人教数学必修二空间几何体的表面积和体积学习教案

1、会计学1人教数学必修二空间几何体的表面积和体人教数学必修二空间几何体的表面积和体积积第一页，编辑于星期一：十二点 五十四分。 1 1、表面积：几何体表面的面积、表面积：几何体表面的面积 2 2、体积：几何体所占空间的大小、体积：几何体所占空间的大小。第1页/共82页第二页，编辑于星期一：十二点 五十四分。第2页/共82页第三页，编辑于星期一：十二点 五十四分。第3页/共82页第四页，编辑于星期一：十二点 五十四分。2.2.几何体的表面积几何体的表面积 （1 1）棱柱、棱锥、棱台的表面积就是）棱柱、棱锥、棱台的表面积就是 . . （2 2）圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是）圆柱、圆锥、圆台的侧

2、面展开图分别是 、 、 ；它们的表面积等于；它们的表面积等于 . .各面面积各面面积之和之和矩矩形形扇形扇形扇环形扇环形侧面积侧面积与底面面积之和与底面面积之和第4页/共82页第五页，编辑于星期一：十二点 五十四分。回忆复习有关概念回忆复习有关概念1、直棱柱：、直棱柱：2、正棱柱：、正棱柱：3、正棱锥：、正棱锥：4、正棱台：、正棱台：侧棱和底面侧棱和底面垂直垂直的棱柱叫直棱柱的棱柱叫直棱柱底面是正多边形的底面是正多边形的直直棱柱叫正棱柱棱柱叫正棱柱底面是正多边形，底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心顶点在底面的射影是底面中心的棱锥的棱锥正棱锥正棱锥被平行于底面的平面所截，被平行于底面的平

3、面所截，截面和底面之间的部分叫正棱台截面和底面之间的部分叫正棱台第5页/共82页第六页，编辑于星期一：十二点 五十四分。作直三棱柱、正三棱锥、正三棱台各一个，找出作直三棱柱、正三棱锥、正三棱台各一个，找出斜高斜高CBAA1B1C1COBAPD斜高的概念第6页/共82页第七页，编辑于星期一：十二点 五十四分。2、分别作出一个圆柱、圆锥、圆台，并找出旋转轴、分别作出一个圆柱、圆锥、圆台，并找出旋转轴分别经过旋转轴作一个平面，观察得到的轴截面是分别经过旋转轴作一个平面，观察得到的轴截面是 什么形状的图形什么形状的图形.ABCDABCABCD第7页/共82页第八页，编辑于星期一：十二点 五十四分。ch

4、2rl知识点一：柱、锥、台、球的表面积与侧面积知识点一：柱、锥、台、球的表面积与侧面积(1)柱体的侧面积第8页/共82页第九页，编辑于星期一：十二点 五十四分。把直三棱柱侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？侧面积怎么求？chhcbaS )（直直棱棱拄拄侧侧habcabchh第9页/共82页第十页，编辑于星期一：十二点 五十四分。棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？h正棱柱的侧面展开图正棱柱的侧面展开图底侧表面积SSS2第10页/共82页第十一页，编辑于星期一：十二点 五十四分。思考：把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线思考：把圆柱、圆锥、圆

5、台的侧面分别沿着一条母线 展开，分别得到什么图形展开，分别得到什么图形?展开的图形与原图展开的图形与原图 有什么关系？有什么关系？rlr2 长长宽宽llSSr2 长长方方形形圆圆柱柱侧侧 第11页/共82页第十二页，编辑于星期一：十二点 五十四分。圆柱的侧面展开图是矩形圆柱的侧面展开图是矩形2222()Srrlr rlOOrl2 r 底侧表面积SSS2第12页/共82页第十三页，编辑于星期一：十二点 五十四分。12chrl(2)锥体的侧面积锥体的侧面积第13页/共82页第十四页，编辑于星期一：十二点 五十四分。把正三棱锥侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？侧面积怎么求？hh21chS正棱锥侧正棱

6、锥侧第14页/共82页第十五页，编辑于星期一：十二点 五十四分。棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？/h/h正三棱锥的侧面展开图正三棱锥的侧面展开图第15页/共82页第十六页，编辑于星期一：十二点 五十四分。侧面展开正五棱锥的侧面展开图正五棱锥的侧面展开图底侧表面积SSS第16页/共82页第十七页，编辑于星期一：十二点 五十四分。思考：把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线思考：把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线 展开，分别得到什么图形展开，分别得到什么图形?展开的图形与原图展开的图形与原图 有什么关系？有什么关系？rl180lnl

7、扇扇lR 扇扇rllllnSS 扇扇扇扇圆圆锥锥侧侧213602第17页/共82页第十八页，编辑于星期一：十二点 五十四分。圆锥的侧面展开图是扇形圆锥的侧面展开图是扇形r2lOr2()Srrlr rl第18页/共82页第十九页，编辑于星期一：十二点 五十四分。12(cc)hl(rr)(3)台体的侧面积台体的侧面积注注：表面积侧面积底面积：表面积侧面积底面积第19页/共82页第二十页，编辑于星期一：十二点 五十四分。把正三棱台侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？侧面积怎么求？（类比梯形的面积）（类比梯形的面积）hh) 21hccS （正正棱棱台台侧侧第20页/共82页第二十一页，编辑于星期一：十二

8、点 五十四分。侧面展开hh正四棱台的侧面展开图正四棱台的侧面展开图棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？下底上底侧表面积SSSS第21页/共82页第二十二页，编辑于星期一：十二点 五十四分。 参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧面展参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧面展开图是什么开图是什么 r2lOrO r2 r圆台的侧面展开图是圆台的侧面展开图是扇环扇环22()Srrr lrl 第22页/共82页第二十三页，编辑于星期一：十二点 五十四分。思考：把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线思考：把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母

9、线 展开，分别得到什么图形展开，分别得到什么图形?展开的图形与原图展开的图形与原图 有什么关系？有什么关系？1r2rllrrSS)21 （扇环扇环圆台侧圆台侧 第23页/共82页第二十四页，编辑于星期一：十二点 五十四分。r2lOrO r2 r22()Srrr lrl xrxrxl rxr xr l S侧侧()()r lxr xrlrxr x ()r lrl 第24页/共82页第二十五页，编辑于星期一：十二点 五十四分。lOrO r圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？lOOrrr上底扩大上底扩大lOrr0上底缩小上底缩小2222()S

10、rrlr r l 2()Srrlr rl22()Srrr lrl 第25页/共82页第二十六页，编辑于星期一：十二点 五十四分。 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，h它们的侧面展开图还是平面图形，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的计算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和之和第26页/共82页第二十七页，编辑于星期一：十二点 五十四分。例1：一个正三棱台的上、下底面边长分别是3cm和6cm，高是3/2cm，求三棱台的侧面积. 分析：关键是求出斜高，注意图中的直角梯形ABCC1

11、A1B1O1ODD1E第27页/共82页第二十八页，编辑于星期一：十二点 五十四分。例3：圆台的上、下底面半径分别为2和4，高为 ，求其侧面展开图扇环所对的圆心角32分析：抓住相似三角形中的相似比是解题的关键小结：1、抓住侧面展开图的形状，用好相应的计算公式，注意逆向用公式； 2、圆台问题恢复成圆锥图形在圆锥中解决圆台问题，注意相似比.答：1800第28页/共82页第二十九页，编辑于星期一：十二点 五十四分。例：圆台的上、下底半径分别是10cm和20cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是1800，那么圆台的侧面积是多少？（结果中保留）第29页/共82页第三十页，编辑于星期一：十二点 五十四分。小

12、结：1、弄清楚柱、锥、台的侧面展开图的形状是关键； 2、对应的面积公式)cc21hS（正正棱棱台台C=021chS三三棱棱锥锥C=CchchS 直直棱棱柱柱S圆柱侧= 2rlS圆锥侧= rlS圆台侧=（r1+r2)lr1=0r1=r2第30页/共82页第三十一页，编辑于星期一：十二点 五十四分。例1：一个正三棱柱的底面是边长为5的正三角形，侧棱长为4，则其侧面积为 _;答：60例2：正四棱锥底面边长为6 ,高是4，中截面把棱锥截成一个小棱锥和一个棱台，求棱台的侧面积79答：第31页/共82页第三十二页，编辑于星期一：十二点 五十四分。 例例3 已知棱长为已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体

13、，各面均为等边三角形的四面体S-ABC，求它的表面积，求它的表面积 DBCAS 分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形组分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成成因为因为BC=a，aSBSD2360sin所以：所以： 243232121aaaSDBCSABC因此，四面体因此，四面体S-ABC 的表面积的表面积交交BC于点于点D解：先求解：先求 的面积，过点的面积，过点S作作 ，ABCBCSD 第32页/共82页第三十三页，编辑于星期一：十二点 五十四分。【思路点拨思路点拨】(1)证明证明AED为直角三为直角三角形，然后求侧棱长；角形，然后求侧棱长；(2)分别求出侧面积与分别求出侧面积

14、与底面积底面积第33页/共82页第三十四页，编辑于星期一：十二点 五十四分。第34页/共82页第三十五页，编辑于星期一：十二点 五十四分。第35页/共82页第三十六页，编辑于星期一：十二点 五十四分。思考：怎样求斜棱柱的侧面积？ 1）侧面展开图是 平行四边形 2）S斜棱柱侧=直截面周长侧棱长 3） S侧侧=所有侧面面积之和所有侧面面积之和第36页/共82页第三十七页，编辑于星期一：十二点 五十四分。几何体的表面积问题小结几何体的表面积问题小结2多面体的表面积是各个面的面积之和圆柱、多面体的表面积是各个面的面积之和圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲圆锥、圆台的侧面是曲面，计算

15、侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和积之和3几何体的表面积应注意重合部分的处理几何体的表面积应注意重合部分的处理第37页/共82页第三十八页，编辑于星期一：十二点 五十四分。几何体占有空间部分的大小叫做它的体几何体占有空间部分的大小叫做它的体积积一、体积的概念与公理一、体积的概念与公理:第38页/共82页第三十九页，编辑于星期一：十二点 五十四分。公理公理1、长方体的体积等于它的长、宽、高的积。、长方体的体积等于它的长、宽、高的积。V长方体长方体= abc推论推论1 、长方体的体积等于它的底面积、长方体的体积

16、等于它的底面积s和高和高h的积。的积。V长方体长方体= sh推论推论2 、正方体的体积等于它的棱长、正方体的体积等于它的棱长a 的立方。的立方。V正方体正方体= a3第39页/共82页第四十页，编辑于星期一：十二点 五十四分。公理公理2 2、夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于、夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。PQ祖暅原理祖暅原理第40页/共82页第四十一页，编辑于星期一：十二点 五十四分。定理定理1： 柱体（棱

17、柱、圆柱）的体积等于它柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它的底面积的底面积 s 和高和高 h 的积。的积。V柱体柱体= sh二：柱体的体积二：柱体的体积推论推论 ： 底面半径为底面半径为r，高为高为h圆柱的体积是圆柱的体积是V圆柱圆柱= r2h第41页/共82页第四十二页，编辑于星期一：十二点 五十四分。三三:锥体体积锥体体积例例2 2： 如图：三棱柱如图：三棱柱ADAD1 1C C1 1-BDC,-BDC,底面积为底面积为S S, ,高为高为h h. . ABD C D1C1CDA BCD1ADCC1D1A答答:可分成可分成棱锥棱锥A-D1DC, 棱锥棱锥A-D1C1C, 棱锥棱锥A-BCD. 问

18、：（问：（1 1）从）从A A点出发棱柱能点出发棱柱能分割分割成几个三棱锥？成几个三棱锥？ 第42页/共82页第四十三页，编辑于星期一：十二点 五十四分。3.3.1 1锥体（棱锥、圆锥）的体积锥体（棱锥、圆锥）的体积 （底面积（底面积S，高高h） 注意：三棱锥的顶点和底面可以根据需要变换，四面体的每一个面都可以作为底面，可以用来求点到面的距离shV31三棱锥第43页/共82页第四十四页，编辑于星期一：十二点 五十四分。定理如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面定理如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面 积是，高是，那么它的体积是：积是，高是，那么它的体积是：推论：如果圆锥的底面半径是推论：如果圆锥的底面半

19、径是，高是，高是， 那么它的体积是：那么它的体积是：hSS锥体锥体 3131圆锥圆锥 Sh第44页/共82页第四十五页，编辑于星期一：十二点 五十四分。ss/ss/hx四四.台体的体积台体的体积V V台体台体= =1 1h(s+ss +s)h(s+ss +s)3 3上下底面积分别是上下底面积分别是s/,s,高是高是h，则，则第45页/共82页第四十六页，编辑于星期一：十二点 五十四分。推论：如果圆台的上推论：如果圆台的上, ,下底面半径是下底面半径是r r1 1.r.r2,2,高是高是，那么它的体积是：，那么它的体积是：31圆台圆台 h)(222121rrrr第46页/共82页第四十七页，编辑

20、于星期一：十二点 五十四分。五五.柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？hSSSSV)(31S为底面面积，为底面面积，h为柱体高为柱体高ShV 0SS分别为上、下分别为上、下底面面底面面积，积，h 为台体高为台体高ShV31SS S为底面面积，为底面面积，h为锥体高为锥体高上底扩大上底扩大上底缩小上底缩小第47页/共82页第四十八页，编辑于星期一：十二点 五十四分。Sh知识点二柱、锥、台、球的体积知识点二柱、锥、台、球的体积第48页/共82页第四十九页，编辑于星期一：十二点 五十四分。13r2h第49页/共82页第五十页，编辑于星期一：十二点 五十

21、四分。13h(r2rrr2)13R3第50页/共82页第五十一页，编辑于星期一：十二点 五十四分。例从一个正方体中，如图那样截去4个三棱锥后，得到一个正三棱锥ABCD，求它的体积是正方体体积的几分之几？第51页/共82页第五十二页，编辑于星期一：十二点 五十四分。几何体的体积小结几何体的体积小结2计算柱体、锥体、台体的体积关键是根据条件计算柱体、锥体、台体的体积关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分利用多面体的截面及找出相应的底面面积和高，要充分利用多面体的截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题第52页/共82页第五十三页，编辑于星期一：十

22、二点 五十四分。RR球的体积球的体积：一个半径和高都等于一个半径和高都等于R的圆柱，挖去一个的圆柱，挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后，所得的几何体的体积与一个半径为后，所得的几何体的体积与一个半径为R的的半球的体积相等。半球的体积相等。探究第53页/共82页第五十四页，编辑于星期一：十二点 五十四分。球球1 1V =V =2 23 32 2= = R R3 33 3球球4 4V =V = R R3 3RROORR22221 1 RR-RR- RRRR3 3第54页/共82页第五十五页，编辑于星期一：十二点 五十四分。第一步：分割第一步：分割

23、O O球面被分割成球面被分割成n n个网格，个网格， 表面积分别为：表面积分别为：nSSSS.321，则球的表面积：则球的表面积：nSSSSS.321则球的体积为：则球的体积为：设设“小锥体小锥体”的体积为：的体积为：iViVnVVVVV.321iSO O知识点三、球的表面积和体积知识点三、球的表面积和体积（第55页/共82页第五十六页，编辑于星期一：十二点 五十四分。O O第二步：求近似和第二步：求近似和O Oih由第一步得：由第一步得：nVVVVV.321nnhShShShSV31313131332211.iiihSV31iSiV第56页/共82页第五十七页，编辑于星期一：十二点 五十四分

24、。第三步：转化为球的表面积第三步：转化为球的表面积RSVii31 如果网格分的越细如果网格分的越细, ,则则: :RSRSRSRSVni3131313132.RSSSSSRni313132).( 由由 得得: :334RV 球的体积球的体积: :2 24 4R RS S iSiVih的值就趋向于球的半径的值就趋向于球的半径R RRihiSO OiV“小锥体小锥体”就越接近小棱锥。就越接近小棱锥。第57页/共82页第五十八页，编辑于星期一：十二点 五十四分。43R3例例1(2009年高考上海卷年高考上海卷)若球若球O1、O2表表面积之比面积之比4，则它们的半径之比，则它们的半径之比_.第58页/

25、共82页第五十九页，编辑于星期一：十二点 五十四分。(1)(1)若球的表面积变为原来的若球的表面积变为原来的2 2倍倍, ,则半径变为原来的则半径变为原来的倍。倍。(2)(2)若球半径变为原来的若球半径变为原来的2 2倍，则表面积变为原来的倍，则表面积变为原来的倍。倍。(3)(3)若两球表面积之比为若两球表面积之比为1:21:2，则其体积之比是，则其体积之比是。(4)(4)若两球体积之比是若两球体积之比是1:21:2，则其表面积之比是，则其表面积之比是。例例2 2：2422:134: 1第59页/共82页第六十页，编辑于星期一：十二点 五十四分。例例3.3.如图，正方体如图，正方体ABCD-A

26、ABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱长为的棱长为a,a,它的各个顶它的各个顶点都在球点都在球O O的球面上，问球的球面上，问球O O的表面积。的表面积。A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O OA AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可知，它分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。略解：2222211113423,)2()2(22:aRSaRaa

27、RaDBRDBDDBRt得得：，中中变题变题1.1.如果球如果球O O和这个正方体的六个面都相切，则有和这个正方体的六个面都相切，则有S=S=。变题变题2.2.如果球如果球O O和这个正方体的各条棱都相切，则有和这个正方体的各条棱都相切，则有S=S=。2a2 2 a 关键关键：找正方体的棱长找正方体的棱长a a与球半径与球半径R R之间的关系之间的关系第60页/共82页第六十一页，编辑于星期一：十二点 五十四分。OABCO 例例4已知过球面上三点已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的截面到球心O的距离等于的距离等于球半径的一半，且球半径的一半，且AB=BC=CA=cm，求球的体积，表，求球的

28、体积，表面积面积解：如图，设球解：如图，设球O半径为半径为R，截面截面 O的半径为的半径为r，r332AB2332AO 是正三角形，是正三角形，ABCROO ,2 第61页/共82页第六十二页，编辑于星期一：十二点 五十四分。例例5、有三个球、有三个球,一球切于正方体的各面一球切于正方体的各面,一球一球切于正方体的各侧棱切于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶一球过正方体的各顶点点,求这三个球的体积之比求这三个球的体积之比.作轴截面作轴截面第62页/共82页第六十三页，编辑于星期一：十二点 五十四分。3如果直棱柱的底面周长是如果直棱柱的底面周长是c，高是，高是h，那么它的侧面积，那么它的侧面积是

29、是S直棱柱侧直棱柱侧ch.4应注意各个公式的推导过程，不要死记硬背公式本身，应注意各个公式的推导过程，不要死记硬背公式本身，要熟悉柱体中的矩形、锥体中的直角三角形、台体中的直角梯形等要熟悉柱体中的矩形、锥体中的直角三角形、台体中的直角梯形等特征图形在公式推导中的作用特征图形在公式推导中的作用第63页/共82页第六十四页，编辑于星期一：十二点 五十四分。8计算圆柱、圆锥、圆台的体积时，关键是根据条件找出相应计算圆柱、圆锥、圆台的体积时，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，应注意充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将的底面面积和高，应注意充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平

30、面问题求解空间问题转化为平面问题求解第64页/共82页第六十五页，编辑于星期一：十二点 五十四分。题型一题型一 几何体的展开与折叠几何体的展开与折叠 有一根长为有一根长为3 cm3 cm，底面半径为，底面半径为1 cm1 cm的的 圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2 2圈，并圈，并 使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端, , 则铁丝的最短长度为多少？则铁丝的最短长度为多少？ 把圆柱沿这条母线展开，将问题转把圆柱沿这条母线展开，将问题转 化为平面上两点间的最短距离化为平面上两点间的最短距离. .题型分类题型分类 深度

31、剖析深度剖析第65页/共82页第六十六页，编辑于星期一：十二点 五十四分。解解 把圆柱侧面及缠绕其上把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到的铁丝展开，在平面上得到矩形矩形ABCDABCD（如图所示），（如图所示），由题意知由题意知BCBC=3 cm=3 cm，ABAB=4 cm=4 cm，点，点A A与点与点C C分别是铁丝的起、止位分别是铁丝的起、止位置，故线段置，故线段ACAC的长度即为铁丝的最短长度的长度即为铁丝的最短长度. .故铁丝的最短长度为故铁丝的最短长度为5 cm.5 cm.cm,522BCABAC第66页/共82页第六十七页，编辑于星期一：十二点 五十四分。 求立体图形表

32、面上两点的最短距离求立体图形表面上两点的最短距离问题，是立体几何中的一个重要题型问题，是立体几何中的一个重要题型. .这类题目的这类题目的特点是：立体图形的性质和数量关系分散在立体特点是：立体图形的性质和数量关系分散在立体图形的几个平面上或旋转体的侧面上图形的几个平面上或旋转体的侧面上. .为了便于发为了便于发现它们图形间性质与数量上的相互关系，必须将现它们图形间性质与数量上的相互关系，必须将图中的某些平面旋转到同一平面上，或者将曲面图中的某些平面旋转到同一平面上，或者将曲面展开为平面，使问题得到解决展开为平面，使问题得到解决. .其基本步骤是：展其基本步骤是：展开（有时全部展开，有时部分展开

33、）为平面图形，开（有时全部展开，有时部分展开）为平面图形，找出表示最短距离的线段，再计算此线段的长找出表示最短距离的线段，再计算此线段的长. . 第67页/共82页第六十八页，编辑于星期一：十二点 五十四分。题型二题型二 旋转体的表面积及其体积旋转体的表面积及其体积 如图所示如图所示, ,半径为半径为R R的半圆内的的半圆内的 阴影部分以直径阴影部分以直径ABAB所在直线为轴所在直线为轴, ,旋旋 转一周得到一几何体转一周得到一几何体, ,求该几何体的求该几何体的 表面积表面积( (其中其中BACBAC=30=30) )及其体积及其体积. . 先分析阴影部分旋转后形成几何体的先分析阴影部分旋转

34、后形成几何体的 形状形状, ,再求表面积再求表面积. .第68页/共82页第六十九页，编辑于星期一：十二点 五十四分。解解 如图所示如图所示, ,过过C C作作COCO1 1ABAB于于O O1 1, ,在半圆中可得在半圆中可得BCABCA=90=90, ,BACBAC=30=30, ,ABAB=2=2R R, ,ACAC= = , ,BCBC= =R R, ,S S球球=4=4R R2 2, ,R3,231RCO ,231123234,2323,233232222112121RRRRSSSSRRRSRRRSBOAOBOAO侧圆锥侧圆锥球几何体表侧圆锥侧圆锥.23112R表面积为旋转所得到的几

35、何体的第69页/共82页第七十页，编辑于星期一：十二点 五十四分。 解决这类题的关键是弄清楚旋转后所解决这类题的关键是弄清楚旋转后所形成的图形的形状，再将图形进行合理的分割，形成的图形的形状，再将图形进行合理的分割，然后利用有关公式进行计算然后利用有关公式进行计算. . .652134)(41314131,34333111221111221113RRRVVVVBORCOBOVAORCOAOVRVBOAOBOAO圆锥圆锥球几何体圆锥圆锥球又第70页/共82页第七十一页，编辑于星期一：十二点 五十四分。知能迁移知能迁移2 2 已知球的半径为已知球的半径为R R，在球内作一个内，在球内作一个内 接圆

36、柱，这个圆柱底面半径与高为何值时，它接圆柱，这个圆柱底面半径与高为何值时，它 的侧面积最大？侧面积的最大值是多少？的侧面积最大？侧面积的最大值是多少？ 解解 如图为轴截面如图为轴截面. . 设圆柱的高为设圆柱的高为h h，底面半径为，底面半径为r r， 侧面积为侧面积为S S，则，则,)2(222Rrh.2414,2,22,21.41)21(4)(442.2242242222222222RRRhRrRrRRrrRrrRrrhSrRh最大值是最大圆柱侧面积时即当且仅当即第71页/共82页第七十二页，编辑于星期一：十二点 五十四分。知能迁移知能迁移2 2 已知球的半径为已知球的半径为R R，在球内

37、作一个内，在球内作一个内 接圆柱，这个圆柱底面半径与高为何值时，它接圆柱，这个圆柱底面半径与高为何值时，它 的侧面积最大？侧面积的最大值是多少？的侧面积最大？侧面积的最大值是多少？ 解解 如图为轴截面如图为轴截面. . 设圆柱的高为设圆柱的高为h h，底面半径为，底面半径为r r， 侧面积为侧面积为S S，则，则,)2(222Rrh.2414,2,22,21.41)21(4)(442.2242242222222222RRRhRrRrRRrrRrrRrrhSrRh最大值是最大圆柱侧面积时即当且仅当即第72页/共82页第七十三页，编辑于星期一：十二点 五十四分。题型三题型三 多面体的表面积及其体积

38、多面体的表面积及其体积 一个正三棱锥的底面边长为一个正三棱锥的底面边长为6 6，侧棱长，侧棱长 为为 ，求这个三棱锥的体积，求这个三棱锥的体积. . 本题为求棱锥的体积问题本题为求棱锥的体积问题. .已知底面已知底面 边长和侧棱长，可先求出三棱锥的底面面积边长和侧棱长，可先求出三棱锥的底面面积 和高，再根据体积公式求出其体积和高，再根据体积公式求出其体积. . 解解 如图所示，如图所示， 正三棱锥正三棱锥S SABCABC. . 设设H H为正为正ABCABC的中心，的中心， 连接连接SHSH， 则则SHSH的长即为该正三棱锥的高的长即为该正三棱锥的高. .15第73页/共82页第七十四页，编

39、辑于星期一：十二点 五十四分。连接连接AHAH并延长交并延长交BCBC于于E E，则则E E为为BCBC的中点，且的中点，且AHAHBCBC. .ABCABC是边长为是边长为6 6的正三角形，的正三角形，, 33623AE. 93393131312153215,Rt. 393362121,. 323222SHSV，AHSASH，AHSASHAAEBCSABCAEAHABCABC正三棱锥中在中在第74页/共82页第七十五页，编辑于星期一：十二点 五十四分。 求锥体的体积，要选择适当的底面和求锥体的体积，要选择适当的底面和高，然后应用公式高，然后应用公式 进行计算即可进行计算即可. .常用方常用方

40、法：割补法和等积变换法法：割补法和等积变换法. .（1 1）割补法：求一个几何体的体积可以将这个几）割补法：求一个几何体的体积可以将这个几何体分割成几个柱体、锥体，分别求出锥体和柱何体分割成几个柱体、锥体，分别求出锥体和柱体的体积，从而得出几何体的体积体的体积，从而得出几何体的体积. .（2 2）等积变换法：利用三棱锥的任一个面可作为）等积变换法：利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面三棱锥的底面. .求体积时，可选择容易计算的方求体积时，可选择容易计算的方式来计算；式来计算；利用利用“等积性等积性”可求可求“点到面的点到面的距离距离”. .ShV31第75页/共82页第七十六页，编辑于星期一

41、：十二点 五十四分。题型四题型四 组合体的表面积及其体积组合体的表面积及其体积 (12 (12分分) )如图所示如图所示, ,在等腰梯形在等腰梯形ABCDABCD中中, , ABAB=2=2DCDC=2=2，DABDAB=60=60，E E为为ABAB的中点，的中点， 将将ADEADE与与BECBEC分别沿分别沿EDED、ECEC向上折起，向上折起， 使使A A、B B重合重合, ,求形成的三棱锥的外接球的体积求形成的三棱锥的外接球的体积. . 易知折叠成的几何体是棱长为易知折叠成的几何体是棱长为1 1的正的正 四面体，要求外接球的体积只要求出外接球的四面体，要求外接球的体积只要求出外接球的

42、半径即可半径即可. . 解解 由已知条件知，平面图形中由已知条件知，平面图形中 AEAE= =EBEB= =BCBC= =CDCD= =DADA= =DEDE= =ECEC=1.=1. 折叠后得到一个正四面体折叠后得到一个正四面体. 2. 2分分 第76页/共82页第七十七页，编辑于星期一：十二点 五十四分。方法一方法一 作作AFAF平面平面DECDEC，垂足为，垂足为F F，F F即为即为DECDEC的中心的中心. .取取ECEC的中点的中点G G，连接，连接DGDG、AGAG，过球心过球心O O作作OHOH平面平面AECAEC. .则垂足则垂足H H为为AECAEC的中心的中心. 4. 4

43、分分外接球半径可利用外接球半径可利用OHAOHAGFAGFA求得求得. .在在AFGAFG和和AHOAHO中，根据三角形相似可知，中，根据三角形相似可知，,36)33(1,232AFAG.864663434.46363323.3333OAAFAHAGOAAH外接球体积为6 6分分1010分分1212分分第77页/共82页第七十八页，编辑于星期一：十二点 五十四分。方法二方法二 如图所示，把正四面体放在正如图所示，把正四面体放在正方体中方体中. .显然，正四面体的外接球就显然，正四面体的外接球就是正方体的外接球是正方体的外接球. 3. 3分分正四面体的棱长为正四面体的棱长为1 1，正方体的棱长为正方体的棱长为 ， 6 6分分22.86.86)46(34,46,22323为该三棱锥外接球的体积体积为外接球直径RR9 9分分1212分分第78页/共82页第七十九页，编辑于星期一：十二点 五十四分。方法与