三节隐函数和参数方程学习教案

1、会计学1三节隐函数和参数方程三节隐函数和参数方程第一页，编辑于星期一：八点 二十二分。一、隐函数的导数一、隐函数的导数31xy若由方程0),(yxF可确定 y 是 x 的函数 ,由)(xfy 表示的函数 , 称为显函数显函数 .例如例如,013 yx可确定显函数03275xxyy可确定 y 是 x 的函数 ,但此隐函数不能显化 .函数为隐函数隐函数 .则称此隐函数求导方法求导方法: 0),(yxF0),(ddyxFx两边对 x 求导(含导数 的方程)y第1页/共16页第二页，编辑于星期一：八点 二十二分。1yyxe dydx例1 求由方程确定的隐函数的导数。解 1yyxe x将两端对 求导数：

2、 (1)yyxe0()yyxeyyyexe y , 1yyeyxe 故 对 求导时，得把y看成是x的函数，因此有yxex yy注：求导后得到一个关于 的方程，解此方程则得的表达式，在此表达式中允许含有。第2页/共16页第三页，编辑于星期一：八点 二十二分。332yxxy(1,1)例2 求曲线上点处的切线方程。解 方程两端对x求导数，得 223 322y yxyxy解出 y，得 22223 (320)32yxyyxyx(1,1)|1y 则所求切线方程为 1( 1)(1)yx 即20 xy第3页/共16页第四页，编辑于星期一：八点 二十二分。MathematicaDSolve( , )0F x y

3、 求隐函数的导数是由求导和解方程两个步骤组成.因而，在 中可使用 语句，和求由方程所确定的隐函数的导数。 2244xydydx例3 求由方程所确定的隐函数的导数。解 方程两边求导，得从求导结果中解出隐函数的导数：第4页/共16页第五页，编辑于星期一：八点 二十二分。 或者将两个步骤合并为注意 在 中 意义是 一样的，都表示函数 的一阶导数。第5页/共16页第六页，编辑于星期一：八点 二十二分。例4 求方程所确定的隐函数的导数。解 即 第6页/共16页第七页，编辑于星期一：八点 二十二分。 1) 对幂指函数vuy 可用对数求导法求导 :uvylnlnyy1uv lnuvu)ln(uvuuvuyv

4、vuuyvlnuuvv1说明说明: :按指数函数求导公式按幂函数求导公式注意注意:第7页/共16页第八页，编辑于星期一：八点 二十二分。2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 .例如例如,)1,0,0(babaaxxbbaybax两边取对数yln两边对 x 求导yybalnxaxb baxaxxbbaybalnxaxbbaxlnlnlnxbalnlnaxb第8页/共16页第九页，编辑于星期一：八点 二十二分。又如又如, )4)(3()2)(1(xxxxyuuu )ln(21lny对 x 求导21yy)4)(3()2)(1(21xxxxy41312111xxxx两边取对数2ln1lnxx4ln3

5、lnxx11x21x31x41x第9页/共16页第十页，编辑于星期一：八点 二十二分。二、参数方程所确定的函数的导数二、参数方程所确定的函数的导数若参数方程)()(tytx可确定一个 y 与 x 之间的函数)(, )(tt可导, 且,0 )( )(22tt则0)( t时, 有xyddxttyddddtxtydd1dd)()(tt0)( t时, 有yxddyttxddddtytxdd1dd)()(tt(此时看成 x 是 y 的函数 )关系,第10页/共16页第十一页，编辑于星期一：八点 二十二分。( sin )cos/cos( cos )sindydy dxatattdxdtdtatat 例5

6、已知圆的参数方程为求解 参数方程所确定的函数的求导步骤是：先求和的导数，再求它们的商。因而，利用求参数方程所确定的函数的导数可以用Dy , t/ Dx , t第11页/共16页第十二页，编辑于星期一：八点 二十二分。例6 求参数方程所确定的函数的导数。解 9Out14t例7 求参数方程 导数。 解 第12页/共16页第十三页，编辑于星期一：八点 二十二分。例8 求参数方程的导数。解 可以用所确定函数的图形。 命令绘制参数方程第13页/共16页第十四页，编辑于星期一：八点 二十二分。内容小结内容小结1. 隐函数求导法则2. 对数求导法 :3. 参数方程求导法极坐标方程求导转化转化适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数直接对方程两边求导4. 用Mathematica求两种函数的导数。课后练习课后练习P54P54 第14页/共16页第十五页，编辑于星期一：八点 二十二分。Mathematica( )yy xdydx3利用求由下列方程所确定