学生cha1三维欧氏空间中张量2

1、11.1 1.1 正交坐标系的转动正交坐标系的转动1.2 1.2 物理量在空间转动变换下的分类物理量在空间转动变换下的分类1.3 1.3 物理量在空间反演变换下的进一步分类物理量在空间反演变换下的进一步分类1.41.4 1.5 1.5 第一章第一章 三维欧氏空间中的张量三维欧氏空间中的张量21.1 1.1 正交坐标系的转动正交坐标系的转动曲线坐标系曲线坐标系: :三维空间交于一点不共面的三维空间交于一点不共面的 三条曲三条曲( (射射) )线线( (坐标轴坐标轴) )正交曲线坐标系正交曲线坐标系: : 方向矢量方向矢量( (基矢基矢) )记为记为 , ,满足满足ie1 2 3(, , )ixi

2、 ijijee 如：直如：直(斜斜)角坐标系角坐标系; 球坐标系球坐标系; ; 柱坐标系；柱坐标系； 1( )x x2()y x3()z xSO讨论三维直角坐标系讨论三维直角坐标系1.1.1 1.1.1 （三维）坐标系（三维）坐标系32()y x3()z xO1( )x x右旋右旋右旋坐标系右旋坐标系: :1230()eee 左旋坐标系左旋坐标系: :1230()eee 2()y x3()z xO1( )x x左旋左旋4考虑右旋直角坐标系。讨论绕原点的坐标系转动考虑右旋直角坐标系。讨论绕原点的坐标系转动ijije ea 1.1.21.1.2 转动变换矩阵转动变换矩阵有有转动前坐标系为转动前坐标

3、系为 ，基矢为，基矢为123:S Ox x x123,e e e转动后坐标系为转动后坐标系为 ，基矢为，基矢为123:SOx x x 123,e e e 则则111 112 213 3221 122 223 3331 132 233 3ea ea ea eea ea ea eea ea ea e 基矢的变换基矢的变换(1.2)(1.2)一对重复指标一对重复指标( (哑指标哑指标) )表示对从表示对从1 1到到3 3求和求和iijjea e 上式记为上式记为1 2 3, ,i (1.1)(1.1)511112131221222323313233eaaaeeaaaeeaaae 1112132122

4、2331323aaaaaaaaaa 矩阵表示形式矩阵表示形式(1.3)(1.3)(1.3)(1.3)可写为可写为记记eae (1.4)(1.4)坐标的变换坐标的变换考虑空间考虑空间P P点点, ,在在S S系中坐标为系中坐标为123(,)x x x 位矢位矢1 12 23 3iiOPxex ex exe 123(,)x x x在在 系中坐标为系中坐标为 ，位矢为，位矢为S iiOPxe 6kkjjx ex e 用用 点乘，有点乘，有ie kkijjix eex ee 得得iiijjxa x 即转动后坐标满足即转动后坐标满足112233iiiiijjxa xa xa xa x 1 2 3, ,i

5、 11112131221222323313233xaaaxxaaaxxaaax 可写成可写成(1.5)(1.5)(1.6)(1.6)因为转动前后位矢不变，故有因为转动前后位矢不变，故有及及xax 1.1.31.1.3 变换矩阵的特性变换矩阵的特性2222123iiLxxxxx x OPOP的间距为的间距为因为间距与坐标系转动无关，故因为间距与坐标系转动无关，故22xx 7ijikjka a Ta aI 故有故有写成矩阵形式写成矩阵形式, ,有有I:3:3* *3 3单位矩阵单位矩阵三维转动变换系数矩阵三维转动变换系数矩阵a 是正交矩阵是正交矩阵(1.7)(1.7)(1.8)(1.8)()()i

6、iijjikkijikjkjjx xa xa xa a x xx x 将将(1.5)(1.5)式代入得式代入得基矢的转动变换基矢的转动变换jjjjx ex e ()()jjijjiijijx eex eexee x 点乘点乘ie 得得ijijaee 转置有转置有对对eae TTTee a 8jiijeea TTee a 上式右乘上式右乘a a可得可得其分量形式其分量形式(1.9)(1.9)jiijjixxaxx (1.12)(1.12)(1.7)(1.7)式的正交关系分别为式的正交关系分别为iijkjkxxxx (1.13)(1.13)(1.10)(1.10)对对(1.5)(1.5)式两边微商

7、后可将式两边微商后可将 写成写成对坐标变换成立，即对坐标变换成立，即TTTTe ae a ae 即即ijajiijxx a (1.11)(1.11)91.2 1.2 物理量在空间转动变换下的分类物理量在空间转动变换下的分类( (三维空间的三维空间的) )场：物理量是空间坐标的函数场：物理量是空间坐标的函数( )( )rr (2.1)(2.1)标量场标量场: : 一个量一个量 且空间转动变换下不变且空间转动变换下不变, ,即满足即满足 坐标坐标 一样变换一样变换, ,即即( )( )iijjA ra A r (2.2)(2.2)记为记为矢量场矢量场: : 三个量三个量 在空间转动变换下像在空间转

8、动变换下像1 2 3( ) (, , )iA ri ix( )A r( )iA r: :第第i i个分量个分量列矢形式列矢形式, , 行矢行矢: :123AAA 123,AAA10( (两个坐标分量乘积的变换为两个坐标分量乘积的变换为 ) )像两个坐标分量的乘积像两个坐标分量的乘积 一样变换一样变换1 2 3( , , )ijx xi j 即即( )( )ijiljmlmT ra a Tr (2.3)(2.3)二阶张量二阶张量: : 九个量九个量 且在空间转动变换下且在空间转动变换下1 2 3( ) ( , , )ijT ri j 记为记为( )T r( )ijT r: :第第 个分量个分量(

9、 , )i j3 3* *3 3矩阵表示矩阵表示ijiljmlmx xa ax x 111213212223313233TTTTTTTTT 11类似地类似地,3,3n n个量个量 在转动变换下在转动变换下1 2121 2 3( ) ( , , , )nni iiTri ii 像像n n个坐标分量的乘积个坐标分量的乘积12121 2 3( , , , )niiinx xxi ii 变换变换即即1 21 12 21 2( )( )nn nni iii ji ji jj jjTra aaTr 称为称为n n阶张量阶张量( )( )nTr(2.4)(2.4)1 2( )ni iiTr是是 第第 个分量

10、个分量12( , , )ni ii( )( )nTr标量是零阶张量标量是零阶张量, ,矢量为一阶张量矢量为一阶张量四维空间：四维空间：n n阶张量阶张量: : 个分量个分量4n12例例2.1 2.1 试证试证 是三维矢量是三维矢量/iix 证明证明: :例例2.2 2.2 试证试证 是三维欧氏空间中的二阶张量是三维欧氏空间中的二阶张量ij 张量的判断张量的判断证明证明: : 由由()jijjijiiijY x xxxYxxxxxx 即得即得iijja 三维矢量三维矢量 证明证明: : 由由iijjea e 可得可得ijiljmlmeea a ee 由于基矢正交性由于基矢正交性, ,得得ijil

11、jmlma a 有有 ,iilljjm mea eea e 13若张量若张量满足满足1 22 1nni iii iiTT 1 2ni iiT(2.5)(2.5)则分别称张量则分别称张量T T相当于指标相当于指标 是对称的和反对称的是对称的和反对称的12( , )i i构造张量构造张量T T关于指标关于指标 的对称部分和反对称部分的对称部分和反对称部分12( , )i i对称部分对称部分 1 21 22 12nnni iii iii iiTTT 反对称部分反对称部分 1 21 22 12nnni iii iii iiTTT 则则1 21 21 2nnni iii iii iiTTT 取取n=2n

12、=2可得结论：任意二阶张量都可以表示为可得结论：任意二阶张量都可以表示为一个对称张量一个对称张量( (矩阵）和一个反对称张量矩阵）和一个反对称张量( (矩阵矩阵) )之和之和(2.6)(2.6)(2.7)(2.7)如二阶张量的表示矩阵为对称矩阵或反对称矩阵如二阶张量的表示矩阵为对称矩阵或反对称矩阵ijjiTT 141.3 1.3 物理量在空间反演变换下的分类物理量在空间反演变换下的分类空间反演空间反演特点：改变了坐标系的左、右旋特点：改变了坐标系的左、右旋xyzSOx y z S OP右旋右旋左旋左旋1.3.11.3.11 2 3, ,iixxi 2e1e3e定义为定义为15则为真正的张量则为

13、真正的张量, ,简称张量简称张量若若n阶张量阶张量T的分量的分量按照下式变换按照下式变换1 21 21( )nnni iii iiTT (3.3)(3.3)称为赝张量称为赝张量在空间反演下在空间反演下, ,若若 的分量按的分量按n个坐标乘积的个坐标乘积的反演变换规律变换反演变换规律变换, ,即即1 21 2( )nnni iii iiTT (3.2)(3.2)赝张量，赝矢量，赝标量赝张量，赝矢量，赝标量1.3.21.3.2( )nT( )nn 称为场的空间宇称称为场的空间宇称16赝标量赝标量1n ( (轴轴) )矢量矢量1n 二阶赝张量二阶赝张量1n 标量标量1n ( (极极) )矢量矢量1n

14、 二阶张量二阶张量1n 常见的空间宇称为常见的空间宇称为标量标量坐标系反演时数量和符号不变坐标系反演时数量和符号不变如质量，电荷，温度等如质量，电荷，温度等赝标量赝标量 反演时符号改变。如极矢量反演时符号改变。如极矢量 的混合乘积的混合乘积()CA B , ,A B C17不变张量不变张量: :1.3.31.3.3若张量若张量 在坐标转动变换不变在坐标转动变换不变1 21 2( )( )nni iii iiTrTr (3.4)(3.4)1 2ni iiT例例3.1 3.1 不变矢量是零矢量不变矢量是零矢量例例3.2 3.2 是一个二阶对称张量是一个二阶对称张量, ,而且是不变张量而且是不变张量

15、ij 证明证明: :0AaAAaAAaIA 证明证明: :ijjiijjieeee 又二阶张量又二阶张量 为一单位矩阵为一单位矩阵ij I故故TTIaIaaaI 不变张量不变张量二阶对称张量二阶对称张量18共共2727个分量，个分量，6 6个不为零个不为零110ijk i,j,ki,j,k为为(1,2,3)(1,2,3)的正循环的正循环i,j,ki,j,k为为(1,2,3)(1,2,3)的逆循环的逆循环其它情况其它情况(3.5)(3.5)1231 全反对称张量全反对称张量ijkjikikjkji (3.6)(3.6)1.3.4 1.3.4 符号符号 和和 的关系的关系ijk ij Levi-C

16、ivita符号的定义符号的定义1 12 23 3如：如：构成三阶全反对称张量构成三阶全反对称张量19 3 33 3矩阵的行列式的计算为矩阵的行列式的计算为123123123detijkijkAAABBBAB CCCC (3.7)(3.7)对于一个二阶张量对于一个二阶张量 , ,以其分量以其分量 为矩阵元的行列式为为矩阵元的行列式为ija111213212223123313233det( )detlmnlmnaaaaaaaa a aaaa (3.8)(3.8)det()detTAA 易验证易验证a20上式可写成上式可写成111222333detdetlmniliminlmnlmnijklmnjl

17、jmjnlmnklkmknaaaaaaaaaaaaaaaaaa 相邻两列交换改变符号相邻两列交换改变符号相邻两行交换改变符号相邻两行交换改变符号将将 移到等式左边得移到等式左边得: :111222333detdet( )lmnlmnlmnlmnaaaaaaaaaa lmn 21123123123detdet()det( )iiiTjjjlmnlimjnkijkijkkkkaaaaaaa a aaaaaa (3.10)(3.10)的转置矩阵的转置矩阵a112131122232132333detTaaaaaaaaaa 123123123det( )detiiiijkjjjijklmniljmknk

18、kkaaaaaaaa a aaaa 类似地类似地相邻两行交换改变符号相邻两行交换改变符号(3.9)(3.9)22由此得由此得123111123222333123detdetiiilmnijklmnjjjlmnlmnkkk 当当1(,det( )ijijaaIa 则由则由(3.9)(3.10)(3.9)(3.10)两式得两式得123123123123123123detdetiiiiiiijkjjjjjjkkkkkk (3.11)(3.11)23利用公式利用公式 detdetdet( )ABAB 可得可得123111123222333123detdetiiilmniliminijklmnjjjlm

19、njljmjnlmnkkkklkmkn (3.12)(3.12)在在(3.12)(3.12)式中取式中取nk 3detdetilimikilimikijklmkjljmjkjljmjkklkmkkklkm 上式中第一行第一列满足上式中第一行第一列满足1 12233ilililipplil 24上式中取上式中取mj 332detdetilijilijijkljkjljjjlilijjlil 上式中取上式中取 ，有，有li 22 33!ijkijkii (3.15)(3.15)(3.16)(3.16)ijklmkiljmimjl (3.14)(3.14)3detdetdetdetilimiliki

20、mikkmkljljmjljkjmjkilimiljmimjljljm (3.13)(3.13)25例例3.3 3.3 证明证明 满足满足ijk ()ijkijkeee (3.17)(3.17)其中其中: “+”: “+”号适用右旋系号适用右旋系,“-” ,“-” 适用左旋系适用左旋系证明证明: : 正交坐标系中的基矢满足关系正交坐标系中的基矢满足关系ijkeee (3.18)(3.18)其中其中(i,j,k)(i,j,k)是是(1,2,3)(1,2,3)的正循环的正循环“+”:“+”:右旋系右旋系,“-” :,“-” :左旋系左旋系于是于是123123123deteeeA BAAABBB (

21、3.19)(3.19)26123123123()detAAAA BCBBBCCC (3.20)(3.20)而而()()()iijjkkijkijkA BCAeB eC eAB C eee 根据根据(3.7)(3.7)式式,(3.20),(3.20)式化为式化为123123123()detijkijkAAAA BCBBBAB CCCC 比较以上两式比较以上两式, ,有有()ijkijkeee (3.21)(3.21)(3.20a)(3.20a)27例例3.4 3.4 试证试证 的的2727个分量构成一个三阶赝张量个分量构成一个三阶赝张量ijk 证明证明: : 考虑右手系。注意在坐标转动变换下不变

22、考虑右手系。注意在坐标转动变换下不变iijjea e 有有利用基矢的转动变换利用基矢的转动变换()()ijkijkiljmknlmniljmknlmneeea a aeeea a a 三阶三阶( (不变不变) )张量张量空间反演空间反演, ,右旋系为左旋系右旋系为左旋系()() () ()()ijkijkijkijkijkeeeeeeeee 赝张量赝张量28利用利用(3.17)(3.17)和和(3.21)(3.21)可得可得()()iijjkkjkijkA BeAeB eA B (3.22)(3.22)对于一个二阶反对称张量对于一个二阶反对称张量 , ,可以利用可以利用()ijijji ijk

23、 构造一个矢量构造一个矢量 为为i 12iijkjk (3.24)(3.24)ijkjkiABA B e (3.23)(3.23)121312231323000 对应关系对应关系123213312 29则则A A和和B B的张量积用的张量积用 表示表示, ,定义为定义为: :1.4 1.4 张量代数张量代数代数运算代数运算1.1.加法加法: :张量的和张量的和( (差差) )为对应分量的和为对应分量的和( (差差) )， ( (须同阶须同阶) )AB 1 21 21 2()nnni iii iii iiABAB 2.2.数乘数乘: : 张量和标量的乘法张量和标量的乘法. :. :实（复）数实（

24、复）数1 21 2()nni iii iiAAA (4.1)(4.1)(4.2)(4.2)3.3.张量积张量积( (并矢并矢) ): : 若若A: mA: m阶阶;B: n;B: n阶阶, ,1 21 21 21 2()mnmni iij jji iij jjABAB (4.3)(4.3) m+nm+n阶阶ABBA 一般情况下一般情况下304.4.缩阶缩阶: : 运算运算两个矢量的并矢两个矢量的并矢ijijfgf gT 二阶张量二阶张量1 2rsnr si iiiii iT (4.4)(4.4)称为称为n n阶阶(n1)(n1)张量张量T T的指标的指标 与与 之间的收缩之间的收缩即对任意二指

25、标求和。即对任意二指标求和。risi5.5.二阶张量的二阶张量的迹迹: :ijijiitr TTT (4.5)(4.5)n n阶张量的缩阶可以得到一个阶张量的缩阶可以得到一个n-2n-2阶张量阶张量以下运算都属于缩阶运算以下运算都属于缩阶运算6.6.两个矢量两个矢量A A和和B B的的标积标积( (点乘点乘) ): :()iiijijijijA BABABT (4.6)(4.6)317.7.点乘点乘: : 一次点乘一次点乘iiT tTt (4.7)(4.7)两个张量相邻一对指标求和两个张量相邻一对指标求和一般地不满足交换律一般地不满足交换律二次点乘二次点乘:ij jiT tTt (4.8)(4

26、.8)多次点乘依此类推多次点乘依此类推:()()ab cdb c a d 若若 均为矢量均为矢量, ,有有标量标量, , ,a b c d8.8.叉积叉积: : 两个张量的叉积可得两个张量的叉积可得1212()()jiijkkTTT e eeT (4.9)(4.9)一般不满一般不满足交换律足交换律32证明：证明：特例特例: :两个矢量两个矢量ab ()()()abca c ba b c 9.9.利用关系式利用关系式 和和3.22,3.233.22,3.23两式两式ijklmkiljmimjl 可证可证()()()()()iijkjkiijkjklmlmijlmijklmkijlmiljmimj

27、lijijijjiabcea bceabce a bce a bce a bce a b ca c ba b c (4.10)(4.10)10. 10. 其它公式其它公式() ()()()()()abcda c b da d b c ()()ab cbca (4.11)(4.11)3311.11.单位张量单位张量: :ij (4.11)(4.11)坐标坐标100010001 特点特点:1):1)与任何矢量与任何矢量f f点乘点乘fff (4.14a)(4.14a)iijjkk 矩阵矩阵2)2)与任何张量点乘与任何张量点乘0( )( )( ),nnnTTTn (4.14b)(4.14b)3)3)与二阶张量二次点乘为张量的迹与二阶张量二次点乘为张量的迹222( )( )( ):()iiTTtr TT (4.14c)(4.14c)() ()()()abcdab d cab c d 2()()ikikkiTa ba bab 12iijkjkT (4.14)(4.14)341.5 1.5 张量分析张量分析在三维直角坐标系中在三维直角坐标系中, ,微分算子微分算子( (极矢量极矢量) )定义为定义为xyzxxyyzziieeeeeeexyz (5.1)(5.1)微分算子对张量场微分算子对张量场 的作用的作用( (微分运算微分运算) )( )T