解析函数的级数表示PPT学习教案

1、会计学1解析函数的级数表示解析函数的级数表示2nnn211sn=a1+a2+.+an 称为级数的称为级数的部分和部分和. 部分和数列部分和数列sn收敛收敛.1nn收敛收敛limnnss 存存在在, , 1nn=1.s且且第1页/共62页311nnnnnaib1nna与与1nnb. 0lim, 0lim, 0lim0lim111nnnnnnnnnnnnnnbaba收敛的必要条件是从而推出复数项级数立即可得和收敛的必要条件和而由实数项级数 2收敛收敛收敛收敛 3第2页/共62页4成立且不等式也收敛则收敛如果1111|,|nnnnnnnn.,|11条件收敛级数称为非绝对收敛的收敛级数绝对收敛则称级数

2、收敛如果nnnn 4第3页/共62页51|nn例例1 下列下列数列数列是否收敛是否收敛? 如果收敛如果收敛, 求出其极限求出其极限.11)1;innen第4页/共62页61111cossin111cos,1sin.lim1,lim0innnnnnnneinnnnabnnnnab11lim1innnen收收,且,且有有第5页/共62页72)cos.nnin因此因此, 当当n时时, n. 所以所以 n发散发散.解解2111133 12222nnnSii1limlim3 132nnnnSii133 .2nnii132nni例例2 级数级数 是否收敛？是否收敛？第6页/共62页8例例3 下列级数是否收

3、敛下列级数是否收敛? 是否绝对收敛是否绝对收敛?111)1;ninn解解 因因 发散发散 ; 收敛收敛,111nnnan2111nnnbn故原级数发散故原级数发散.0(8 )2);!nnin 由正项级数的比值审敛法知由正项级数的比值审敛法知 (8 )8,!nninn18!nnn解解故原级数收敛故原级数收敛, 且为绝对收敛且为绝对收敛.收敛收敛,第7页/共62页91( 1)nnn112nn1( 1)nnn1( 1)13)2nnnin收敛收敛;解解也收敛也收敛,故原级数收敛故原级数收敛.练习：讨论练习：讨论 的收敛性。的收敛性。1nnin第8页/共62页10) 1 . 2 . 4()()()()(

4、211zfzfzfzfnnn2 幂级数幂级数sn(z)=f1(z)+f2(z)+.+fn(z)称为级数的称为级数的部分和部分和.第9页/共62页11)()(lim00zszsnn1( )nnfzs(z)称为级数称为级数 的的和函数和函数第10页/共62页122012020120()()()()(4.2.2)(4.2.3)nnnnnnnnnnczacc zac zaczac zcc zc zc z或或0nnnc如果令如果令z a= , 则则(4.2.2)成为成为 , 这是这是(4.2.3)的形式的形式, 为了方便为了方便, 今后常就今后常就(4.2.3)讨论讨论.第11页/共62页13.,|,|

5、,)0(00000级数必发散的则对满足级数发散如果在级数必绝对收敛的则对满足收敛在如果级数zzzzzzzzzzzcnnnyz0 xO第12页/共62页14nnnnnnnnnnnnnnMqzzzczcqzzzzMzcnMzczc00000000|, 1|,|, 0lim,而则如果有使对所有的则存在则收敛因第13页/共62页15.|,1|000000是绝对收敛的从而级数亦收敛因此故收敛的等比级数为公比小于由于nnnnnnnnnnnnnnnnzcMqzcMqMqzzzczc第14页/共62页16发散因此只能是矛盾与所设收敛前面的结论可导出则根据反而收敛设级数用反证法且如果发散如果级数0000000.

6、,|,nnnnnnnnnnnnzczczczzzc第15页/共62页172. 收敛圆和收敛半径收敛圆和收敛半径幂级数的收敛情况不外乎三种幂级数的收敛情况不外乎三种:i)对所有的正实数都是收敛的对所有的正实数都是收敛的. 这时这时, 根据阿贝尔根据阿贝尔 定理可知级数在复平面内处处绝对收敛定理可知级数在复平面内处处绝对收敛.ii) 对所有的正实数除对所有的正实数除z=0外都是发散的外都是发散的. 这时这时, 级级 数在复平面内除原点外处处发散数在复平面内除原点外处处发散.显然显然b.b.第16页/共62页18RCRO b bC Cb bxy红蓝两色的分界圆周红蓝两色的分界圆周CR称为幂级数的称为

7、幂级数的收敛圆收敛圆.第17页/共62页19 在收敛圆外部在收敛圆外部, 级数发散级数发散. 收敛圆内部收敛圆内部, 级数绝对收敛级数绝对收敛. 收敛圆的半径收敛圆的半径R 称为称为收敛半径收敛半径.0nnnc z 所以幂级数所以幂级数 的收敛范围是以的收敛范围是以原点为中原点为中心的圆域心的圆域.0()nnncza 对幂级数对幂级数 来说来说, 收敛范围收敛范围是以是以z=a为中心的圆域为中心的圆域. 在收敛圆上敛散不定在收敛圆上敛散不定.第18页/共62页20（1）比值法比值法：如果：如果 1lim0nnncc则收敛半径则收敛半径 .1R111| |limlim| | | |nnnnnnn

8、nczczzczc1.R0|nnncz考考虑虑0nnnc z对对，说明说明1| 1zz1| 1zz第19页/共62页21lim |0nnnc1.R则收敛半径则收敛半径 （2）根值法：根值法：如果如果 1) 31nnzn( (并讨论在收敛圆周上的情形并讨论在收敛圆周上的情形);); 2) 1(1)nnzn( (并讨论并讨论 z=0,2 时的情形时的情形) ); 3) 0(cos)nnin z 第20页/共62页22 解解 1) 因为因为31limlim12nnnncncn, 或或 3311lim |limlim1nnnnnnncnn 所以收敛半径所以收敛半径 R=1, 也就是原级数在圆也就是原级

9、数在圆|z|=1 内收敛内收敛, , 在圆周外发散在圆周外发散. . 在圆周在圆周|z|=1上上, , 级数级数33111nnnznn是收敛的是收敛的, , 因为这是因为这是一个一个 p 级数级数, p=31, 所以原级数在收敛圆所以原级数在收敛圆上是处处收敛的上是处处收敛的. . 第21页/共62页232) 1(1)nnzn, 1limlim11nnnncncn, 即即 R=1. 在收敛圆在收敛圆|z1|=1 上上, , 当当 z=0 时时, , 原级数成原级数成为为11( 1)nnn, 级数收敛级数收敛; ; 当当 z=2 时时, , 原级数原级数成为成为11nn, 发散发散. . 这个例

10、子表明这个例子表明, , 在收敛在收敛圆周上即有级数的收敛点圆周上即有级数的收敛点, ,也有级数的发也有级数的发散点散点. . 第22页/共62页243) 因为因为 1cosch()2nnncinnee, 所以所以 111limlimnnnnnnnnceeecee 故收敛半径故收敛半径 1Re. 第23页/共62页25nnnzzzz201) 1( ,1112zzzzzzsnnn的收敛范围与和函数的收敛范围与和函数.第24页/共62页26nnnnnnnnnnnzzzzzznzzzzzszzzzzzzzs212111, 1|.,1|,11,1|,11lim, 0lim,1|) 1( ,111并有在

11、此范围内绝对收敛收敛范围为级数发散不趋于零时由于时当和函数为收敛时级数即从而有由于时当第25页/共62页272010,)(,)(rRzbzgrRzazfnnnnnn4. 幂级数的运算和性质幂级数的运算和性质第26页/共62页28),min(.|)()()(,|,)()()(210011000000rrRRzzbababazbzazgzfRzzbazbzazgzfnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn第27页/共62页29.)()(,|,| )(|)(|,)(,|00nnnnnnzgazgfRzrzgzgRzzazfrz时则当解析且满足内又设在时如果当第28页/共62页30例例 3 把函数把

12、函数bz 1表成形如表成形如0()nnnc za的的幂级幂级数数, , 其中其中 a 与与 b 是不相等的复常数是不相等的复常数. 解解 把函数把函数bz 1写成如下形式写成如下形式: nnabazabazabazababazababazbz)()()()()()(1111)()(11322 收敛半径为收敛半径为 R=|ba|. 第29页/共62页31Oxyab当|za|ba|=R时级数收敛第30页/共62页32定理定理 设幂级数设幂级数0()nnnc za的收敛半径的收敛半径为为 R,则则 1)它的和函数它的和函数0( )()nnnf zc za是收敛圆是收敛圆|za|R 内的解析函数内的解

13、析函数. 2) f(z)在收敛圆内的导数可将其幂函数逐项在收敛圆内的导数可将其幂函数逐项求导得到求导得到, , 即即11( )().nnnf znc za 第31页/共62页33 010)(1d)(|,d)(d)(nnnzanCnnCazncfRazCzazczzf或第32页/共62页341. 1. 解析函数的解析函数的TaylorTaylor展开展开定理定理(Taylor)(Taylor)：内内解解析析，在在区区域域设设函函数数Dzf)(数数：内内可可展展开开成成唯唯一一的的幂幂级级在在则则Czf)(00)()(nnnzzCzf级数级数的的在在称为称为Taylor0zzf)(级数级数时称为时

14、称为Maclaurin00z其中其中!)()()(210)(10nzfdzzzzfiCnCnn), 2 , 1 , 0(n.,DzzCDz003 泰勒级数泰勒级数第33页/共62页35证明：（见图）证明：（见图）z0zcD,0zzzCdzfizf)(21)(第34页/共62页36)(1100zzzz0001)(1zzzz00001nnzzzz100zzz Cnnndzzzfi0100)()(21Cdzfizf)(21)()(max,)()(0100fMzzMzzzfCnnn第35页/共62页371000zzzzMnn收敛，收敛，.)()(0100内闭一致收敛在关于Czzzfnnn逐项积分：逐项

15、积分：0010)()()(21)(nnCnzzdzfizf000)(nnnzzzzC，).,(!)()()()(无关无关与与znzfdzzzzfiCnCnn01021第36页/共62页38得得任任意意性性知知，）由由2圆周的半径可以任意增大圆周的半径可以任意增大, 只要含在只要含在D内内. 注注:1) 泰勒展开式是唯一的泰勒展开式是唯一的;z0zcD第37页/共62页39Oxyz0这是因为这是因为f(z)在收敛圆内解析在收敛圆内解析, 故奇点故奇点a不可不可能在收敛圆内能在收敛圆内. 又因为奇点又因为奇点a不可能在收敛圆不可能在收敛圆外外, 不然收敛半径还可以扩大不然收敛半径还可以扩大, 因此

16、奇点因此奇点a只只能在收敛圆周上能在收敛圆周上.第38页/共62页40推论推论1 1：解析解析在在函数函数0zzf)(的幂级数的幂级数的某邻域内可展开为的某邻域内可展开为在在00zzzzf)(解解析析在在区区域域函函数数Dzf)(的幂级数的幂级数内任一点处可展开为内任一点处可展开为在在0zzDzf)(推论推论2 2：解解析析，在在区区域域设设函函数数Dzf)(),(,DzdistRDz00的的幂幂级级数数内内可可展展开开为为在在则则00zRzzzf)(推论推论3 3：幂级数的和函数在其收敛圆周上幂级数的和函数在其收敛圆周上至少有一个奇点至少有一个奇点(即使幂级数在其收敛圆周即使幂级数在其收敛圆

17、周上处处收敛上处处收敛 ). . 第39页/共62页41例如：例如：,)(0261nnnzCzzzf ; 2R则则其其收收敛敛半半径径 ,)()(0261nnnizCzzzf 5R则其收敛半径则其收敛半径第40页/共62页422. 2. 解析函数展开为解析函数展开为TaylorTaylor级数的方法级数的方法!)(0)(nzfCnn), 2 , 1 , 0(n间接法：利用函数的各种特殊性以及幂间接法：利用函数的各种特殊性以及幂级数的运算与性质级数的运算与性质 主要有：主要有：(1)(1)利用几何级数利用几何级数(2)(2)利用已知的级数；利用已知的级数；(3)(3)逐项求导、逐项积分；逐项求导

18、、逐项积分；(4)(4)待定系数法待定系数法直接法直接法:直接计算直接计算第41页/共62页43例 1 把函数2)1 (1z展开成 z 的幂级数. 解 由于函数2)1 (1z有一奇点z1, 而在|z|1内处处解析, 所以可在|z|1 内展开成 z 的幂级数. 因为 .| ,)(111112zzzzznn 将上式两边求导并同乘（-1）得 . 1| ,) 1(321)1 (11122znzzzznn 第42页/共62页44例例2 2 .)()(展展开开式式的的在在求求Taylor112iazzzfiaiaR,minizizizf112)(iaaziaazi112iaaziaiaaziai1)(11

19、)(1200) 1()(1) 1()(12nnnnnniaaziaiaaziai011)()(1)(1) 1(2nnnnnaziaiai解解: :.Raz第43页/共62页451OR=1xy解解 ln(1+z)在从在从-1向左沿负实轴剪开的平面向左沿负实轴剪开的平面内是解析的内是解析的, -1是它的奇点是它的奇点, 所以可在所以可在|z|1展展开为开为z的幂级数的幂级数.第44页/共62页46.|)()ln(,d)(ddd,)( )ln(111321111111113200000znzzzzzzzzzzzzzzznnznnzzznnn即即逐项积分得逐项积分得因为因为01111lnnnnnzz第

20、45页/共62页47242211( 1)1nnxxxx 的成立必须受的成立必须受|x|1的限制的限制, , 这一点往往使这一点往往使人难以理解人难以理解, , 因为上式左端的函数对任何因为上式左端的函数对任何实数都是确定的而且是可导的实数都是确定的而且是可导的. .第46页/共62页48211z它有两个奇点它有两个奇点 i, 而这两个奇点都在此函数而这两个奇点都在此函数的展开式的展开式 1 z2+z4 的收敛圆周上的收敛圆周上, , 所以这个级数的收敛半径所以这个级数的收敛半径只能等于只能等于1. 1. 因此因此, , 即使我们只关心即使我们只关心z的实的实数值数值, , 但复平面上的奇点形成

21、了限制但复平面上的奇点形成了限制. .第47页/共62页494 洛朗级数洛朗级数一一个以个以z0为中心的圆域为中心的圆域内解析的函数内解析的函数f(z),中心的圆环域内的解析函中心的圆环域内的解析函数的级数表示法数的级数表示法.第48页/共62页50,)()()()()(nnnnnnnzzczzcczzczzczzc001010100)(.)()()()()()()(负幂项部分负幂项部分正幂项部分正幂项部分nnnnnnnnnnzzczzczzczzczzcczzc010110001000可将其分为两部分考虑可将其分为两部分考虑第49页/共62页51 正幂项是一幂级数正幂项是一幂级数, 设它的收

22、敛半径为设它的收敛半径为R2, 对负幂项对负幂项, 如果令如果令 =(z z0) 1, 就得到就得到这是这是 的幂级数的幂级数, 设收敛半径为设收敛半径为R, 令令R1=1/R, 则当则当| |R1时时, 负幂项收敛。负幂项收敛。因此因此, 只有在只有在R1|z z0|R2的圆环域的圆环域, 原级原级数才收敛数才收敛. ,)(221110ccczzcnnnnnn第50页/共62页52例如：例如： 双边幂级数双边幂级数nnnzzzzzz22211112220121nnnnzz内内收收敛敛，在在111zznn 内收敛，内收敛，在在220zznn.21内内收收敛敛双双边边幂幂级级数数在在圆圆环环域域

23、z第51页/共62页53 幂级数在收敛圆内的许多性质幂级数在收敛圆内的许多性质,双边幂双边幂级数在收敛圆环域内也具有级数在收敛圆环域内也具有. 例如例如, 可以证明可以证明,双边幂双边幂级数在收敛域内其和函数是解析的级数在收敛域内其和函数是解析的, 而且可以逐项求积和逐项求导而且可以逐项求积和逐项求导. 现在反问现在反问, 在圆环域内解析的函数是否在圆环域内解析的函数是否一定能够展开成级数一定能够展开成级数?第52页/共62页5421( )01,(1)0 | 10 |1| 1.0 | 11111( )1.(1)1,( )0 | 1.nf zzzzzzzzf zzzzzzzzzf zz 函数在及

24、都不解析 但在圆环域及内都是解析的先研究的情形:由此可见在内是可以展开为z的幂级数其次,在圆环域:0|z1|1内也可以展开为z-1的幂级数:2121111( )(1)11 (1)11 (1)(1)(1)1(1)1 (1)(1)(1)nnf zzzzzzzzzzzzz 1Oxy第53页/共62页55定理定理 设设 f (z)在圆环域在圆环域R1|z z0|R2内解析内解析, 则则), 2, 1, 0(.d)()(21)()(100nzficzzczfCnnnnn其中C为在圆环域内绕为在圆环域内绕z0的任何一条正向简单闭的任何一条正向简单闭曲线曲线.第54页/共62页56注注1 1：nnnzzCz

25、f)()(000)(nnnzzC10)(nnnzzC)()(zz)(0Rzzr内内解解析析；：解解析析部部分分，在在Rzzz0)(内内解解析析。，在在：奇奇异异部部分分或或主主要要部部分分rzzz0)(注：注：;!)()(nzfCnnn0Laurent0系数系数时，时，第55页/共62页57 注注3：Taylor级数是级数是Laurent级数的特殊情形级数的特殊情形内内解解析析时时，在在当当Rzzzf0)();1(0)(2110ndzzzzfiCCnnCnndzzzzfiC10)()(21), 2 , 1 , 0(!)(0)(nnzfn注注4：同一函数在不同区域内的展开式不同；：同一函数在不同区域内的展开式不同；注注5：CdzzfiC)(21112)(CidzzfC（即可利用（即可利用Laurent系数计算积分）系数计算积分）第56页/共62页58解：解： 函数函数 f (z) 在圆环域在圆环域 i) 0 |z| 1; ii)