福建省《高等代数》与《线性代数》课程建设第十三次研讨会

1、福建省福建省高等代数高等代数与与线性代数线性代数课程建设第十三次研讨会课程建设第十三次研讨会矩阵多项式与可逆矩矩阵多项式与可逆矩阵的确定阵的确定 莆田学院数学系莆田学院数学系杨忠鹏，陈梅香，林志兴，晏瑜敏，杨忠鹏，陈梅香，林志兴，晏瑜敏， 陈智雄，陈智雄， 张金辉张金辉,王海明王海明,戴培培戴培培,曾闽丽曾闽丽2011.4.23 2011.4.23 宁德宁德矩阵多项式与可逆阵的确定矩阵多项式与可逆阵的确定问题解决的一种可行的解决方法问题解决的一种可行的解决方法问题的已有解法问题的已有解法问题的提出问题的提出1.问题的提出问题的提出 110.mmmmfxa xaxaxa是关于 的 次多项式， 为

2、 阶方阵，称为为A的的m 次多项式次多项式。xmAn 1110.mmmmfAa AaAa Aa E设（见1,P45,2,P7等）。由于学时的限制，与数学专业的教学相关，矩阵多项式的定义在矩阵运算之后就作为正式的教学内容，这是有意义的，是值得借鉴的处理方式。关于矩阵多项式本身的训练和例题习题在“线性代数”教材并不多见。因此多数情况下，这样很有价值的教学内容在某种意义上讲只是走了过场，或者有些教师就不讲这个内容。这固然是学时限制所致，但缺乏有启发性的相关题目也是一个重要的原因。A 问题问题1.1.1(见1,P5)设 阶方阵220AAEn证明 及 都可逆，求其逆。A2AE满足 问题问题1.1.2 (

3、见7,例2.22)设 阶方阵 满足nA 证明 和 都可逆，求其逆。A3AE2540AAE1()AE求问题问题1.1.3 （见9,P52） 设A满足 2220AAE ，2230AAE111,(),()AAEAE求问题问题1.1.4（见（见9,P52） 设A 满足11A（ ）证明A可逆且求1222AEAE（ ） 证 明为 可 逆 阵 ， 求2230AAE问题问题1.1.5（见见11,P98） 设A 为n阶矩阵，满足问题问题1.1.6（见12,P42 ）2140-AAAEA E（ ）设 满足证明可逆并求其逆2220AAAE（ ）设 满足证明A可逆并求其逆。-1-1-+3AEAE用A表示及。问题问题1

4、.1.7（见13 ，P57）设 为n阶矩阵A2+240.-+3AAEA EAE证及均为可逆阵，若可逆，求其逆。问题问题1.1.8（见2，例1.31）已知n阶矩阵A满足 2+290.,+4AAEA AE问是否可逆。证明 和 不同时可逆。AE2AE证明 和 不同时可逆，并求出它们的逆矩阵。 问题问题1.1.10(见6,P88)设 阶方阵 满足An220AAEAE2AE 问题问题1.1.9(见6,P88)设 阶方阵 满足nA220AAE1A6 EAAA （）必 可 逆 ， 且（）1() 6BAAAE必 可 逆 ， 且（C） A 必不可逆 （D） A+E必不可逆 问题问题1.1.11（见9,P51）设

5、A为n阶方阵，且 , 则22()2(E)AEA21AA4E0,(AE) 求。问题问题1.1.12曾作为2001年全国硕士生入学考试数学一的试题.问题问题1.1.12 设A 满足问题问题1.1.13 设阶矩阵A满足矩阵方程 求证A可逆，并求逆2320,AAE问题问题1.1.13曾作为1988年全国硕士生入学统一考试数学四的试题.问题问题1.1.15（见3，例7，P42）若方阵A满足方程 210aAbAcEAA ，证明 为可逆矩阵并求出。问题问题1.1.14（见 8,P81） 设 nA阶方阵 满足,2680n nTAARAAE且，证明 A+3E为正交矩阵。2220AAE证明A-KE（其中k为任意实

6、数）可逆，并求它的表达式。问题问题1.1.16（见（见9,P52） 设n阶矩阵A 满足+4+nAEnAE为可逆阵，并求逆。设 为正整数，那么可逆吗？问题问题1.1.17（见2，P56）设 2320,AAE证明 问题问题1.2.1（见7 ，例2.23）设n阶矩阵A0 满足A3=0，证明E-A，A+E都可逆，并求逆。问题问题1.2.2（见2， 习题一（B），34）设方阵A满足A3-2A2+9A-E=0，问A,A-2E是否都是可逆矩阵?如果是，求其逆。问题问题1.2.3（见21 ，P43,13（2），22,P49,18(2)）设A3=3A(A-E)，证明E-A都可逆，并求逆。 问题问题1.3.11.

7、3.1曾是曾是19901990硕士生入学统一考试硕士生入学统一考试19901990年数学三的试题（见年数学三的试题（见1515，P333P333），几乎所有的线性代数和高等代数教材都将问题），几乎所有的线性代数和高等代数教材都将问题1.3.11.3.1化为基本问题。化为基本问题。阶矩阵，若0kA EA（k为整数），证明可逆，并写出的表达式。1EA问题问题1.3.1 （见4,习题1.4.9，5,P94，14,习题3,3-4，An为21,P34, 6, 22,P39,6)121()kEAEAAA问题问题1.4.1（见11，习题3.2.8，21,P50,3(2)）1.1nnEJEJn证明可逆且逆为设

8、Jn为所有元素全为1的n（1)阶方阵，2 2问题的已有解法问题的已有解法下面抄录的11对问题1.1.5的解答：(1) 由题设条件移项得，223AAE等式左边提出公因子A得， 23A AEE13等式两边同时用 数乘得，1233AAEE则A为可逆矩阵，且 1233AAE(2).将 作恒等变形+243A AEEE+2485A AEAEE+24+25A AEAEE 223AAE1425AEAEE112245AEAEAE-为可逆矩阵，且则=-。 这样的解法，对问题这样的解法，对问题1.1.1-1.1.131.1.1-1.1.13中矩阵等式的系数为常数中矩阵等式的系数为常数且且有很好性质的情况下是可行的。

9、当然像问题有很好性质的情况下是可行的。当然像问题1.1.15- 1.1.171.1.15- 1.1.17这样系数为字母的解决就得不那样容易了。这样系数为字母的解决就得不那样容易了。 7给出了问题1.2.1的解法如下：因为2EAEAA22E EAAA EAA 223= EAAAAA12所以和均可逆且，EAEAEAEAA22E EAAA EAA2EAEAA且 22=00EAAAA 2200EAAAA 223= EAAAAA12()EAEAA后，问题就显得复杂了。3那样得心应手了。当然给定的矩阵等式的最高次幂之k 321.2.2290题给定矩阵等式的解决，就不是AAAE 37 的解法对给定的矩阵等式

10、是有效的，但对问0A 问题问题1.1.1-1.1.131.1.1-1.1.13都是由一个矩阵等式，来确定都是由一个矩阵等式，来确定2 2或或3 3个矩阵个矩阵性来说是相当有意义的。性来说是相当有意义的。的可逆性求相应矩阵。对给定的矩阵等式来说，能确定多少个的可逆性求相应矩阵。对给定的矩阵等式来说，能确定多少个形如问题形如问题1.1.161.1.16和和1.1.171.1.17描述的描述的A-kEA-kE的可逆阵，这类的可逆阵，这类问题就一般问题就一般 已有文献都是将给定的矩阵等式，看成是矩阵的线性运算与乘法运算的恒等变形，应用可逆矩阵的重要性质来解答，基本上没有将教材上已经介绍的矩阵多项式与问

11、题解决相联系。 实际上第一节给出的问题中矩阵等式都是以矩阵多项式的形式1A BABEAB（方阵 ， 是可逆的且）3.问题解决的一种可行方法问题解决的一种可行方法出现的。这样可以把问题看成是由给定矩阵A的化零多项式 ( )0f A 来确定形如A-kE的可逆性及逆阵。 定理3.1nA设 阶方阵 的化零多项式是由 0,kf k 所确定， 为常数。如果( )11()( )()2( )(1)( )21()()(1)!fkA kEf k EA kEf kmfkmmA kEaA kEmm（3.13.1）AkE则可逆且 110.mmmmfxa xaxaxa 1110.mmmmfAa AaAa Aa E证明：由

12、多项式的导数的性质及泰勒中值定理知( )2( )( )( )()().2!(1)( )( )( )1()()!(1)!fkf xf kf k x kx kmmfkfkmmx kx kmm（3.2）,(3.2)( ) 0( ) 0和有这样从f Af k( )()( )() .2(1)( )( )21()()( )!(1)!fkA kEf k EA kEmmfkfkmmA kEA kEf k EmmA-kE则可逆且（3.1）成立。 0A-kEf k 可在定理3.1的题设下，是否必有逆?(2,2,3),(1,1,2)A diagA E diag设显然是可逆的，例例3.23.232( )6116(1)

13、 0从，知且易知f xxxxf32( )61160f AAAAE3.2( ) 0f kA kE例说明不是可逆的充要条件！定理定理3.33.3nA设 阶矩阵 的化零多项式是由,(02)A kEtt m 所确定，如果可逆，则存在使得(0)( )( 1)( )( )( ) .( ) 0( ) 0ttfkf kf kfkfk且 110.mmmmfxa xaxaxa 1110.mmmmfAa AaAa Aa E( )( ) 00,1,2.,1tfktm证明：如果结论不成立，那么，则=()0maA kEm这与A-kE可逆矛盾。( )2( )( )( )()().2!(1)( )( )( )1()()!(1

14、)!fkf Af k Ef k A kEA kEmmfkfkmmA kEA kEmm定理定理3.43.4 题设同于 定理3.1且设对 的带余除法式（3.3） 如果 ，则 可逆且xk( )() ( )f xxk g xr( )0rf kAkE这里多项式 g(x) 由（3.3）确定.11()( )( )AkEg Af k （3.4） 证明：由带余除法的性质知（3.3）中 ，且( )rfk( )g x是多项式，这样当 时，( )0f x () ( )( )AkE g Af k E 这说明 可逆，结论成立 。AkE 除式为一次因式的带余除法，有更为简单“综合除法”的形式。这样将矩阵多项式与化零矩阵等式

15、相结合，可实施以下的步骤： 对给定的化零矩阵等式，得相关的化零多项式 ；1)( )f x 由泰勒中值定理或综合除法给出 的等价表示2)( )f x（3.3）； 如果 ，则 可逆，且逆阵可3)( )0f k AkE-AkE由（3.1）或（3.4）确定。 例例3.5 3.5 问题1.1.5中矩阵 的化零多项式为 A（2） 由（3.1）得 223f xxx（1） ， 由定理3.1知 可逆。25f 2AE( 2)6f 111262455AEEAEAE 例例3.63.6 问题1.2.1的化零多项式为 ， 3f xx 110f 110f AEAE从 ， 和定理3.1知 , 都可逆。 112 11 112E

16、AAEffEAEAEf 2EAA12 EAEAA同理，。 例例3.7 3.7 问题1.1.11中矩阵 的化零多项式A 222211 1f xxxx 知对任意实数 ，总有 ，因此从定理3.1知k 0f k AkE 是可逆的，从 和 （3.1）知 222f kkk122122221 222AkEkEAkEkkAkEkk 问题1.1.17也可用类似的方法解决，从A 的化零多项式 232f xxx知2320fnnn由定理 知对任意正整数 来说 AnE可逆，且从 23fnn 3.1n和 (3.1) 知12132AnEfn EAnEnn 21332AnEnn 例例3.8 3.8 问题1.2.2的化零多项式

17、 32291f xxxx用2x去除 f x得综合除法2 1291201810917因此 22917f xxx，由定理3.3知 2170f2AE，是可逆的，且1212917AEAE 例例3.93.9设 阶矩阵 满足 （k为正整数），则nA0kA A的化零多项式为 ，( )kf xx由定理3.1和( )0kf tt知AtE可逆，且从（3.1）和 12(1)( ),( )(1),( )! ,kkkf tktftk ktftk t知1211(1)()()()2kkkkk kktEAtEkt AtEAtEt 1()AtE的化零多项式。 ，所以为从和定理3.1知 是可逆的，是可逆的， 由（3.1）得这样2

18、( )f xxnxnJnJE()nEJ即(1)10fn . 1nJn 3 10例设为所有元素全为1的（）方阵，因此，,(1,1,1)TTnJeee11()()(2)()1nnnEJJEn EJEn 11nEJn3AE( 3)9 18810f 例例3.113.11 问题1.1.7： 为实矩阵，且 证明：是正交矩阵。证明： 为实对称矩阵的化零多项式， 从和定理3.1知可逆，且2( )68f xxx2680AAE3AEATAA1(3 )( 3)(3 )AEfEAEnn3AE对n阶矩阵A，若有常数a,b存在，使得()()0AaEAbE称A为由a,b所确定的二次矩阵（见17,18）( , )(1,0)a

19、 b (1, 1)2AA2AE当或时，即为通常的幂等矩阵或对合矩阵。或 由幂等矩阵、对称矩阵的特殊结构，特别是应用的广泛，现行的线性代数，很多将这两类矩阵作为教学内容，并且有 定理定理3.5 （见1,P110,2,p109等） ( )()r Ar AEn2AA 当 时 （3.5） ()()r AEr AEn2AE当 （3.6） 时 ab，当时()()0AaEAbE211()()AaEAaEbaba定理定理3.6 nab设为阶矩阵满足A()()r AaEr AbEn证明：由（ 3.5 ）和（ 3.6）得11()()nrAaErAaEEbaba如果 ，则()()0AaEAbE1()() )r Aa

20、ErAaEba Eba()()r AaEr AbE 应用二次矩阵与其化零多项式的性质，很容易将幂等矩阵（算子）的性质推广到更一般的情况。 参考文献参考文献1.同济大学应用数学系编.线性代数（第四版），高等教育出版社，北京，2004年4月.2.陈建龙，周建华，韩瑞珠，周后行.线性代数，科学出版社，北京，2009年1月. 3.吴赣昌.线性代数（理工类），中国人民大学出版社， 北京，2006年6月.5.居于马，林翠琴 .线性代数学习指南，清华大学出 版社，北京 2005年9月. 4.同济大学应用数学系编.线性代数.清华大学出版社，北京，2007年5月6.居于马，林翠琴.线性代数简明教程，清华大学出版

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