金融数学总复习

1、 金融数学金融数学 总复习总复习 n第一章第一章 金融衍生产品相关知识金融衍生产品相关知识n 金融衍生产品，又称为金融衍生工具、金融衍生品或金融衍生证券，它是一类新型的风险管理的金融工具，它的价值依赖于其它更基本的基础资产（或称标的资产、原生资产）的价格变化。也就是说，金融衍生产品的价值是由其标的资产价值衍生而成的。例如，外汇远期合约是一个金融衍生产品，其价值依附于外汇的价格。在金融市场中，有很多形式的金融衍生产品，但远期合约、期货和期权是三种最基本的金融衍生产品。 n 金融数学研究的是什么？它和金融学和数金融数学研究的是什么？它和金融学和数学都有什么联系？学都有什么联系？n n 金融数学的主

2、要目的就是解决怎样根据标的资产价格来计算金融衍生产品价格的过程。所以，金融数学这门学科需要数学作为工具，金融知识为背景。用数学的方法来解决一些金融方面的问题n 远期合约远期合约是一个最简单的金融衍生产品，它是指在未来确定时间，以确定价格购（销）一定数量和质量的某原生资产的协议。n 期货期货含义是：交易双方不必在买卖发生的初期就交收实货，而是共同约定在未来的某一时候交收实货，因此中国人就称其为“期货”。期货与远期合约相同，也是一张在未来的确定时间，按确定价格购（销）一定数量和质量的某原生资产的协议，但它是由远期合约逐步标准化而形成的。n 期权期权是持有人在确定时间，按确定价格向出售方购销一定数量

3、和质量的原生资产的协议，但他不承担必须购入或销售的义务。 n n 期权按合约中购入和销售原生资产可以划分为看涨期权和看跌期权： n 看涨期权看涨期权: :也称为买权，是一张在确定时间，按确定价格有权购入一定数量和质量的原生资产的合约。 n 看跌期权看跌期权: :也称为卖权，是一张在确定时间，按确定价格有权出售一定数量和质量的原生资产的合约。 n 期权按合约中有关实施的条款主要可以划分为欧式期权和美式期权： n 欧式期权欧式期权: :只能在合约规定的到期日实施。 n 美式期权美式期权: :能在合约规定的到期日以前（包括到期日）任何一个工作日实施。 n期权在到期日的价值。以欧式看涨期权为例，设T是

4、到期时间，对于0tT，设C(t)是看涨期权（买权）在时间t的价值。因为在到期时间T，股票价格只有三种可能： n(1) S(T) X，即股票价格大于执行价，称买n 权处于实值状态； n(2) S(T) = X，即股票价格等于执行价，称买n 权处于平值状态； n(3) S(T) 10%(或证券A的10%的报酬率低于12.7%必要报酬率 ),故A证劵被高估，应卖出。n B证劵n 5%+（12%-5%）1.2=13.4%n 因为13.4%17%,故B证劵被低估，应买进。 n16.16.某股票的预期收益率为某股票的预期收益率为16%16%，收益率的，收益率的标准差为标准差为0.180.18，该股票与市场

5、组合间的相，该股票与市场组合间的相关系数为关系数为0.30.3，市场组合的预期收益率为，市场组合的预期收益率为20%20%，标准差为，标准差为0.120.12。n要求：要求：n（1 1）计算该股票的）计算该股票的系数；系数；n（2 2）计算上述信息中所隐含的无风险收益）计算上述信息中所隐含的无风险收益率。率。n17.17.已知市场投资组合的预期收益率和标准已知市场投资组合的预期收益率和标准差分别为差分别为14%14%和和20%20%，无风险收益率为，无风险收益率为8%8%，某投资者将自有资金某投资者将自有资金100100万元中的万元中的4040万元投万元投资于无风险资产，其余的资金全部投资于资

6、于无风险资产，其余的资金全部投资于市场组合，求市场组合，求n1.1.该投资组合的预期收益率；该投资组合的预期收益率； n2.2.该投资组合的标准差。该投资组合的标准差。n 18. . 假设市场只有两种股票假设市场只有两种股票A A、B B，其收益率，其收益率标准差为标准差为0.250.25和和0.60.6，与市场的相关系数分别，与市场的相关系数分别为为0.40.4和和0.70.7，市场指数的平均收益率和标准差，市场指数的平均收益率和标准差分别为分别为0.150.15和和0.10.1，无风险利率为，无风险利率为0.050.05。n（1 1）计算股票）计算股票A A、B B和组合（和组合（0.50

7、.5，0.50.5）的）的值。值。n（2 2）A A、B B的协方差。的协方差。n（3 3）利用）利用CAPMCAPM计算股票的计算股票的A A、B B和组合（和组合（0.50.5，0.50.5）的预期收益率。）的预期收益率。 n19.19.假设两个零息票债劵假设两个零息票债劵A A和和B B，两者都在一，两者都在一年后的同一天到期，其面值为年后的同一天到期，其面值为100100元（到期元（到期时都获得时都获得100100元的现金流）。如果债劵元的现金流）。如果债劵A A当当前的价格为前的价格为9898元，并假设不考虑交易成本元，并假设不考虑交易成本和违约情况。和违约情况。n（1 1）：债劵）

8、：债劵B B当前的价格为多少元？当前的价格为多少元？n（2 2）：如果债劵）：如果债劵B B当前的价格为当前的价格为97.597.5元，元，问是否存在套利机会？如果有，如何套利？问是否存在套利机会？如果有，如何套利？n假设两个零息票债劵A和B，两者都在一年后的同一天到期，其面值为100元（到期时都获得100元的现金流）。如果债劵A当前的价格为98元，并假设不考虑交易成本和违约情况。n（1）：根据无套利定价原理，债劵B和债劵A有相同的损益和现金流。故债劵B的价格为98元。n（2）：若债劵B当前的价格为97.5元，表明债劵B的价值被市场低估，那么两债劵之间存在套利机会。套利方法，买进债劵B，卖出价

9、值被市场高估债劵A。n 所以套利的策略是：卖空债劵A，得98元，用其中的97.5元买进债劵B，这样套利的赢利0.5元。n（实现套利的方法很简单，买进价值低估的资产- 债券B，卖出价值高估的资产-债券A。所以，套利的策略就是：卖空债券A，获得98 元，用其中的97.5元买进债券B，这样套利的盈利为0.5 元。因为，在1年后到期日，债券B的面值刚好用于支付卖空债券A的面值。）n20.20.假设有一风险证券假设有一风险证券A A，当前的市场价格为，当前的市场价格为100100元元1 1年后的市场出现两种可能的状态：状态年后的市场出现两种可能的状态：状态1 1和状态和状态2 2。状态状态1 1时，时，

10、A A的未来价格为的未来价格为105105元，状态元，状态2 2时，时，9595元。元。有一证券有一证券B B，它在，它在1 1年后的未来价格也是：状态年后的未来价格也是：状态1 1时时105105元，状态元，状态2 2时时9595元。元。另外，假设不考虑交易成本。另外，假设不考虑交易成本。问题：问题：（1 1）B B的合理价格为多少呢？的合理价格为多少呢？（2 2）如果）如果B B的价格为的价格为9999元，如何套利？元，如何套利？ n答案：答案：（1 1）B B的合理价格也为的合理价格也为100100元；元；q（本（本案例与前面案例的不同地方在于，前面案例中的资产为债券，其未来的损益为确定

11、的，即在某一时间时只有一种状态，以概率100% 发生。但本案例中的资产为风险证券，其未来的损益出现两种可能，可能上涨，也可能下跌，即未来的状态不确定。但根据无套利定价原理，只要两种证券的损益完全一样，那么它们的价格也会一样。所以，证券B的合理价格也应该为100 元。）（2 2）如果）如果B B为为9999元，价值被低估，则买进元，价值被低估，则买进B B，卖空，卖空A Aq（因为证券B的价格为99 元，因此存在套利机会。只q要卖空证券A，买进证券B，就可实现套利1元。）21.21.套利定价模型套利定价模型APTAPT，是，是_于于 20 20 世纪世纪 70 70 年代建立的，是描述年代建立的

12、，是描述_但又有别于但又有别于 CAPM CAPM 的均的均衡模型。衡模型。 A巴菲特；套利的成本 B艾略特；在一定价格水平下如何套利 C罗斯；资产的合理定价 D马柯威茨；利用价格的不均衡进行套利 答案 C Capital Asset Pricing Model (CAPM)理论简介n第三、四章第三、四章 二叉树模型及应用二叉树模型及应用n 金融衍生产品定价的方法很多。从偏微分方程观点出发通过求解偏微分方程得出结果，也可以从随机分析和随机微分方程角度通过鞅定价方法求解等，但这些方法需要比较深入的数学预备知识和专业的理论方法。n 金融衍生产品定价的一种比较直观的方法二叉树方法。它既可以避开这些复

13、杂的求解和推导过程，又比较直观的反映出金融资产的价格变化过程。二叉树模型是金融衍生产品定价的离散模型。Capital Asset Pricing Model (CAPM)理论简介n 二叉树定价模型假设股票价格的波动只有向上和向下两个方向，且假设在整个时期内，股价每次向上或向下波动的概率和幅度都不变。模型将整个时期分为若干阶段，根据股价的历史波动率模拟出股票在整个时期内所有可能的路径，并对每一路径上的每一节点计算期权收益和用贴现法计算出期权价格。而对于美式权证，由美式期权可以提前执行的特征，每一节点上期权的理论价格应为期权执行时的收益和贴现计算出的期权价格两者中的较大者。Capital Asse

14、t Pricing Model (CAPM)理论简介n n 二叉树期权定价模型和布莱克斯科尔斯期权定价模型，是两种相互补充的方法。二叉树期权定价模型推导比较简单，更适合说明期权定价的基本概念。它建立在一个基本假设基础上，即在给定的时间间隔内，股票的价格运动有两个可能的方向：上涨或者下跌。虽然这一假设非常简单，但由于可以把一个给定的时间段细分为更小的时间单位，因而二叉树期权定价模型适用于处理更为复杂的期权。Capital Asset Pricing Model (CAPM)理论简介n单步二叉树模型单步二叉树模型，又称为单时段双状态模型(one period and two-state model

15、)。所谓单时段是指交易要么在时段0，T的初始时刻t =0进行，要么在终止时刻t =T进行。而双状态是指风险资产的价格在未来t =T时刻有且只有两种 n可能的值，要么上涨，要么下跌。重复上一节的推导过程，通过无套利原理在这种模型下得到金融衍生产品价格的一般公式。练习题：练习题： 1.1.某股票当前的价格为某股票当前的价格为5050美元，已知在美元，已知在6 6个月个月后股票价格将变为后股票价格将变为6060美元或美元或4242美元，无风险利美元，无风险利率为每年率为每年12%12%，执行价格为，执行价格为4848美元。试用两种美元。试用两种方法计算期限为方法计算期限为6 6个月的欧式看涨期权价格

16、。个月的欧式看涨期权价格。（ v=6.96v=6.96美元美元）方法一：方法一：解：解： 6 6个月结束时，期权价值或为个月结束时，期权价值或为1212美元（若股票价美元（若股票价格为格为6060美元），或为美元），或为0 0美元（若股票价格为美元（若股票价格为4242美元）。美元）。 考虑一份资产组合构成：考虑一份资产组合构成：+a:+a:股票，股票，-1-1：期权。：期权。 6 6个月后组合的价值或为个月后组合的价值或为42a42a或为或为60a-12.60a-12. 如果如果 42a=60a-12 42a=60a-12 得得a=0.6667a=0.6667 资产组合的价值为资产组合的价值

17、为2828美元美元 组合的现值为组合的现值为 0.66670.666750-V50-V其中其中V V是期权的价值。是期权的价值。 因为组合必须以无风险的利率盈利：因为组合必须以无风险的利率盈利： 即即 v=6.96v=6.96美元美元28)506667. 0(5 . 012. 0eV方法二：方法二：解：解： 5 50u=60,50d=42,0u=60,50d=42,得：得： u=1.2,d=0.84u=1.2,d=0.84 由由P64P64页公式（页公式（4-64-6） 美元美元dudeSSSSeprTdudrT06111. 084. 02 . 184. 05 . 012. 0e96. 612

18、6111. 0126111. 006. 0eeVrTn 3.一只股票现在的价格是一只股票现在的价格是2525元，一年以后它元，一年以后它的价格可能是的价格可能是3030元或元或1818元。已知即期利率为元。已知即期利率为4%4%，通过风险中性定价求：通过风险中性定价求：n（1 1） 一年后到期、执行价格为一年后到期、执行价格为2828元的看涨期权元的看涨期权价格；价格； n（2 2） 一年后到期、执行价格为一年后到期、执行价格为2222元的看涨期权元的看涨期权价格；价格； n（3 3） 一年后到期、执行价格为一年后到期、执行价格为2020元的看跌期权元的看跌期权价格。价格。利用公式（利用公式（

19、3-63-6），）， 由已知由已知 ，以及，以及 ，代入，代入解得：解得： dudrTSSSSeq030,25, 1%,40uSSTr18dS32q（1 1）对于一年后到期、执行价格为）对于一年后到期、执行价格为2828元的看涨期权，元的看涨期权， 以及以及 ，由公式（，由公式（3-83-8）有：）有： （元）（元） （2 2）对于一年后到期、执行价格为）对于一年后到期、执行价格为2222元的看涨期权，元的看涨期权， 以及以及 ，则，则 （元）（元） （3 3）对于一年后到期、执行价格为）对于一年后到期、执行价格为2020元的看跌期权，元的看跌期权， 以及以及 ，则，则 （元）（元） 2U0D

20、0D282. 10)321 (23204. 118U128. 50)321 (83204. 110U2D641. 02)321 (03204. 114.4.综合问题综合问题例：例：某一股票的价格为某一股票的价格为4040美元，在今后两个美元，在今后两个3 3个月的时间段内，股票价格或上涨个月的时间段内，股票价格或上涨10%10%或下跌或下跌10%10%，无风险利率为每年，无风险利率为每年12%12%（连续复利）。（连续复利）。执行价格为执行价格为4242美元，美元，6 6个月的美式看跌期权价个月的美式看跌期权价格与格与6 6个月的欧式看跌期权价格之差是多少？个月的欧式看跌期权价格之差是多少？

21、股票、欧式期权与美式期权价值的二叉树股票、欧式期权与美式期权价值的二叉树n在每个节点上，第一个数字表示股票价格，第二个数字表示欧式期权价格，第三个数字表示美式期权价格，40.0002.1182.53744.0000.8100.81048.4000.0000.00039.6002.4002.40032.4009.6009.60036.0004.7596.000ABCDEF第五章第五章 期权定价的连续模型期权定价的连续模型B-SB-S公式公式布朗运动布朗运动 n（一）标准布朗运动（一）标准布朗运动n设设 代表一个小的时间间隔长度，代表一个小的时间间隔长度， 代表变量代表变量z z在时间在时间 内的

22、变化，遵循标准布朗运动的内的变化，遵循标准布朗运动的 具有两种特征：具有两种特征：n特征特征1 1： 和和 的关系满足（的关系满足（6.16.1）：）： n （6.16.1）n其中，其中， 代表从标准正态分布（即均值为代表从标准正态分布（即均值为0 0、标、标准差为准差为1.01.0的正态分布）中取的一个随机值。的正态分布）中取的一个随机值。tztztztz标准布朗运动标准布朗运动(2)(2)n特征特征2 2：对于任何两个不同时间间隔，：对于任何两个不同时间间隔， 和和 的值的值相互独立。相互独立。 n考察变量考察变量z z在一段较长时间在一段较长时间T T中的变化情形，我们中的变化情形，我们

23、可得：可得： n （6.26.2）n当当0 0时，我们就可以得到极限的标准布朗运动时，我们就可以得到极限的标准布朗运动：n （6.36.3）tztzTzNii1)0()(dtdz（二）普通布朗运动（二）普通布朗运动 n我们先引入两个概念：漂移率和方差率。我们先引入两个概念：漂移率和方差率。n标准布朗运动的漂移率为标准布朗运动的漂移率为0 0，方差率为，方差率为1.01.0。 n我们令漂移率的期望值为我们令漂移率的期望值为a,a,方差率的期望值为方差率的期望值为b b2 2，就可得到变量，就可得到变量x x 的普通布朗运动：的普通布朗运动： n （6.46.4）n其中，其中，a a和和b b均为

24、常数，均为常数，dzdz遵循标准布朗运动。遵循标准布朗运动。 bdzadtdx伊藤过程 n普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数，若把普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数，若把变量变量x x的漂移率和方差率当作变量的漂移率和方差率当作变量x x和时间和时间t t的函数，的函数，我们可以从公式（我们可以从公式（6.46.4）得到伊藤过程（）得到伊藤过程（Ito Ito ProcessProcess）：）： (6.5）n其中，其中，dzdz是一个标准布朗运动，是一个标准布朗运动，a a、b b是变量是变量x x和和t t的函数，变量的函数，变量x x的漂移率为的漂移率为a a，方差率为，方差率为b

25、b2 2。 dztxbdttxadx),(),(证券价格的变化过程证券价格的变化过程n证券价格的变化过程可以用漂移率为证券价格的变化过程可以用漂移率为SS、方差率、方差率为为 的伊藤过程来表示：的伊藤过程来表示：n两边同除以两边同除以S S得：得：n n （6.66.6） 22SSdzSdtdSdzdtSdSn从（从（6.66.6）可知，在短时间后，证券价格比率）可知，在短时间后，证券价格比率的变化值为：的变化值为：n可见，可见， 也具有正态分布特征也具有正态分布特征 (6.7)(6.7)ttSS),(ttSSSS伊藤引理伊藤引理n若变量若变量x x遵循伊藤过程，则变量遵循伊藤过程，则变量x

26、x和和t t的函数的函数G G将遵循如将遵循如下过程：下过程：n （6.86.8）n由于由于 （6.96.9）n根据伊藤引理，衍生证券的价格根据伊藤引理，衍生证券的价格G G应遵循如下过程：应遵循如下过程： n (6.10)(6.10)bdzxGdtbxGtGaxGdG)21(222SdzSdtdSSdzSGdtSSGtGSSGdG)21(2222习题习题1 1：一个一年欧式看涨期权，其标的资：一个一年欧式看涨期权，其标的资产为一只公开交易的普通股票，已知：产为一只公开交易的普通股票，已知：1 1）股票现价为）股票现价为122122元元. . 2 2）股票年收益率标准差）股票年收益率标准差0.

27、20.2； 3 3）lnln（股票现价（股票现价/ /执行价现价）执行价现价）=0.2.=0.2.求该期权的价格。求该期权的价格。 习题习题3 3：某无红利支付股票的欧式期权执行：某无红利支付股票的欧式期权执行价格为价格为2929美元，股票现价为美元，股票现价为3030美元，无风险美元，无风险年利率为年利率为5%5%，股票年波动率为，股票年波动率为25%25%，期权到，期权到期日为期日为4 4个月。（个月。（1 1）如果该期权为欧式看涨）如果该期权为欧式看涨期权，计算其价格；（期权，计算其价格；（2 2）如果该期权为欧）如果该期权为欧式看跌期权，计算其价格；（式看跌期权，计算其价格；（3 3）

28、验证看涨）验证看涨看跌期权平价关系是否成立。看跌期权平价关系是否成立。 习题习题7 7：下列选项中不属于：下列选项中不属于BlackBlackScholesScholes期权定价模型假设条件的是（期权定价模型假设条件的是（ ）。）。（A A）没有交易费用；）没有交易费用；（B B）市场是可以套利的；）市场是可以套利的；（C C） 没有税收；没有税收；（D D）无风险利率是一个常数；）无风险利率是一个常数；（E E）可以无限制的卖空。）可以无限制的卖空。 习题习题8 8：假设某种不支付红利股票的市：假设某种不支付红利股票的市场价格为场价格为2020元，无风险利率为元，无风险利率为5%5%，波动，

29、波动率为年率率为年率30%30%，求该股票执行价格为，求该股票执行价格为2020元，期限为元，期限为1 1年的欧式看涨期权和看跌年的欧式看涨期权和看跌期权的价格。期权的价格。 。 11. 11.下列因素中，与股票欧式期权价格下列因素中，与股票欧式期权价格呈负相关的是：（呈负相关的是：（ ）A A 标的股票市场价格标的股票市场价格B B 期权执行价格期权执行价格 C C标的股票价格波动率标的股票价格波动率D D距离期权的到期时间距离期权的到期时间 n第七章第七章 奇异期权奇异期权 n 标准期权，通常是指在期权市场被投资大众广泛了解和接受的期权商品，或者说是普通的期权。在标准期权基础上，运用期权理

30、论和分析方法创造出的具有各种不同特征的期权新品种，就是奇异期权。 n 简单说来，凡是不属于标准期权的期权，自然就应归入奇异期权的范畴。因此，从广义上讲，奇异期权是指那些在市场上出现时间不久、在某一方面的特征与标准期权不同、投资者尚不熟悉的期权新品种。 n n 从广义上讲，一个期权合同的基本特征可以从以下3个方面来描述。对于标准期权来说，其特征分别属于这3个方面的最基本成分。如果将其中任何一个方面加以延伸，都可以得到与之相对应的奇异期权。这三个基本特征是： n（1）收益结构的同质性和连续性； n（2）期权的维数和阶数； n（3）路径相关性。 n n 改变标准收益结构的奇异期权。这种奇异期权较多，

31、主要有欧式双向期权。n 欧式双向期权，又称为双向期权，也称双重期权，指投资者可同时购买标的资产（某一证券或期货等）的买入期权和卖出期权，以便在证券或期货价格频繁涨跌变化时获益。 n 高维和高阶期权高维和高阶期权 n高维和高阶期权是相当复杂的一种奇异期权，而交换期权和复合期权是两种重要且常见的高维和高阶期权。n 交换期权，是指若投资人持有某一风险资产B的头寸，如果未来另一风险资产A较之风险资产B有更好的表现，他希望把风险资产B换成风险资产A，或者把风险资产B加上一定数量现金K 换成风险资产A，为此他购买一张交换期权，以便实现他的构想。n 复合期权复合期权是一种变异的欧式期权。简言之，复合期权是以

32、期权为标的资产的期权，或者称为“期权的期权”。在这类期权中，标的资产的角色被一种期权自己所承担。n 复合期权有4种基本类型：看涨的看涨期权，看涨的看跌期权，看跌的看涨期权和看跌的看跌期权，或者把这4种类型称为：买权的买权，买权的卖权，卖权的买权，卖权的卖权。n路径相关的奇异期权 n 路径相关的期权，即是期权的最终收益不仅仅依赖于期权到期日标的资产的价格，还依赖于整个期权有效期内标的资产价格的变化过程。关于路径相关期权按照最终收益对标的资产价格历程的依赖程度可以分为两种情形，即弱路径相关奇异期权和强路径相关奇异期权。n弱路径相关期权弱路径相关期权是指期权的最终收益与在期权有效期内标的资产的价格是

33、否达到某个或某几个合约规定的水平有关。障碍期权与重置期权也是常见的一种弱路径相关期权。n 强路径相关期权强路径相关期权是指期权的最终收益依赖于标的资产的价格在整个或某一部分期权有效期内的信息。亚式期权与回望期权是强路径相关期权。n 障碍期权障碍期权又称为关卡期权，是路径相关的奇异期权中比较复杂的一种。它的最终收益除了依赖于标的资产在期权到期日的价格之外，还与标的资产价格在整个期权有效期内是否触及到提前设置的障碍有关，而这个提前设置的障碍称为障碍值或关卡值。n 障碍期权分为两大基本类型：n（1）敲入障碍期权n（2）敲出障碍期权n 对于看涨期权和看跌期权来说，共有八种对于看涨期权和看跌期权来说，共有八种障碍期权障碍期权n重置期权重置期权n 重置期权是一种弱路径相关的奇异期权，顾名思义，就是执行价格可以调整或重新设置的期权。重置期权和标准期权最大的区别在于在某些不利于持有者的情况之下，持有者有权利