第二节正项级数及其审敛法

1、第二节第二节 正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法1 1、定义、定义: : 1,0nnnaa则称级数则称级数若若为为正项级数正项级数. .2 2、正项级数收敛的充要条件、正项级数收敛的充要条件: :基本定理基本定理.有界有界部分和所成的数列部分和所成的数列正项级数收敛正项级数收敛ns部分和数列部分和数列 为单调增加数列为单调增加数列. .ns .ns正项级数发散部分和所成的数列无界,11均为正项级数均为正项级数和和设设 nnnnba3、正项级数比较审敛法、正项级数比较审敛法1, ), 1,( kknbann且自某项起有且自某项起有.,)1(11也收敛也收敛则则收敛收敛若若 nnnnab.,)2

2、(11也发散也发散则则发散发散若若 nnnnba证明证明nnaaas 21且且 1)1(nnb 设设,nnba , 即部分和数列有界即部分和数列有界.1收敛收敛 nnanbbb 21nns 则则)()2( nsn设设,nnba 且且 不是有界数列不是有界数列.1发散发散 nnb定理证毕定理证毕.例例 1 1 讨论讨论 p- -级数级数 ppppn14131211的收敛性的收敛性. .)0( p 解解,1)1 p设设,11nnp .11发散发散级数级数 npnp,11发散发散而级数而级数 nn,1)2 p设设,1时时当当nxn ,11ppxn nnppxnn1d11 nnpxx1d1pppnns

3、131211 nnppxxxx121dd1 npxx1d1)11(1111 pnp111 p,有界有界即即ns.级数收敛级数收敛则则 p 发散发散时时当当收敛收敛时时当当级数级数,1,111ppnpnp重要基本级数重要基本级数 几何级数几何级数, , p - - 级数级数, , 调和级数调和级数. .例例 2 2 证明级数证明级数 1)1(1nnn是发散的是发散的. 证明证明,11)1(1 nnn,11121发散发散而级数而级数 knkn.)1(11 nnn发散发散级数级数例例 3 3 判判别别级级数数)1(11nnnn 的的敛敛散散性性. 证明证明)1(1)1(1nnnnnn ,121212

4、12323收敛收敛而级数而级数 knnn.)1(11收敛收敛级数级数 nnnn,212123nnn 当级数一般项较复杂时，不容易比较，可用当级数一般项较复杂时，不容易比较，可用下列比较判别法的极限形式下列比较判别法的极限形式,11均为正项级数均为正项级数和和设设 nnnnba4 4、比较审敛法的极限形式、比较审敛法的极限形式:(:(比较审敛法比较审敛法2)则有则有有确定意义有确定意义若极限若极限,limlbannn 两个级数有相同的敛散性两个级数有相同的敛散性 ；(1) 当当 0 l 时时, ,(2) 当当 l 0 时时, ,;11收敛收敛收敛可推出收敛可推出由由 nnnnab(3) 当当 l

5、 时时, ,.11发散发散发散可推出发散可推出由由 nnnnab证明证明lbannn lim)1(由由, 02 l 对于对于,N ,时时当当Nn 22llballnn )(232Nnblablnnn 即即由比较审敛法的推论由比较审敛法的推论, 得证得证.例例 4 4 判判定定下下列列级级数数的的敛敛散散性性: : (1) 11sinnn ; (2) 131nnn ; 解解)1(nnnn3131lim nnn11sinlim , 1 原级数发散原级数发散.)2(nnn1sinlim nnn311lim , 1 ,311收敛收敛 nn故原级数收敛故原级数收敛.,11时的无穷小时的无穷小均为均为和和

6、通项通项均为正项级数均为正项级数和和设设 nbabannnnnn.,)1(11收敛收敛收敛可推出收敛可推出由由的同阶或高阶无穷小时的同阶或高阶无穷小时为为当当 nnnnnnabba.,)2(11发散发散发散可推出发散可推出由由的同阶或低阶无穷小时的同阶或低阶无穷小时为为当当 nnnnnnabba.,)3(性性两个级数有相同的敛散两个级数有相同的敛散时时当当nnba5、比较审敛法、比较审敛法3 (比阶审敛法比阶审敛法)例例 6 6 判别级数判别级数 111lnnkn的敛散性的敛散性. 例例 5 5 判判别别级级数数)0(cos11 knkn的的敛敛散散性性. ,1为正项级数为正项级数设设 nna

7、6 6、比值审敛法比值审敛法 (DAlembert判别法判别法) 则有则有有确定意义有确定意义若极限若极限,lim1 nnnaa级数收敛级数收敛 ；(1) 当当 0 1 时时, ,(2) 当当 1 时时, ,(3) 当当 1 时时, ,级数发散级数发散 ；级数敛散性需另行判定级数敛散性需另行判定. .比值审敛法的优点比值审敛法的优点: 不必找基本级数不必找基本级数. . 两点注意两点注意:1 1. .当当1 时时比比值值审审敛敛法法失失效效; ; ,11发散发散级数级数例例 nn,112收敛收敛级数级数 nn)1( ., !常用比值审敛法常用比值审敛法或指数出现或指数出现的连乘积的连乘积关于关

8、于次幂次幂中含有中含有当当nnnnan,232)1(2nnnnnvu 例例,2)1(211收敛收敛级数级数 nnnnnu,)1(2(2)1(211nnnnnauu 但但,61lim2 nna,23lim12 nna.limlim1不存在不存在nnnnnauu 2. 条件是充分不必要的条件是充分不必要的. . 例例 7 7 判别下列级数的收敛性判别下列级数的收敛性: (1) 1!1nn; (2) 110!nnn; (3) 1!nnnn; 解解)1(!1)!1(11nnuunn 11 n),(0 n.!11收敛收敛故级数故级数 nn, !1010)!1(limlim)2(11nnuunnnnnn

9、101lim nn.10!1发散发散故级数故级数 nnn例例 7 7 判别下列级数的收敛性判别下列级数的收敛性: (1) 1!1nn; (2) 110!nnn; (3) 1!nnnn; !)1()!1(limlim)3(11nnnnuunnnnnn .!1收敛收敛故级数故级数 nnnnnnnnn)1(lim e1 例例 7 7 判别下列级数的收敛性判别下列级数的收敛性: (1) 1!1nn; (2) 110!nnn; (3) 1!nnnn; )22()12(2)12(limlim1 nnnnuunnnn, 1 比值审敛法失效比值审敛法失效, 改用比较审敛法改用比较审敛法,12)12(12nnn

10、 ,112收敛收敛级数级数 nn.)12(211收敛收敛故级数故级数 nnn例例 8 8 判判别别级级数数 12)12(1nnn的的敛敛散散性性. 解解例例 9 9 讨论级数讨论级数)0(11 xxnnn的敛散性的敛散性. 解解1 )1(lim nnnxnxnnnnaa1lim x ,10时时当当 x级数收敛；级数收敛；,1时时当当 x级数发散；级数发散；.1发散发散级数级数 nn,1时时当当 x说明说明:.,lim1lim)1(11比值审敛法失效比值审敛法失效不存在不存在或或若若nnnnnnaaaa .)2(条件是充分不必要的条件是充分不必要的.1lim,11 nnnnnaaa未必有未必有收

11、敛收敛若若即：即：., !)3(常用比值审敛法常用比值审敛法或指数出现或指数出现的连乘积的连乘积关于关于次幂次幂中含有中含有当当nnnnan.,)4(证明证明常用比较审敛法或定义常用比较审敛法或定义一般不可用比值审敛法一般不可用比值审敛法凡涉及抽象证明题凡涉及抽象证明题解解,223cos2nnnnn nnnnn221lim1 , 121 ,21收敛收敛级数级数 nnn 原级数收敛原级数收敛 . .两种判别法可结合应用两种判别法可结合应用. .,1为正项级数为正项级数设设 nna7.7.根值审敛法根值审敛法 (柯西判别法柯西判别法)： 则有则有有确定意义有确定意义若极限若极限,lim nnna级

12、数收敛级数收敛 ；(1) 当当 0 1 时时, ,(2) 当当 1 时时, ,(3) 当当 1 时时, ,级数发散级数发散 ；级数敛散性需另行判定级数敛散性需另行判定. .lim,常用根值审敛法常用根值审敛法级数级数易求的易求的等等当一般项中含有当一般项中含有nnnnnaan .1)1:1的敛散性的敛散性判定级数判定级数例例 nnn2) 2) 判定判定级数级数 131nnnn的敛散性的敛散性. 3 3) ) 判定判定级数级数 143nnn的敛散性的敛散性. 8、利用级数收敛的必要条件可以求数列极限、利用级数收敛的必要条件可以求数列极限例：求数列的极限例：求数列的极限,!lim)1nnnn 2)

13、11(lim)2nnn 9、正项级数的柯西积分审敛法、正项级数的柯西积分审敛法 ( (课本课本Page 240) ).d)(), 2 , 1()()(), 1,111同敛散同敛散与反常积分与反常积分则级数则级数使得使得单减函数单减函数上的连续上的连续若有定义在若有定义在对正项级数对正项级数 xxfananfxfannnnn思考题思考题 设设正正项项级级数数 1nnu收收敛敛, , 能能否否推推得得 12nnu收收敛敛? ?反反之之是是否否成成立立? ? 解解由由正正项项级级数数 1nnu收收敛敛，可可以以推推得得 12nnu收收敛敛,nnnuu2lim nnu lim0 由比较审敛法知由比较审敛法知 收敛收敛. 12nnu反之不成立反之不成