最新最全导数解答题方法归纳总结

1、导数解答题归纳总结19.2021浙江文此题总分值15分函数 I假设函数的图象过原点，且在原点处的切线斜率是，求的值； II假设函数在区间上不单调，求的取值范围解析 由题意得 又 ，解得，或 函数在区间不单调，等价于 导函数在既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数 即函数在上存在零点，根据零点存在定理，有 ， 即： 整理得：，解得20.2021北京文本小题共14分设函数.假设曲线在点处与直线相切，求的值；求函数的单调区间与极值点.解析 此题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等根底知识，考查综合分析和解决问题的能力,曲线在点处与直线相切，,当时，函数在上单调递增，此时函数没有极值

2、点.当时，由，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，此时是的极大值点，是的极小值点.21.2021北京理本小题共13分设函数求曲线在点处的切线方程；求函数的单调区间；假设函数在区间内单调递增，求的取值范围.解析 此题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等根底知识，考查综合分析和解决问题的能力,曲线在点处的切线方程为.由，得， 假设，那么当时，函数单调递减，当时，函数单调递增， 假设，那么当时，函数单调递增， 当时，函数单调递减，由知，假设，那么当且仅当，即时，函数内单调递增，假设，那么当且仅当，即时，函数内单调递增，综上可知，函数内单调递增时，的取值范围是.2

3、2.(2021山东卷文)本小题总分值12分函数,其中1当满足什么条件时,取得极值?2,且在区间上单调递增,试用表示出的取值范围.解: (1)由得,令,得,要取得极值,方程必须有解,所以,即, 此时方程的根为,所以当时,x(-,x1)x 1(x1,x2)x2(x2,+)f(x)00f (x)增函数极大值减函数极小值增函数所以在x 1, x2处分别取得极大值和极小值.当时,x(-,x2)x 2(x2,x1)x1(x1,+)f(x)00f (x)减函数极小值增函数极大值减函数所以在x 1, x2处分别取得极大值和极小值.综上,当满足时, 取得极值.(2)要使在区间上单调递增,需使在上恒成立.即恒成立

4、, 所以设,令得或(舍去),当时,当时,单调增函数;当时,单调减函数,所以当时,取得最大,最大值为.所以当时,此时在区间恒成立,所以在区间上单调递增,当时最大,最大值为,所以综上,当时, ; 当时, 【命题立意】:此题为三次函数,利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值,函数在区间上为单调函数,那么导函数在该区间上的符号确定,从而转为不等式恒成立,再转为函数研究最值.运用函数与方程的思想,化归思想和分类讨论的思想解答问题.22.设函数，其中常数a1()讨论f(x)的单调性;()假设当x0时，f(x)0恒成立，求a的取值范围。解析 此题考查导数与函数的综合运用能力，涉及利用导数讨论函数的

5、单调性，第一问关键是通过分析导函数，从而确定函数的单调性，第二问是利用导数及函数的最值，由恒成立条件得出不等式条件从而求出的范围。解析 I 由知，当时，故在区间是增函数；当时，故在区间是减函数； 当时，故在区间是增函数。 综上，当时，在区间和是增函数，在区间是减函数。 II由I知，当时，在或处取得最小值。由假设知 即 解得 1a6故的取值范围是1，623.2021广东卷理本小题总分值14分二次函数的导函数的图像与直线平行，且在处取得极小值设1假设曲线上的点到点的距离的最小值为，求的值；2如何取值时，函数存在零点，并求出零点解析 1依题可设 ()，那么； 又的图像与直线平行 ， ， 设，那么 当

6、且仅当时，取得最小值，即取得最小值当时， 解得 当时， 解得 2由()，得 当时，方程有一解，函数有一零点；当时，方程有二解，假设，函数有两个零点，即；假设，函数有两个零点，即；当时，方程有一解, , 函数有一零点 综上，当时, 函数有一零点；当()，或时，函数有两个零点；当时，函数有一零点.24.2021安徽卷理本小题总分值12分 函数，讨论的单调性.本小题主要考查函数的定义域、利用导数等知识研究函数的单调性，考查分类讨论的思想方法和运算求解的能力。本小题总分值12分。解析 的定义域是(0,+),设,二次方程的判别式. 当，即时，对一切都有,此时在上是增函数。当,即时，仅对有,对其余的都有,

7、此时在上也是增函数。当，即时，方程有两个不同的实根,.+0_0+单调递增极大单调递减极小单调递增此时在上单调递增, 在是上单调递减, 在上单调递增.25.2021安徽卷文本小题总分值14分 函数，a0，讨论的单调性； 设a=3，求在区间1，上值域。期中e=2.71828是自然对数的底数。【思路】由求导可判断得单调性，同时要注意对参数的讨论，即不能漏掉，也不能重复。第二问就根据第一问中所涉及到的单调性来求函数在上的值域。解析 (1)由于令当,即时, 恒成立.在(,0)及(0,)上都是增函数.当,即时由得或或或又由得综上当时, 在上都是增函数.当时, 在上是减函数,在上都是增函数.(2)当时,由(

8、1)知在上是减函数.在上是增函数.又函数在上的值域为26.2021江西卷文本小题总分值12分设函数1对于任意实数，恒成立，求的最大值；2假设方程有且仅有一个实根，求的取值范围解析 (1) , 因为, 即 恒成立, 所以 , 得，即的最大值为 (2) 因为 当时, ;当时, ;当时, ; 所以 当时,取极大值 ; 当时,取极小值 ; 故当 或时, 方程仅有一个实根. 解得 或.27.2021江西卷理本小题总分值12分设函数(1)求函数的单调区间；(1)假设，求不等式的解集解析 (1), 由,得 .因为 当时,； 当时,； 当时,；所以的单调增区间是:； 单调减区间是: .(2)由 , 得：. 故

9、：当 时, 解集是：；当 时，解集是： ；当 时, 解集是：.28.2021天津卷文本小题总分值12分设函数当曲线处的切线斜率求函数的单调区间与极值；函数有三个互不相同的零点0，且。假设对任意的，恒成立，求m的取值范围。答案 112在和内减函数，在内增函数。函数在处取得极大值，且=函数在处取得极小值，且=解析 解析 当所以曲线处的切线斜率为1.2解析 ，令，得到因为当x变化时，的变化情况如下表：+0-0+极小值极大值在和内减函数，在内增函数。函数在处取得极大值，且=函数在处取得极小值，且=3解析 由题设， 所以方程=0由两个相异的实根，故，且，解得因为假设，而，不合题意假设那么对任意的有那么又

10、，所以函数在的最小值为0，于是对任意的，恒成立的充要条件是,解得综上，m的取值范围是【考点定位】本小题主要考查导数的几何意义，导数的运算，以及函数与方程的根的关系解不等式等根底知识，考查综合分析问题和解决问题的能力。30.(2021湖北卷理)(本小题总分值14分) 注意：在试题卷上作答无效 在R上定义运算b、c为实常数。记，.令. 如果函数在处有极什,试确定b、c的值；求曲线上斜率为c的切线与该曲线的公共点；记的最大值为.假设对任意的b、c恒成立，试示的最大值。解 当得对称轴x=b位于区间之外 此时由 假设于是假设，那么，于是综上，对任意的b、c都有而当，时，在区间上的最大值 故对任意的b，c

11、恒成立的k的最大值为 31.2021四川卷文本小题总分值12分函数的图象在与轴交点处的切线方程是。I求函数的解析式；II设函数，假设的极值存在，求实数的取值范围以及函数取得极值时对应的自变量的值.解析 I由,切点为(2,0),故有,即又，由得联立，解得.所以函数的解析式为 4分II因为令当函数有极值时，那么，方程有实数解，由，得.当时，有实数，在左右两侧均有，故函数无极值当时，有两个实数根情况如下表：+0-0+极大值极小值所以在时，函数有极值；当时，有极大值；当时，有极小值； 12分32.2021全国卷理(本小题总分值12分)设函数有两个极值点，且I求的取值范围，并讨论的单调性；II证明：解:

12、 I 令，其对称轴为。由题意知是方程的两个均大于的不相等的实根，其充要条件为，得当时，在内为增函数；当时，在内为减函数；当时，在内为增函数；II由I，设，那么当时，在单调递增；当时，在单调递减。故 333.2021湖南卷文本小题总分值13分函数的导函数的图象关于直线x=2对称.求b的值；假设在处取得最小值，记此极小值为，求的定义域和值域。解: .因为函数的图象关于直线x=2对称，所以，于是 由知，.当c 12时，此时无极值。 ii当c12时，有两个互异实根,.不妨设，那么2.当x时， 在区间内为增函数； 当x时，在区间内为减函数;当时，在区间内为增函数. 所以在处取极大值，在处取极小值.因此，

13、当且仅当时，函数在处存在唯一极小值，所以.于是的定义域为.由 得.于是 .当时，所以函数在区间内是减函数，故的值域为 35.2021福建卷理本小题总分值14分函数,且 (1) 试用含的代数式表示b,并求的单调区间；2令,设函数在处取得极值，记点M (,)，N(,)，P(), ,请仔细观察曲线在点P处的切线与线段MP的位置变化趋势，并解释以下问题：I假设对任意的m (, x)，线段MP与曲线f(x)均有异于M,P的公共点，试确定t的最小值，并证明你的结论；II假设存在点Q(n ,f(n), x n1时, 当x变化时，与的变化情况如下表：x+单调递增单调递减单调递增由此得，函数的单调增区间为和，单

14、调减区间为。当时，此时有恒成立，且仅在处，故函数的单调增区间为R当时，同理可得，函数的单调增区间为和，单调减区间为综上：当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为；当时，函数的单调增区间为R；当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为.()由得令得由1得增区间为和，单调减区间为，所以函数在处取得极值，故MN。观察的图象，有如下现象：当m从-1不含-1变化到3时，线段MP的斜率与曲线在点P处切线的斜率之差Kmp-的值由正连续变为负。线段MP与曲线是否有异于H，P的公共点与Kmp的m正负有着密切的关联；Kmp=0对应的位置可能是临界点，故推测：满足Kmp的m就是所求的t最小值，下面给出证明并确定的t最

15、小值.曲线在点处的切线斜率；线段MP的斜率Kmp当Kmp=0时，解得直线MP的方程为令当时，在上只有一个零点，可判断函数在上单调递增，在上单调递减，又，所以在上没有零点，即线段MP与曲线没有异于M，P的公共点。当时，.所以存在使得即当MP与曲线有异于M,P的公共点综上，t的最小值为2.2类似1于中的观察，可得m的取值范围为解法二：1同解法一.2由得，令，得由1得的单调增区间为和，单调减区间为，所以函数在处取得极值。故M().N() () 直线MP的方程为由得线段MP与曲线有异于M,P的公共点等价于上述方程在(1,m)上有根,即函数上有零点.因为函数为三次函数,所以至多有三个零点,两个极值点.又

16、.因此, 在上有零点等价于在内恰有一个极大值点和一个极小值点,即内有两不相等的实数根.等价于 即又因为,所以m 的取值范围为(2,3)从而满足题设条件的r的最小值为2.36.2021辽宁卷文本小题总分值12分设，且曲线yfx在x1处的切线与x轴平行。(2)求a的值，并讨论fx的单调性；(1)证明：当解析 .有条件知，故. 2分 于是.故当时，0；当时，0.从而在，单调减少，在单调增加. 6分由知在单调增加，故在的最大值为，最小值为.从而对任意，有. 10分 而当时，. 从而 12分37.2021辽宁卷理本小题总分值12分函数f(x)=xax+(a1)，。1讨论函数的单调性；2证明：假设，那么对

17、任意x，x，xx，有。解析 (1)的定义域为。2分i假设即,那么故在单调增加。(ii)假设,而,故,那么当时，;当及时，故在单调减少，在单调增加。(iii)假设,即,同理可得在单调减少，在单调增加.(II)考虑函数 那么由于1a1,证明对任意的c,都有M2: ()假设MK对任意的b、c恒成立，试求k的最大值。本小题主要考察函数、函数的导数和不等式等根底知识，考察综合运用数学知识进行推理论证的能力和份额类讨论的思想总分值14分I解析 ，由在处有极值可得解得或假设，那么，此时没有极值；假设，那么当变化时，的变化情况如下表：10+0极小值极大值当时，有极大值，故，即为所求。证法1：当时，函数的对称轴

18、位于区间之外。在上的最值在两端点处取得故应是和中较大的一个即证法2反证法：因为，所以函数的对称轴位于区间之外，在上的最值在两端点处取得。故应是和中较大的一个假设，那么将上述两式相加得：，导致矛盾，解法1：1当时，由可知；2当时，函数的对称轴位于区间内，此时由有假设那么，于是假设，那么于是综上，对任意的、都有而当时，在区间上的最大值故对任意的、恒成立的的最大值为。 解法2：1当时，由可知；2当时，函数的对称轴位于区间内，此时，即下同解法143.2021宁夏海南卷文本小题总分值12分函数.设，求函数的极值；假设，且当时，12a恒成立，试确定的取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，

19、如果多做，那么按所做的第一题计分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。21解析 当a=1时，对函数求导数，得 令 列表讨论的变化情况：-1，33+00+极大值6极小值-26所以，的极大值是，极小值是的图像是一条开口向上的抛物线，关于x=a对称.假设上是增函数，从而上的最小值是最大值是由于是有由所以假设a1,那么不恒成立.所以使恒成立的a的取值范围是44.2021天津卷理本小题总分值12分 函数其中(1)当时，求曲线处的切线的斜率；(2)当时，求函数的单调区间与极值。本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等根底知识，考查运算能力及分类讨论的思想方

20、法。总分值12分。I解析 II以下分两种情况讨论。1，那么.当变化时，的变化情况如下表：+00+极大值极小值2，那么，当变化时，的变化情况如下表：+00+极大值极小值45.2021四川卷理本小题总分值12分函数。I求函数的定义域，并判断的单调性；II假设III当为自然对数的底数时，设，假设函数的极值存在，求实数的取值范围以及函数的极值。本小题主要考查函数、数列的极限、导数应用等根底知识、考查分类整合思想、推理和运算能力。解析 由题意知当当当.4分因为由函数定义域知0,因为n是正整数，故0a1.所以令当m=0时，有实根，在点左右两侧均有故无极值当时，有两个实根当x变化时，、的变化情况如下表所示：+0-0+极大值极小值的极大值为，的极小值为当时，在定义域内有一个实根， 同上可得的极大值为综上所述，时，函数有极值；当时的极大值为，的极小值为当时，的极大值为46.2021福建卷文本小题总分值12分函数且I试用含的代数式表示；求的单调区间；令，设函数在处取得极值，记点，证明：线段与曲线存在异于、的公共点；解法一：I依题意，得由得由I得 故 令，那么或 当时， 当变化时，与的变化情况如下表：+单调递增单调递减单调递增由此得，函数的单调增区间为和，单调减区间为由时，此时，恒成立，且仅在处，故函数的单调区间为R当时，同理可得函数的单调增区间为和，单调减区间