高等数学第六版(同济版)第七章复习资料

1、第七章 微分方程一、微分方程简介：微分方程是在微积分的基础上发展起来的，是数学分析的重要分支，它是从微观入手，通过变量与变化率的关系研究客观世界物质运动的数学模型，因而是从局部出发窥知全局的有效的数学工具，是人类探索世界奥妙的有力武器.例如，1864年，德国天文学家伽勒根据法国数学家勒维烈和英国数学家亚当斯所提供的微分方程的解答，用天文望远镜按图索骥发现了海王星，被传为显示微分方程威力的佳话.二、应用：微分方程在物理学、化学、生物学、天文学、经济学、考古学、心理学等范围广泛的自然科学和社会科学中都得到极有价值的应用.三、分类 ：常微分方程；偏微分方程数理方程.这一章主要给大家介绍微分方程的一些

2、基本概念和常用的微分方程的解法.§7.1 微分方程的基本概念一、实例例1. 一曲线通过点，在该曲线上任意点处的切线斜率为, 求该曲线的方程.解：设所求曲线方程为,由题可知：，或，两端积分得 ， 又时，从而，于是所求曲线方程为 .例2. 列车在平直路上以(相当于)的速度行驶, 制动时获得加速度.问开始制动后多少时间列车才能停住以及列车在这段时间里行驶了多少路程？解：设列车在制动后秒行驶了米，则有函数，由题可得 ，两端积分得 ，上式两端积分得 ，又由于时，有；时，有，从而 ，.又列车制动秒后停止时，从而制动时间，代入，得.以上两个例题的求解过程中都出现了含有未知函数的导数的关系式：；，像

3、这样的方程就是微分方程，有时也简称方程.二、微分方程的基本概念1. 微分方程：一般地，称表示未知函数及其导数与自变量之间关系的方程为微分方程.常微分方程：未知函数是一元函数的微分方程.偏微分方程：未知函数是多元函数的微分方程.2. 微分方程的阶：方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的阶.注：一般地, 阶微分方程的形式是，或.例如：为三阶微分方程；为四阶微分方程.3. 微分方程的解：称使微分方程成为恒等式的函数为微分方程的解.微分方程的通解：称所含独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同的解为微分方程的通解.注：由于通解中任意常数的出现，导致微分方程不能完全确定地反映某一客观事物的规律性

4、.微分方程的特解：称不含任意常数的解为微分方程的特解.如何得到特解呢？有两种办法：一是观察方程直接得到；二是根据已知条件确定通解中的任意常数，这要用到下面的定解方法初始条件：4. 初始条件：(1). 阶方程的初始条件：.(2). 初始问题：.如：例1 中，微分方程为，通解为：，初始条件为：，特解为：.例2 中，微分方程为，通解为：，初始条件为：，特解为：.注：1°.微分方程的解在图形上表示一条曲线，称为微分方程的积分曲线.2°.初值问题的几何意义就是求微分方程的通过点的那条积分曲线.例3. 验证函数(为常数)是微分方程的解，并求满足初始条件 的特解 . 解：对函数求导数，有

5、，由于 ，所以函数是微分方程的解.利用初始条件得，故所求特解为.§7.2可分离变量的微分方程一、可分离变量的微分方程1.一阶对称式微分方程：称形如的微分方程为一阶对称式微分方程.注：1°若，则有；若，则有.2°.有些一阶微分方程可用直接积分法求解，如，转化成，两端积分得到这个微分方程的通解 .有些一阶微分方程不能用直接积分法求解，如.那这样的一阶微分方程又怎样求解呢？这就要用到可分离变量的微分方程及其解法.2.可分离变量的微分方程：称形如的微分方程为可分离变量的微分方程.例如：，当时就是可分离变量的微分方程，即.二、可分离变量的微分方程的解法1. 命题：若可分离变

6、量的微分方程中的函数和连续，且函数和分别是和的原函数，则为微分方程的解，称其为该方程的隐式通解.证明：设是方程的解，有，两端积分得，即，因此满足.反之，设为关系式所确定的隐函数，当时，由隐函数求导法有，即，从而所确定的隐函数是方程的解.注：若，则方程所确定的隐函数也是方程的解.2. 可分离变量的微分方程的求解步骤(1). 分离变量，将方程写成的形式;(2). 两端积分：，得隐式通解；(3). 将隐函数显化.例1. 求微分方程的通解.解：当时，此方程为可分离变量的微分方程，分离变量得 ，两端积分 ，得 ，从而有 .又也是方程的解，故方程的通解为.例2. 解初值问题.解：当时，方程为可分离变量的微

7、分方程，分离变量得 ， 两端积分 ，得 ， 即 .由初始条件得，故所求特解为.例3. 求微分方程的解.解：当时，此方程为可分离变量的微分方程，分离变量得 ， 两端积分得 ，于是为方程的通解.但也是方程的常数解，但不属于通解.说明: 通解不一定是方程的全部解，即特解不总包含于通解中.例4. 已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原子的含量成正比, 又已知时铀的含量为，求在衰变过程中铀含量随时间的变化规律. 解：由题可知 ，为正常数，称为衰变系数，且衰变速度是减小的，此方程为可分离变量的微分方程，分离变量得 ，两端积分得 ，即 . 又由初始条件,有，故所求铀的变化规律为.§7.3齐次方程

8、一、齐次方程：称形如的一阶微分方程为齐次方程.例如：方程是齐次方程，因为.二、齐次方程的解法及步骤(1). 解法：引进未知函数，化齐次方程为可分离变量方程，即用变量替换法求解.(2). 步骤：引进新变量，有及；代入原方程得：；分离变量后求解，即解方程；变量还原，即再用代替.例1. 解方程.解：原方程可化为 ，此方程为齐次方程. 令，则，有 ，于是原方程变为： ，整理得 ，分离变量得 ，两端积分 ， 得 ，用代替上式中的，得到所给方程的通解为 ，或.例2. 解方程.解：原方程可化为， 此方程为齐次方程.令，则，有 ，于是原方程变为：，整理得 ，分离变量得 ，两端积分 ，得 ，或 ，用代替上式中的

9、，得到所给方程的通解为 .§7.4一阶线性微分方程一、一阶线性微分方程：称形如的微分方程为一阶线性微分方程.注：1°.若，则称方程为一阶齐次线性微分方程；2°.若，则称方程为一阶非齐次线性微分方程.二、一阶线性微分方程的解法：1. 一阶齐次线性微分方程的解法: 分离变量法.对方程，当时分离变量得，两端积分得, 或，()又也是原方程的解，故原方程的通解为,().(公式)2. 一阶非齐次线性微分方程的解法: 常数变易法.对方程，设为其通解，其中为未知函数，从而有 ，代入原方程有 ，整理得 ，两端积分得 ，再代入通解表达式，便得到一阶非齐次线性微分方程的通解 ，(公式)

10、即非齐次线性方程通解=齐次线性方程通解+非齐次线性方程特解.例1. 求方程的通解.解：此方程为非齐次线性微分方程，先求对应的齐次线性方程的通解，由于,分离变量得 ，两端积分得 ，整理得 .下面用常数变易法求非齐次线性方程的通解. 令为非齐次方程的通解，从而有 ，将这两式代入非齐次方程得.两端积分得，代入非齐次方程的通解表达式得 .例2. 解方程.解：方法1. 取做自变量，有，为关于及其导数的一阶非齐次线性微分方程.方法2. 作变换 ，则，有 ，代入原方程得 ，即 ，为可分离变量方程.练习：判别下列方程类型(1). ，可分离变量方程.(2). ，齐次方程.(3). ，线性方程.内容小结：本节讲述

11、了一阶线性微分方程的解法: 方法1：先解齐次线性微分方程 , 再用常数变易法解非齐次线性微分方程.方法2：用通解公式：§7.5可降阶的高阶微分方程一、型微分方程的解法求解过程：令，则，两端积分得 ，即 ，再两端积分得，依次通过次积分, 可得方程的含有个任意常数的通解.例1.求微分方程的通解.解：原方程两端积分得 ，两端积分得 ，两端积分得原方程的通解：，.二、型微分方程的解法求解过程：设，则，原方程化为一阶微分方程，设其通解为 ，即 ，两端积分得型微分方程原方程的通解: .例2. 求微分方程满足初始条件的特解.解：原方程属型，设，则，代入原方程有 ，由于，分离变量得 ，两端积分，得

12、，即，从而有，又由初始条件，有，从而 ，两端积分得，又由初始条件，有，于是得所求特解为 .三、 型微分方程的解法求解过程：设，则由隐函数求导法则有 ，于是原方程化为一阶微分方程，设其通解为，即,分离变量得，两端积分得型微分方程的通解：.例3.求微分方程的通解.解：原方程属型，设，则有，代入原方程有 ，当时分离变量得 ，两端积分得 ，即，从而，分离变量得 ,两端积分得 ,即 ，.但也是原方程的特解，故所求通解为.例4.求微分方程满足初始条件的特解.解：设，则有，代入原方程有，整理得，两端积分得 ，由初始条件得，即，从而.于是由，即，又，故，即，分离变量得 ，两端积分得 ，再由初始条件有，于是所求

13、通解为.内容小结：本节讲述了可降阶微分方程的解法：降阶法1. 逐次积分.2. 令，有.3.，则，有.§7.6高阶线性微分方程一、二阶线性微分方程：称形如的方程为二阶线性微分方程.注：1°若，则称方程为二阶齐次线性微分方程；2°. 若，则称方程为二阶非齐次线性微分方程.二、二阶齐次线性微分方程解的结构定理1.若函数是二阶齐次线性微分方程的两个解，则也是该方程的解，其中为任意常数. (叠加原理) 注：不一定是所给二阶齐次线性微分方程的通解.例如：是某二阶齐次线性微分方程的解,则也是该方程的解，但并不是该方程的通解.为解决二阶齐次线性微分方程通解的判别问题, 下面引入函

14、数的线性相关与线性无关.定义:设为定义在区间上的个函数，若存在个不全为的常数，使得，则称这个函数在区间上线性相关，否则称为线性无关.例如：在任何区间上都线性相关，因为取时，；又如： 在任何区间上都线性无关，若在某区间上恒成立，根据二次多项式至多只有两个零点可知，必须全为零.注：两个函数线性相关与线性无关的判别：1°.两个函数的比为常数两个函数线性相关；2°.两个函数的比不为常数两个函数线性无关.思考：若中有一个恒为，则必线性相关.有了函数组线性相关或线性无关的概念后，我们可以得到关于二阶齐次线性微分方程通解结构的定理.定理 2. 若函数是二阶齐次线性微分方程的两个线性无关的

15、特解，则是该方程的通解，其中为任意常数.例如, 二阶齐次线性微分方程有特解：，又常数，则，线性无关，故原方程的通解为 .三、二阶非齐次线性微分方程解的结构 定理 3. 设是二阶非齐次线性微分方程的一个特解，是相应的齐次线性微分方程的通解，则是该非齐次线性微分方程的通解.例如, 二阶非齐次线性微分方程有特解,对应的齐次线性微分方程有通解,因此该方程的通解为.二阶非齐次线性微分方程的特解也可由下述定理求出.定理 4. 设分别是二阶非齐次线性微分方程与的特解,则是二阶非齐次线性微分方程的特解. (二阶非齐次线性微分方程解的叠加原理) 例1. 设线性无关函数都是二阶非齐次线性微分方程的特解，为任意常数

16、，则该方程的通解是 ( ).()； ()；()； ()解：. 与是对应的齐次线性微分方程的特解，且二者线性无关,故是该齐次线性微分方程的通解，再由定理3得是该非齐次线性微分方程的通解.例2. 已知二阶线性微分方程有三个解，求此方程满足初始条件的特解.解：与是对应齐次线性微分方程的解,并且常数，因而与线性无关，故原方程通解为 ，代入初始条件，得，故所求特解为.§7.7常系数齐次线性微分方程一、二阶常系数齐次线性微分方程:称形如的方程为二阶常系数齐次线性微分方程，其中为常数.二、二阶常系数齐次线性微分方程的解法1.特征方程：称方程为二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程.推导：当为常数时，

17、根据指数函数和它的各阶导数都只差一个常数因子的特性，尝试选择适当的常数，使得为二阶常系数齐次线性微分方程的解.对求导得 ，将、及代入二阶常系数齐次线性微分方程，得，由于，从而有，称之为二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程.容易知道特征方程的解对应的指数函数就是上述二阶常系数齐次线性微分方程的解.2.特征根：特征方程的根称为微分方程的特征根. 下面根据特征根的情况研究二阶常系数齐次线性微分方程的解.3.二阶常系数齐次线性微分方程的解(1).当,特征方程有两个相异实根，则微分方程有两个线性无关的特解: ，因此该方程的通解为.(2).当,特征方程有两个相等实根 ，则微分方程有一个特解: ，设另一特解

18、为，其中为待定函数.有，代入原方程得 ，整理得 ，由于以及，故不防取，于是，因此该方程的通解为.(3).当,特征方程有一对共轭复根，这时原方程有两个复数解:，利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解:，因此该方程的通解为.总结：求二阶常系数齐次线性微分方程的通解的步骤.第一步：写出微分方程的特征方程：.第二步：求出特征方程的两个根: ，.第三步：根据特征方程两个根的不同情况，写出二阶常系数齐次线性微分方程的通解：特征根通解例1. 求微分方程的通解.解：该方程的特征方程为，有两个不等实根:，故原方程的通解为.例2.求方程满足初始条件 的特解.解：该方程的特征方程为，有两个相等实根:，因此原方

19、程的通解为 ，将初始条件代入上式得，从而有 和将初始条件代入上式得，于是所求特解为 .例3.求微分方程的通解.解：该方程的特征方程为，有两个共轭复根，因此原方程的通解为 .§7.8常系数非齐次线性微分方程一、二阶常系数非齐次线性微分方程:称形如的方程为二阶常系数非齐次线性微分方程，其中为常数，.二、二阶常系数非齐次线性微分方程的解法(一).解的结构：，其中是对应的二阶常系数齐次线性微分方程的通解，是二阶常系数齐次线性微分方程的特解.下面我们根据的两种常见形式来求二阶常系数非齐次线性微分方程的特解.(二).特解的求法待定系数法：由的特殊形式,给出特解的待定形式，代入原方程比较两端表达式

20、以确定待定系数.1. 型微分方程的特解：若是特征方程的重根，则其特解形式为： ()其中为常数，、为次多项式.求解步骤：设特解为，其中为待定多项式，有，代入原方程并消去, 得, (*). 若不是特征方程的根, 即，则取为另一个次多项式：，代入 (*) 式比较两端同次幂的系数可以得到的值.从而得到特解形式为. 若是特征方程的单根, 即，则为一个次多项式，可取为，用同(1)中的方法可以得到的值.从而得到特解形式为. 若是特征方程的重根, 即，则为一个次多项式，可取为，用同(1)中的方法可以得到的值.从而得到特解形式为.例1. 求微分方程的一个特解.解：该方程为二阶常系数非齐次线性微分方程，属型，其中.原方程对应的齐次线性方程为 ，它的特征方程为 .由于不是特征方程的根，故可设所求特解为，带入原方程得 ，比较系数, 得，解得.于是所求特解为.例2