第三讲无穷远点

1、返回返回第三讲、无穷远点的留数计算第三讲、无穷远点的留数计算1、孤立奇点的定义及分类、孤立奇点的定义及分类2、无穷远点的留数计算、无穷远点的留数计算3、思考与练习、思考与练习上页上页 返回返回 结束结束1、孤立奇点分类、孤立奇点分类 定义定义 如果函数如果函数)(zf在无穷远点在无穷远点 z的去心邻域的去心邻域 zR内解析，那么称点内解析，那么称点 为为)(zf的孤立奇点。的孤立奇点。 为为)(zf的的非孤立奇点非孤立奇点充分必要充分必要条件条件是是存在存在)(zf的的一一列列奇点奇点2 , 1 nnz满足满足)( nzn。 作作变变换换zt1 ，并并规规定定此此变变换换把把扩扩充充 平平面面

2、上上的的无无穷穷zt远点远点 z映射成扩充映射成扩充 平面上的点平面上的点0 t。 从而从而zt1 把扩充平面上把扩充平面上 的去心邻域的去心邻域 zR映成映成扩充扩充t平面上原点的去心邻域平面上原点的去心邻域Rt1|0 。 上页上页 返回返回 结束结束又又那那么么就就称称点点 z是是)(zf的的可可去去奇奇点点、m 级级极极点点或或本本性性奇奇点点。我我们们规规定定：如如果果0 t是是)(t 的的可可去去奇奇点点、m 级级极极点点或或本本性性奇奇点点，)()1()(ttfzf 显显然然,)(t 在在去去心心邻邻域域Rt1|0 内内是是解解析析的的，)(t 所所以以0 t是是)(t 的的孤孤立

3、立奇奇点点。 设设)(zf在在 | zR内洛朗展式为内洛朗展式为 nnnzczf)(。 )(t 在在Rt1|0 内的洛朗展式为：内的洛朗展式为： nnnntctcctctct1011)( 其其中中t的的负负幂幂项项对对应应 的的正正幂幂项项。 z上页上页 返回返回 结束结束ii)含含有有有有限限多多的的正正幂幂项项，且且mz为为最最高高正正幂幂； 中，中，i)不含正幂项；不含正幂项；iii)含有无穷多的正幂项；含有无穷多的正幂项；那那么么 z是是)(zf的的 i)可可去去奇奇点点；相应的，我们有：如果在级数相应的，我们有：如果在级数 nnnnnnzczczf 01)(nnnnnnzcczc 1

4、01), 2, 1, 0()(211 ndficCnn ii)m级极点；级极点；iii)本性奇点。本性奇点。 上页上页 返回返回 结束结束利用函数在有限点的奇点等价性质和上述定义可得：利用函数在有限点的奇点等价性质和上述定义可得：孤立奇点孤立奇点 为为)(zf的的 1 1） 可去奇点，可去奇点，2 2）极点，）极点，3 3）本性奇点）本性奇点 的充分必要条件分别是的充分必要条件分别是 1 1）)()(lim azfz； 2 2） )(limzfz； 3 3）)(limzfz 不存在也不为不存在也不为 。 当当 z是是)(zf的可去奇点时，我们可认为的可去奇点时，我们可认为)(zf在在 是解析的

5、，只要取是解析的，只要取)(lim)(zffz 注注：如如果果不不对对)(zf在在 点点的的取取值值情情况况做做特特别别说说明明，我我们们 总认为总认为 为为)(zf的奇点。的奇点。 上页上页 返回返回 结束结束解：解：11lim)1 zzz所以所以 为为可去可去奇点奇点。 所以所以 为它的一级极点。为它的一级极点。 2)zzzf1)( ，含含有有正正幂幂项项，且且 为为最最高高正正幂幂项项， z例例 1、判判定定 分分别别是是下下列列函函数数的的哪哪类类奇奇点点。1)2)3)zz 1zz1 zsin3) 函数函数zsin的展开式：的展开式：若若 为为)(zf的的孤孤立立奇奇点点，那那么么 为

6、为 级级极极点点的的充充分分必必要要 条件是条件是)0 ,()(lim azzfmz m对对m级极点我们有如下判定结论：级极点我们有如下判定结论：上页上页 返回返回 结束结束例例 2 2、 函数、 函数 332)(sin)2)(1()(zzzzf 在扩充平面内有些什在扩充平面内有些什么类型的奇点？如果是极点，指出它的级。么类型的奇点？如果是极点，指出它的级。 易知，函数易知，函数 zf除使分母为零的点除使分母为零的点2, 1, 0 z强调：对强调：对的奇点分类是以的奇点分类是以处洛朗展式的正幂项为处洛朗展式的正幂项为判断依据的，这与有限点处不一样！判断依据的，这与有限点处不一样！ 解：解：由由

7、于于zz cos)(sin 在在2, 1, 0 z处处均均不不为为零零，外，在外，在 z内解析。内解析。 含有无穷多的正幂项，含有无穷多的正幂项， )!12()1(! 5! 3sin1253nzzzzznn所以所以 是它的本性奇点。是它的本性奇点。 上页上页 返回返回 结束结束当当)2 , 1( kkz时时，当当2 z时时，因为因为 32233222)sin2()1(lim)(sin)2)(1(lim)(limzzzzzzzzfzzz 3332031)sin(1)2(lim 所所以以2 z是是)(zf的的可可去去奇奇点点。是是)(zf 的三级极点。的三级极点。 注意到注意到 kzlim 所以所

8、以 为为)(zf的的非孤立非孤立奇点奇点。 因因)1)(1(12 zzz以以 1 与与1 为一级零点，所以为一级零点，所以 1与与1 是是)(zf的的 2 2 级极点。级极点。 因因此此这这些些点点都都是是z sin的的一一级级零零点点，从从而而是是3)(sin z 的的三级零点。三级零点。上页上页 返回返回 结束结束说明说明： 在在普通普通复平面复平面内内讨论讨论一个一个函数函数的的奇点奇点问题问题， 如果如果不特别不特别提出提出，不需要不需要考虑考虑 z点点；如果如果是是在在扩充扩充复平复平面内面内，那么那么一定要一定要考虑考虑 z点点。 例例 3 3，在在扩扩充充复复平平面面内内确确定定

9、函函数数z1sin1的的奇奇点点，并并分分类类， 若是极点指明其级。若是极点指明其级。解：函数解：函数zzf1sin1)( 的奇点为的奇点为01sin z的点及的点及0 z 和和 点。点。 z即即)(zf的的奇点奇点为为 ), 2, 1(1, 0kkz 01lim kk由于由于所以所以为非孤立奇点。为非孤立奇点。0又因为又因为0|1cos1|)1(sin112 kkzzzzz 上页上页 返回返回 结束结束的一级极点。的一级极点。的一级零点，为的一级零点，为为为所以所以)(1sin1zfzkz 1sinlim)(lim11 zzzzzzf注意到注意到的一级极点。的一级极点。为为所以所以)(zfz

10、 2、在无穷远点的留数在无穷远点的留数设设函函数数)(zf在在圆圆环环域域 zR内内解解析析，C为为这这圆圆环环内内环环绕绕原原点点的的任任何何一一条条正正向向简简单单封封闭闭曲曲线线,那那末末积积分分 Cdzzf)(i21 的的值值与与无无关关,我我们们称称此此定定值值为为)(zf在在 点点的的留留数数,记记作作C Cdzzfzf)(i21),(Res 上页上页 返回返回 结束结束值得注意的是这里的积分路线的方向是负的值得注意的是这里的积分路线的方向是负的,也就是取也就是取顺时针的方向顺时针的方向.当当1 n时时,有有 Cdzzfic)(211 , 设设 |)(zRzf在在内的洛朗展式为内的

11、洛朗展式为 nnnzczf)( 由由 洛洛 朗朗 展展 式式 定定 理理 Cnndzzzfic1)(21 ， 其其 中中 为为 | zR内内任任意意一一条条绕绕0 z的的简简单单正正向向闭闭曲曲线线。 C1),(Res czf因此因此,上页上页 返回返回 结束结束规则规则 40 ,1)1(Res),(Res2zzfzf 关关于于在在无无穷穷远远点点的的留留数数计计算算，我我们们有有以以下下的的规规则则：事事实实上上，设设)(zf在在 | zR内内解解析析， 那么那么设设)(zf在在 | zR的的洛洛朗朗展展式式为为 那那么么函函数数)1(zf在在 Rz1|0 内解析，从而内解析，从而21)1(

12、zzf在在Rz1|0 内解析。内解析。 zcczczczfnnn1011)()1(zf在在Rz1|0 内内的的展式展式为为 zcczczczfnnn11)1(101上页上页 返回返回 结束结束所以所以0 ,1)1(Res),(Res2zzfzf 内内从而在从而在Rz1|0 20122211111)1(zczcczczzzfnnn从而从而,0 ,1)1(Re12 czzfs1),(Re czfs由于由于例例 4 4、求下列函数在、求下列函数在 点的留数。点的留数。 zzzzzezsin)3)3()2()2)143321721 解：解：2211)1()()1221zezzfezfzz 上页上页 返

13、回返回 结束结束01lim! 112202 zezzz433217)3()2()()2 zzzzf43222)31()21(11)1(zzzzzf 0 ,1)1(Re),(Re2zzfszfs 0 ,1)1(Re),(Re2zzfszfs 1)1()1(1lim43320 zzzzz上页上页 返回返回 结束结束zzzfsin)()3 有有内内在在,|0 z ! 31)! 3(1)(23zzzzzf所以所以0),(Re1 czfs下面这个定理对计算留数很重要。下面这个定理对计算留数很重要。定定理理如如果果函函数数)(zf在在扩扩充充复复平平面面内内只只有有有有限限个个孤孤立立奇奇点点，那那末末)

14、(zf在在所所有有各各奇奇点点（包包括括点点）的的留留数数的的总总和和必必等等于于零零。 注注意意：如如 2 2) )所所表表明明，尽尽管管 为为)(zf的的可可去去奇奇点点，但但不不能能 由由此此得得出出0),(Re zfs，这这点点要要和和有有限限点点区区分分。 上页上页 返回返回 结束结束除除 点外，设点外，设)(zf的有限个奇点为的有限个奇点为), 2 , 1(nkzk 又设又设C为一条绕原点的并将为一条绕原点的并将), 2 , 1(nkzk 包含在它内包含在它内部的正向简单闭曲线部的正向简单闭曲线,那末根据留数定理那末根据留数定理与在无穷远与在无穷远点的留数定义，就有点的留数定义，就

15、有 证：证： nkkzzfzf1),(Res),(Res CCdzzfidzzfi0)(21)(21 上述定理与前面给出的计算规则为我们提供了计算函数上述定理与前面给出的计算规则为我们提供了计算函数沿闭曲线积分的又一种方法，在很多情况下，它比仅利沿闭曲线积分的又一种方法，在很多情况下，它比仅利用留数定理和有限点处留数计算这种方法更简便。用留数定理和有限点处留数计算这种方法更简便。上页上页 返回返回 结束结束因此根据定理因此根据定理 2 与规则与规则 4，),(Re214 zfsidzzzC 0 ,1)1(Res22zzfi 00 ,1Res24 -zzi 解：解：奇点。奇点。函函数数214 z

16、zz在在的的外外部部，除除点点外外没没有有其其他他 例例 5计算积分计算积分 Cdzzz,14为正向圆周：为正向圆周：. 2 zC例例 6 计计算算积积分分，其其中中C为为正正向向圆圆周周：. 2 z,)3)(1()(10 Czzizdz除除 点外，被积函数的奇点是：点外，被积函数的奇点是：3 , 1 , i 解：解：上页上页 返回返回 结束结束0),(Res,3)(Res),1(Res),(Res zfzfzfizf从而从而其中其中.)3)(1()(1)(10 zzizzf由由于于i 与与1在在C的的内内部部,所所以以从从上上式式、留留数数定定理理与与规规则则 4 得得到到1),(Re),(Re2zfsizfsi 原式原式),(Re3),(Re2 zfszfsi 1010)3(0)3(212iiii 上页上页 返回返回 结束结束解：解：1 n时时 原原式式= =iizdzzzzC 2|21122 时时1 n的奇点的奇点个满足个满足外还有外还有除除11)(2 nnnznzzzf内，内，个点都在个点都在，且这，且这rznzk |由留数定理由留数定理 nkkzzfsi1),(Re2 原式原式),(Re2 z