式中各项系数的和为32,则展开式中的系数为.（用数字作答）【答案】120【解析】由题意得，令x=y=l则(2三+工一)*=2*=32,解得冷=55即(2+#y)=(2j?+x)+y展开式的通项为:=c(2，+/厂丁"令尸=2,则4=q(2/+到卞，

8、又二项式(2d+x)3的展开式中2项为C恪巧7=12人所以(2/+x-y)盟展开式中xY的系数为屐k12=120.3.两个二项式乘积展开式的指定项3.1 考题展示与解读1 .62例312017课标1,理6(1+)(1+x)展开式中X的系数为()XA.15B.20C.30D.35【命题意图探究】本题主要考查考查利用二项式定理展开式求指定项及分类整合思想，是基础题【答案】C1661662222【解析】因为(1十二)(1十X)=1-(1+x)+(1+x),则(1+x)展开式中含x的项为1C6X=15x,Xx1 A91(1+x)6展开式中含X2的项为C；x4=15x2,故X2前系数为15+15=30,

9、选C.XX【解题能力要求】运算求解能力【方法技巧归纳】几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题的处理方法：可先分别化简或展开为多项式和的形式，再分类考虑特定项产生的每一种情形，求出相应的特定项，最后进行合并即可.3.21典型考题变式】45o【变式1：改编条件】(1X)(1+x)的展开式中X3的系数为()A.4B.-4C.6D.-6【答案】B【解析】(1-xfd+x5=(C0-c4x+c2x2-c3x3+c4x4Xc0+c5x+c2x2+c3x3+c54x4+c；x5)(1-4x+6x2-4x3+x4)1+5x+10x2+10x3+5x4+x5),所以x3的项为1H0x3-4x10x2+6x2

10、M5x4x3M1=-4x3,故x3的系数为心，故选B.【变式2：改编结论(x2+3-1j的展开式的常数项是()A.-3B.-2C.2D.3【答案】C【解析】先求出(J-i)展开式中父工的系数，7；+1=q(X-2)5"(-1；=(-1/7令-10+2r=-2,r=l,所以n=5x4式的常数项是3乂(-1)+1乂5=2,选己【变式3：改编问法】已知：*【#一幻曰=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a9(x1)9,则26=()A.28B.-448C.112D.448【答案】A【解析】尺"-2)*=5-1)+1仆-1)-1巴当第一个因子取S-1)时，第二个因子取W(w-1)

11、5(1/二一56当第一个因子取1时，第二个因子取吗白-1汽-1产=2日，故a6=-56+20=-28,故选A.4.二项式系数与各项的系数问题4.1考题展示与解读例412015高考新课标2,理15(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次哥项的系数之和为32,则a=.【命题意图探究】本题主要考查利用通项公式与二项定理展开式的系数性质，是基础题【答案】29【解析】因为(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以C；=C；,解得n=10,1所以一项式(1+x)10中奇数项的二项式系数和为一M2=29.2【解题能力要求】运算求解能力【方法技巧归纳】(1)“赋值法”普遍应用于恒等式，是一种

12、处理与二项式相关问题的比较常用的方法.对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,ceR)的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x=1即可.(2)当n为偶数时，展开式中中间一项的二项式系数最大，；当n为奇数时，展开式中中间两项项的二项式系数最大.4.21典型考题变式】【变式1:改编条件】已知二项式1次+1i的展开式中各项系数和为256,则展开式中的常数项为.(用x数字作答)【答案】28t解析】,各项系数和为256,令尤=1得2=256,即仃=以该二次展开式中的第r+1项为r，1B-4?nj4*i=G（版）以=禺#.，令二得r=2,此时常数项为4=。=2跖45一.【文:式2：改编结论】

13、已知（x+2Xx1）=%+a1x+a5x,贝Ua1十a2+a3+a4十a5=.【答案】-2【解析】先令x=0,得：a0=2,再令x=1得:a0+a1+a2+a3+a4+a5=0,即2+a1+a2+a3+a4+a5=0,所以a1+a2+a3+a4+a5=-2,故填一2.627.【变式3：改编问法】已知(1+xKax)=a0+a1x+a2x十+a7x,a-R,右a0+a1+a2+a6+a7=0,贝Ua3的值为()A.35B.20C.5D.-5【答案】D6Q.【斛析】令x=1,付a0+a1+.+a7=2(a-1)，,a=1,而a3表小x的系数,_3322,二a3=C：(1)+C；(1)=5,故选D.

14、三、课本试题探源1选修修2-3P40页复习参考题A第8（2）题：求（9*+一六）18展开式的常数项.3、x【解析】Tr1.-C1r8(9x)18J(r36rCr一Ok>i8X18Mr3r2,则18匹=0,解得r=12,所以展开式的常数项为2336312cl；=18564.四.典例高考试题演练1 .【广西贺州市桂梧高中2018届第四次联考】（1-3x）7的展开式的第4项的系数为（）A.-27C；B.-81C；C.27C；D.81C；【答案】A【解析】由题意可得（13x的展开式的第4项为T3+=c71M17x（3x;=-27C7ix3,选A.2.12018届云南师范大学附属中学月考（二）】若

15、（"+（）"的展开式中常数项为登，则实数"的值为（）x16A.4B.1C.-2D.一2【答案】D【解析】的展开式通项为.-一:。:.-，令，则有，二.,即n4=,解得口一土:，故选D.16£3.【广东省深圳市南山区2018届入学摸底考】2C：6c218C3|23n,C：=()D.A22n12A.B.24n-1C.23nJ33【答案】B解析2C：+6C：+18C3+HI+2M3n,C：=？(C：父3+C；父32+|C；父3n尸32(C0m3°+Cn父3+C：乂32+|I|C：父3n_1)=2J(1+3)一112(4n-1)选B.3 3-3.o门“

16、一4 .【广西南宁二中、柳铁一中、玉林局中2018届9月联考】求（x2+2）1的展开式的常数项是（）lx）A.15B.-15C.17D.-17【答案】C【解析】'1-1的展开式的通项公式:lx）-1=-16rxr*(r=0,1,2,，6),分别令16r-6=0,r-6=-2,解得r=6,r=4.(x2+2)|1I的展开式的常数项是2X06+1x04=17,故选：C.x5.【广西桂林市柳州市2018年届综合模拟金卷1）1已知的展开式中第4项的二项式系数为20,则的展开式中的常数项为A.60B.-60C.80D.-80【答案】A【解析】由题意可得学二20,求得口二心则的展并式的通项公式为展

17、并式中的常数项为g4f,故选A.Tf+i=-flx'r,令6-=0,求得工=4,可得X-2,6 .【四川省双流中学2018届9月月考】在（x-2：展开式中，二项式系数的最大值为m,含x5项的系数为A.B.C.D.【答案】D【解析】因为n=6是偶数，所以展开式共有7项，其中中间一项的二项式系数最大，其二项式系数为一35一1n123m=C6=20时，含x5项的系数为口=146父2=12,贝U=,应选D。m205n7 .【河南省郑州市第一中学2018届入学考】若二项式，x2-2i展开式的二项式系数之和为8,则该展开X式的系数之和为（）A.-1B.1C.27D.-27【答案】A22T【解析】依

18、题意二项式系数和为2n=8,n=3.故二项式为.x2-£,令x=1,可求得系数和为Ix）31-2）=1.99.,Q8.【河南省师范大学附属中学2018届8月开学考】已知（x+2）=a0+a1x+a2x2+|H+a9x9,则2a13a35a57a79a92_(2a2+4a4+6a6+8a8)的值为()9101112A.3B.3C.3D.3【答案】D【解析】由题意得,因为%，+一两边同时取导数，可得9(x+2)a=0+2ax+3a-+9?r令4=1,得/+2+3G+9他=3玛，令x=-l,得6+3口m4j4+9/=9,又(%十3+5%+7,+9%尸(2+4<j4+6%+8%)二(e

19、+2al+狙+5G+6专+7,+8.+%)(巧一2%+及三-444-5对一6%+7%8仆+9弓)=310x9=3llf故选D.9.【山西省2018届第一次五校联考】x2.3xf1-x1=|的展开式中常数项为（）xA.-30B.30C.-25D.25【解析】1-15x的通项为T-=C5(-1),|一,xX2-3XT1-.x=x21x15415一一11+41",根据式子可知当xxr=4或r=2时有常数项，令r=4;令r=2=T3=C5(-1)!x;故所求常数项为c5-3MC；=530=25,故选C.10.【江西省新余市第一中学2018届二模】在二项式；Vx+-n'的展开式中，各项

20、系数之和为A,各项二项式系数之和为B,且A+B=72,则展开式中常数项的值为（A.6B.9C.12D.18【解析】在二项式n3-I的展开式中，令x=1得各项系数之和为4nIA=4n,二项展开式的二项式x系数和为2n二B=2n,4n+2n=72,解得n=3,x3i的展开式的通项为Tr书=C；(4)-Ix-r人33r1.=3C3x2，令=0得r=1,故展开式的常数项为T2=3C3=9,故选B.211.【湖北省襄阳四中2018届8月考】设(x2+1；(2x+1)=a0+a“x+2)+a2(x+2)2+|+a10(x+2;，则ao+a+a2+|+ao的值为.【答案】2【解析】所给的多项式中，令x=-1可得：(1+1)x(2+1)8=a0+a+a2+|l+a10,即：a0,a1a2111