小波分析在去噪中应用

1、小波分析在去噪中的应用哈尔滨工业大学，黑龙江省 哈尔滨市 150001；摘要：本文首先介绍了图像去噪的方法与发展过程。然后介绍了小波变换的基本理论知识，包括连续小波变换和离散小波变换；对基于小波变换的图像去噪进行了概述，同时针对小波去噪的理论和方法进行了介绍，其中包括小波去噪的原理、方法和阈值去噪处理等方面的内容。最后，利用MATLAB对小波阈值去噪进行了仿真和分析，包括硬阀值去噪、软阀值去噪，半软阀值去噪以及自适应模糊阀值去噪。最后通过仿真图对比了各种去噪方式的去噪效果，表明了小波变换进行去噪的优越性。关键词：小波理论；图像处理0 引言图像是信息社会人们获取信息的重要来源之一。在通过图像传感

2、器将现实世界中的有用图像信号进行采集、量化、编码、传输、恢复的过程中，存在大量影响图像质量的因素。因此图像在进行使用之前，一般都要经过严格的预处理如去噪、量化、压缩编码等。噪声的污染直接影响着对图像边缘检测、特征提取、图像分割、模式识别等处理，使人们不得不从各种角度进行探索以提高图像的质量。所以采用适当的方法尽量消除噪声是图像处理中一个非常重要的预处理步骤。然而在很多情况下，图像信息会受到各种各样的噪声影响，严重时甚至会影响到图像中的有用信息，因此，对图像的噪声进行处理就显得非常重要。计算机图像处理主要采取两大类方法：一是在空间域中的处理，即在图像空间中对图像进行各种处理；另一类是把空间域中的

3、图像经过正交变换到频域，在频域里进行各种处理然后反变换到空间域，形成处理后的图像。人们也根据实际图像的特点、噪声的统计特征和频谱分布的规律，发展了各式各样的去噪方法。其中最为直观的方法，是根据噪声能量一般集中于高频而图像频谱则分布于一个有限区间的这一特点，采用低通滤波方式来进行去噪，或对图像进行平滑处理等，这属于第一类图像处理方法。还有就是在频域进行处理，如：傅立叶变换、小波基变换。近年来，小波理论得到了非常迅速的发展，而且由于其具备良好的时频特性，实际应用也非常广泛。其中图像的小波阈值去噪方法可以说是众多图像去噪方法的佼佼者。基本思想就是利用图像小波分解后，各个子带图像的不同特性选取不同的阈

4、值，从而达到较好的去噪目的。而且，小波变换本身是一种线形变换，而国内外的研究大多集中在如何选取一个合适的全局阈值，通过处理低于该阈值的小波系数同时保持其余小波系数值不变的方法来降噪，因而大多数方法对于类似于高斯噪声的效果较好，但对于混有脉冲噪声的混合噪声的情形处理效果并不理想。线形运算往往还会造成边缘模糊，小波分析技术正因其独特的时频局部化特性在图像信号和噪声信号的区分以及有效去除噪声并保留有用信息等方面较之传统的去噪具有明显的优势，且在去噪的同时实现了图像一定程度的压缩和边缘特征的提取。所以小波去噪具有无可比拟的优越性。1 小波变换理论基础1.1 连续小波变换设，其傅里叶变换为，当满足允许条

5、件(完全重构条件)：时，我们称为一个基本小波或母小波(Mother Wavelet)。它说明了基本小波在其频域内具有较好的衰减性。其中，当时，有=0，即同时有。因此，一个允许的基本小波的幅度频谱类似于带通滤波器的传递函数。事实上，任何均值为零(即 )且在频率增加时以足够快的速度消减为零(空间局域化特征)的带通滤波器的冲激响应(传递函数)，都可以作为一个基本小波。将母函数经过伸缩和平移后得到：称其为一个小波序列。其中为伸缩因子，b为平移因子。通常情况下，基本小波以原点为中心，因此是基本小波以为中心进行伸缩得到。基本小波被伸缩为(时变宽，而时变窄)可构成一组基函数。在大尺度上，膨胀的基函数搜索大的

6、特征，而对于较小的则搜索细节特征。对于任意的函数的连续小波变换为：当此小波为正交小波时，其重构公式为：在小波变换过程中必须保持能量成比例，即由于基小波生成的小波在小波变换中对被分析的信号起着观测窗的作用，所以还应该满足一般函数的约束条件： 此即说明具有波动性。为了使信号重构的实现上是稳定的，除了满足重构条件外，还要求的傅立叶变换满足如下稳定性条件：小波的选择并不是任意的，也不是唯一的。它的选择应满足定义域是紧支撑的(Compact Support)，即在一个很小的区间之外，函数值为零，函数应有速降特性，以便获得空间局域化。另外，它还要满足平均值为零。也就是说，小波应具有振荡性，而且是一个迅速衰

7、减的函数。1.2 离散小波变换离散小波变换 (Discrete Wavelet Transform) 在实际应用中，对计算机处理方面更加适用。离散小波的定义表示为()： 则相应的小波变换可由式(14)定义：而离散化小波变换系数则可表示为：其重构公式为：C是一个与信号无关的常数。如何选择和，才能保证重构信号的精度呢?显然，网络点应尽可能密(即和尽可能的小)，因为如果网络点越稀疏，使用的小波函数和离散小波系数就越少，信号重构的精确度也就会越低。由于图像是二维信号，因此首先需要把小波变换由一维推广到二维。令表示一个二维信号，分别是其横坐标和纵坐标，表示二维的基本小波，对应的尺度函数为 。若尺度函数可

8、分离，即：。令是与对应的一维小波函数，则二维的二进小波可表示为以下三个可分离的正交小波基函数：二维多分辨率可分两步进行。先沿方向分别用和做分析，把分解成平滑和细节两部分，然后对这两部分再沿方向用和做同样分析，所得到的四路输出中经，处理所得的一路是第一级平滑逼近，其它三路输出，都是细节函数。如果把和的对应频谱,设想成理想的半带低通滤波器和高通滤波器，则反映的是,两个方向的低频分量，反映的是水平方向的低频分量和垂直方向的高频分量，反映的是水平方向的高频分量和垂直方向的低频分量，反映的是两个方向的高频分量。对图像进行小波变换就是用低通滤波器和高通滤波器对图像的行列进行滤波（卷积），然后进行二取一的下

9、抽样。这样进行一次小波变换的结果便将图像分解为一个低频子带（水平方向和垂直方向均经过低通滤波）和三个高频子带，即用表示水平高通、垂直低通子带，用表示水平低通、垂直高通子带，用表示水平高通、垂直高通子带。分辨率为原来的1/2，频率范围各不相同。第二次小波变换时只对子带进行，进一步将子带分解为，和，分辨率为原来的1/4,频率范围进一步减半，以此类推。所以，进行一次小波变换得到4个子带，进行M次分解就得到3M+1个子带。图1 图像的三级小波分解图2 去噪理论2.1 噪声特性经常影响图像质量的噪声源可分为三类。人们对其生成原因及相应的模型作了大量研究：（1）电子噪声。在阻性器件中由于电子随机热运动而造

10、成的电子噪声是三种模型中最简单的，一般常用零均值高斯白噪声作为其模型，它可用其标准差来完全表征。（2）光电子噪声。由光的统计本质和图像传感器中光电转换过程引起，在弱光照的情况下常用具有泊松分布的随机变量作为光电噪声的模型，在光照较强时，泊松分布趋向于更易描述的高斯分布。（3）感光片颗粒噪声。由于曝光过程中感光颗粒只有部分被曝光，而其余部分则未曝光，底片的密度变化就由曝光后的颗粒密集程度变化所决定，而算曝光颗粒的分布呈现一种随机性。在大多数情况下，颗粒噪声可用高斯白噪声作为有效模型。通过以上分析可以看出，绝大多数的常见图像噪声都可用均值为零，方差不同的高斯白噪声作为其模型，因而为了简便和一般化，

11、我们采用零均值的高斯白噪声作为噪声源。如何评价一个图像经过去噪处理后所还原图像的质量，对于我们判断去噪方法的优劣有很重要的意义。现有的评价方法一般分为主观和客观两种。主观评价通常有两种:一种是作为观察者的主观评价，这是由选定的一组人对图像直接用肉眼进行观察，然后分别给出其对所观察的图像的质量作好或坏的评价，再综合全组人的意见给出一个综合结论。它只是一种定性的方法，没有定量的标准，而且受到观察者的主观因素的影响，评价结果有一定的不确定性。另一种是随着模糊数学的发展，可以用模糊综合评判方法来尽量减少主观因素的影响，实现对图像质量近似定量的评价，不过它仍然没有完全消除主观不确定性的影响，其定量计算公

12、式中的参数往往要依赖专家经验确定。图像质量的客观评价由于着眼点不同而有多种方法，这里介绍的是一种经常使用的所谓的逼真度测量。对于彩色图像逼真度的定量表示是一个十分复杂的问题。目前应用得较多的是对黑白图像逼真度的定量表示。合理的测量方法应和主观实验结果一致，而且要求简单易行。对于连续图像场合，设为一定义在矩形区域，的连续图像，其降质图像为，它们之间的逼真度可用归一化的互相关函数K来表示: 对于数字图像场合设为原参考图像，为其降质图像，逼真度可定义为归一化的均方误差值NMSE：其中，运算符表示在计算逼真度前，为使测量值与主观评价的结果一致而进行的某种预处理。如对数处理、幂处理等，常用的为,、b均为

13、常数。 另外一种常用的峰值均方误差PMSE: 式中，A为的最大值。实用中还常采用简单的形式。此时，对于8比特精度的图像，A=255，M、N为图像尺寸。峰值均方误差PMSE也被表示成等效的峰值信噪PSNR:主观评价和客观评价这两种图像质量评价标准有各自的优缺点。由于人眼视觉特性的准确模型还没有完全建立起来，因此主观评价标准还只是一个定性的描述方法，不能作定量描述，但它能反映人眼的视觉特性。峰值信噪比能够对图像质量给出定量的描述。它是一种数学上统计的处理方法，其缺点是它并不是总能反映人眼的真实感觉。一种折衷的方法是在衡量图像“去噪”算法的优劣时，将主观与客观两种标准结合起来考虑。2.2 小波去噪原

14、理一般地，有用信号通常表现为低频信号或是一些比较平稳的信号，而噪声信号则通常表现为高频信号。所以降噪过程主要进行以下处理：首先对原始信号进行小波分解，则噪声部分通常包含在高频系数中；然后对小波分解的高频系数以门限阈值等形式进行量化处理：最后再对信号重构即可达到降噪的目的。设一个含噪声的信号的模型可以表示成如下形式：其中，是一个标准的高斯白噪声，是噪声级，n是信号长度。若要从被噪声污染的信号中恢复出原始信号，则基于小波分析的去噪方法分为以下3个步骤：(1)计算含噪声信号的正交小波变换。选择合适的小波和小波分解层数，将含噪信号进行小波分解，得到相应的小波分解系数，包括低频系数和高频系数。 (2)对

15、分解得到的小波系数进行阈值处理。选择适当的阈值对每一层小波系数进行量处理。(3)进行小波逆变换。将经阈值处理过的小波系数重构，得到恢复的原始信号估计值。在这3个步骤中，最关键的就是如何选取阈值和如何进行阈值的量化处理。从某种程度上说，它直接关系到信号的质量。2.3 阈值函数阈值函数法(又称小波阈值去噪法)是目前研究和应用比较广泛的去噪方法之一。Donoho教授已经证明:小波阈值去噪法的效果明显优于其它经典的去噪方法。阈值函数法主要是基于在小波高频子空间中，比较大的小波系数一般都是以实际信号为主，而比较小的小波系数则很大程度上都是由噪声产生，因此可通过设定合适的阈值，首先将小于阈值的系数置为零，

16、而保留大于阈值的小波系数，再通过一个阈值函数映射，得到估计系数，最后对估计系数进行逆小波变换，就可以得到去噪后的信号重建。但噪声水平比较高时，容易将原信号的高频部分模糊掉.在这里如何对小波系数进行筛选是阈值函数法的关键步骤.小波系数的筛选又主要依赖于阈值函数和阈值的选择。下面的几种阈值函数体现了对小波系数处理的几种不同方式。为含噪信号小波变换后的小波系数，为阈值，为经阈值函数处理后的小波系数估计值。设是原始小波系数，表示阈值化后的小波系数，T是阈值，代表示性函数，常用的阈值函数有：（1）硬阈值函数 （2）软阈值函数 3 小波对信号进行降噪3.1 一维信号降噪对含噪信号进行分解，从分解中得出高频

17、与低频系数。高频系数对应细节信号，低频系数对应逼近信号。由高频系数中检测噪声，低频系数中识别各分量信号的不同频率。然后，再从去噪的高频信号与逼近的低频信号重构目标信号。 图2 在正弦信号中加入噪声 使用haar小波进行四层分解，各层逼近信号如图3。图3 各层逼近信号各层细节信号如图4。图4各层细节信号3.2 二维信号降噪通过matlab编写的程序对图片进行降噪，结果如图59。图5 原图像图6 带噪声图像图7 硬阈值图像图8 软阈值图像图9 半软阈值图像三种降噪方式的峰值信噪比如表1。表1 降噪方式的峰值信噪比降噪方式硬阈值软阈值半软阈值峰值信噪比69.669.0471.1采用硬阈值降噪，可以很

18、好的保留信号边缘等局部特征，但得到的估计小波系数连续性差；而采用软阈值降噪，得到的估计小波系数连续性好，容易处理，但会降低重构信号的精度，造成边缘模糊。4 基于小波的自适应模糊阈值法降噪4.1 自适应模糊法的提出设为所有像素个数，为的个数，即噪声点个数，为受噪声污染程度。根据噪声率采用不同的滤波窗口进行标准中值滤波。小波系数随着尺度增加也增大的，采用小波系数估计值对其他的小波系数。 其中，随着的增大而减小，为隶属函数，从而使得接近时，趋近于，的整体连续性得到了保证，所以防止了信号发生振荡的现象；而且当时，与的偏差越来越小，使重构信号与真实信号的逼近程度提高。在软阈值算法中，减小了，因此要设法减

19、小此偏差，当的取值介于与之间，使估计出来的小波系数更接近于。基于此思想，在阈值估计当中加入一个模糊隶属函数，的取值就介于与之间了，所以达到了更加好的去噪效果。Donoho6在软阈值算法中给出的阈值，它在不同尺度上是固定的，在本文改进算法中的阈值取为，其中为噪声的方差，为离散采样信号的长度，为分解尺度。4.2 自适应模糊法降噪 算法具体步骤如下：（1）对含噪图像经过中值滤波得到预处理后的图像；（2）对预处理后的图像进行小波变换，对小波系数采取自适应的处理方式，边缘细节的小波系数保持不变，其他小波系数采用模糊软阈值处理；（3）对经过（2）处理后的小波系数进行增强处理；（4）对小波系数进行小波逆变换，得到去噪增强后的图像。仿真结果如下所示：图10 原图像图11 噪声图像图12 自适应阈值降噪图像各方法降噪峰值信噪比如图1