多因素方差分析(第11章)

1、第二篇第二篇 高级统计方法高级统计方法第十一章第十一章 多因素试验的方差分析多因素试验的方差分析单因素方差分析单因素方差分析完全随机分组设计：处理组完全随机分组设计：处理组随机区组设计：处理组和区组随机区组设计：处理组和区组拉丁方设计：处理组、行区组和列区组拉丁方设计：处理组、行区组和列区组两阶段交叉设计：处理组、区组和阶段组两阶段交叉设计：处理组、区组和阶段组表表11-1 家兔神经缝合后的轴突通过率（）家兔神经缝合后的轴突通过率（）外膜缝合外膜缝合束膜缝合束膜缝合1月月2月月1月月2月月1030105010302050407030705060506010303030均数均数24442852第

2、一节第一节 析因设计的方差分析析因设计的方差分析（factorial design）一、两因素两水平的析因设计一、两因素两水平的析因设计表表11-1 家兔神经缝合后的轴突通过率（）家兔神经缝合后的轴突通过率（）缝合方式缝合方式缝合后时间缝合后时间1月月2月月外膜外膜10301030407050601030束膜束膜10502050307050603030表表11-2 两因素两水平析因设计的均数差别两因素两水平析因设计的均数差别A A因素因素B B因素因素平均平均 差值差值b b1 1(1(1月月) )b b2 2 (2(2月月) )a a1 1( (外膜外膜) )a a1 1b b1 1(24)

3、(24)a a2 2b b1 1(44)(44)34342020a a2 2( (束膜束膜) )a a1 1b b2 2(28)(28)a a2 2b b2 2(52)(52)40402424平均平均262648482222差值差值4 48 86 6效应分类效应分类单独效应单独效应(simple effect)：其他因素的水平固：其他因素的水平固定时，同一因素不同水平间的差别。定时，同一因素不同水平间的差别。主效应主效应(main effect)：某一因素各水平间的平：某一因素各水平间的平均差别。均差别。交互作用交互作用(interaction)：某因素的各个单独效：某因素的各个单独效应随另一

4、个因素变化而变化。应随另一个因素变化而变化。单独效应单独效应当缝合方法（当缝合方法（A因素）固定在外膜缝合（因素）固定在外膜缝合（a1）时，缝合时间（时，缝合时间（B因素）为缝合后因素）为缝合后1月（月（b1）和和2月（月（b2）的轴突通过率之差（单独效应）的轴突通过率之差（单独效应）为为20。同理可计算其他单独效应。同理可计算其他单独效应。主效应缝合方法（缝合方法（A因素）中外膜缝合（因素）中外膜缝合（a1）和束膜）和束膜缝合（缝合（a2）轴突通过滤的差别为）轴突通过滤的差别为6。缝合时间（缝合时间（B因素）中缝合后因素）中缝合后1月（月（b1）和缝）和缝合后合后2月（月（b2）的轴突通过率

5、差别为）的轴突通过率差别为22。交互作用交互作用缝合方法（缝合方法（A因素）和缝合时间（因素）和缝合时间（B因素）的交互作因素）的交互作用表示为用表示为AB=(a2b2-a1b2)-(a2b1-a1b1)/2=2。缝合时间（缝合时间（B因素）和缝合方法（因素）和缝合方法（A因素）的交互作因素）的交互作用表示为用表示为BA=(a2b2-a2b1)-(a1b2-a1b1)/2=2。结论：缝合结论：缝合2个月后束膜缝合和外膜缝合的差异比个月后束膜缝合和外膜缝合的差异比1个月提高了个月提高了2 ；或者说，束膜缝合；或者说，束膜缝合2个月后与个月后与1个个月后的差异，比外膜缝合方法提高了月后的差异，比外

6、膜缝合方法提高了2。图形说明图形说明如果两条直线相互平行，表示两个因素的交如果两条直线相互平行，表示两个因素的交互作用很小；互作用很小；反之，如果两条直线不平行，说明两个因素反之，如果两条直线不平行，说明两个因素可能存在交互作用。可能存在交互作用。两条直线形成的夹角角度越大，越有理由认两条直线形成的夹角角度越大，越有理由认为存在交互作用。为存在交互作用。方差分析方差分析上述得到的结果都是通过样本获得的结果，上述得到的结果都是通过样本获得的结果，要推断总体是否有同样的特征，需进行假设要推断总体是否有同样的特征，需进行假设检验（方差分析）后才能下结论。检验（方差分析）后才能下结论。析因设计的方差分

7、析可将总变异分解为：处析因设计的方差分析可将总变异分解为：处理组间、每个因素的主效应、各因素的交互理组间、每个因素的主效应、各因素的交互作用以及误差。作用以及误差。检验步骤（略）检验步骤（略）表表11-4 析因设计方差分析析因设计方差分析SS分解分解变异来源变异来源自由度自由度 离均差平方和离均差平方和(SS)总总N-1(处理组间处理组间)IJ-1 A因素主效应因素主效应I-1 B因素主效应因素主效应J-1 AB交互作用交互作用(I-1)(J-1)误差误差N-IJ2SSXC总21AiiSSACn221(iiSSABCN处理+)21BjjSSBCnABABSSSSSSSS处 理SSSSSS处理总

8、误差表中表中N为总例数，为总例数，n为各组的例数，为各组的例数，I为为A因素的水平数，因素的水平数，J为为B因素的水平数，因素的水平数，Ai为为A因素第因素第i水平的合计数，水平的合计数，Bj为为B因素第因素第j水水平的合计数，平的合计数，C为校正悉数。为校正悉数。表表11-4 例例11-1试验结果方差分析表试验结果方差分析表变异来源变异来源自由度自由度SSMSFP总总197420(处理组间处理组间)（3）(2620) A因素主效应因素主效应 11801800.600.05 B因素主效应因素主效应 1242024208.070.05误差误差164800300结论结论A因素主效应结论：因素主效应

9、结论：A因素各水平间的差异无统计因素各水平间的差异无统计学意义，不能认为外膜缝合与束膜缝合的作用有差学意义，不能认为外膜缝合与束膜缝合的作用有差异；异；B因素主效应结论：因素主效应结论：B因素各水平间的差异有统计学因素各水平间的差异有统计学差异，说明缝合后差异，说明缝合后1个月的轴突通过率低于缝合后个月的轴突通过率低于缝合后2个月的。个月的。AB交互作用结论：交互作用结论：A和和B的交互作用无统计学意义，的交互作用无统计学意义，说明缝合方法和缝合时间并不随着另一因素的变化说明缝合方法和缝合时间并不随着另一因素的变化而变化。而变化。24析因设计析因设计转染耐转染耐药基因药基因抗癌药物抗癌药物秋水

10、仙碱秋水仙碱长春新碱长春新碱多柔比星多柔比星Vp16Vp16转染转染未转染未转染33析因设计析因设计A药物剂量B药物剂量5g15g30g1.0mg105、85、65115、105、8075、95、852.5mg75、115、80125、130、90135、120、1505.0mg85、120、125 65、120、100180、190、160表表11-4 例例11-1试验结果方差分析表试验结果方差分析表变异来源变异来源自由度自由度SSMSFP总总2628450A因素主效应因素主效应 2657232868.47 0.01B因素主效应因素主效应 2702235119.05 0.01AB交互作用交互

11、作用 4787219685.07 0.01误差误差186983388结论结论A因素主效应结论：因素主效应结论：A因素各水平间的差异有统计因素各水平间的差异有统计学意义，学意义，A药不同剂量镇痛效果不同；药不同剂量镇痛效果不同；B因素主效应结论：因素主效应结论：B因素各水平间的差异有统计学因素各水平间的差异有统计学差异，差异，B药不同剂量镇痛效果不同；药不同剂量镇痛效果不同；AB交互作用结论：交互作用结论：A和和B的交互作用有统计学意义，的交互作用有统计学意义，说明说明A药或药或B药镇痛效果随着另一药物剂量的变化而药镇痛效果随着另一药物剂量的变化而变化，变化，A药药5.0mg和和B药药30ug时

12、镇痛时间最长。时镇痛时间最长。225析因设计析因设计活动环境活动状态军装类型a1a2a3a4a5干燥静坐活动潮湿静坐活动表表11-10 三因素析因分析三因素析因分析SS分解分解主效应主效应一阶交互作用一阶交互作用二阶交互作用二阶交互作用AABABCBACCBC表表11-10 三因素析因分析方差分析表（部分）三因素析因分析方差分析表（部分）变异来源变异来源自由度自由度SSA主效应主效应I-1AB(I-1)(J-1)ABC(I-1)(J-1)(K-1)21AiSSACnJK21 ABCiABCABACBCSSTCSSSSSSnSSSSSS21ABABABSSTCSSSSnK表表11-12 战士的主

13、观热感觉得方差分析表战士的主观热感觉得方差分析表变异来源变异来源自由度自由度SSMSFP总总9935.6A45.21.33.00.05B19.99.923.10.01C1283.3283.3659.20.05AC41.50.40.90.05BC112.712.729.50.05误差误差8034.30.4结论结论A因素主效应结论：因素主效应结论：A因素各水平间的差异有统计因素各水平间的差异有统计学意义，身着不同军装后战士的主观热感觉有所不学意义，身着不同军装后战士的主观热感觉有所不同；同；B因素主效应结论：因素主效应结论：B因素各水平间的差异有统计学因素各水平间的差异有统计学差异，在不同环境中战

14、士的主观热感觉有所不同；差异，在不同环境中战士的主观热感觉有所不同；C因素主效应结论：因素主效应结论：C因素各水平间的差异有统计因素各水平间的差异有统计学差异，在不同活动状态下战士的主观热感觉有所学差异，在不同活动状态下战士的主观热感觉有所不同；不同；结论结论AB交互作用结论：交互作用结论：A和和B的交互作用无统计学意义，的交互作用无统计学意义，说明军装类型和环境不会随着另一因素的改变而改说明军装类型和环境不会随着另一因素的改变而改变；变；AC交互作用结论：交互作用结论：A和和C的交互作用无统计学意义，的交互作用无统计学意义，说明军装类型和活动状态不会随着另一因素的改变说明军装类型和活动状态不

15、会随着另一因素的改变而改变；而改变；BC交互作用结论：交互作用结论：B和和C的交互作用有统计学意义，的交互作用有统计学意义，说明环境和活动状态之间会随着另一因素的改变而说明环境和活动状态之间会随着另一因素的改变而改变，活动状态下战士主观热感觉均较高；改变，活动状态下战士主观热感觉均较高；结论结论ABC交互作用结论：交互作用结论：ABC的交互作用无统计学意义，的交互作用无统计学意义，说明军装类型、环境和活动状态三方面综合考虑，说明军装类型、环境和活动状态三方面综合考虑，彼此的改变不受其他因素的影响；彼此的改变不受其他因素的影响；主要处理因素（军装类型）两两比较的结果：穿第主要处理因素（军装类型）

16、两两比较的结果：穿第4种军装，战士主观热感觉较低，穿第种军装，战士主观热感觉较低，穿第5种军装，战种军装，战士主观热感觉较高，说明第士主观热感觉较高，说明第4种军装散热功能较好，种军装散热功能较好，第第5种军装保温功能较好。种军装保温功能较好。第二节第二节 正交设计的方差分析正交设计的方差分析（orthogonal design）基本概念基本概念多个处理组是各因素各水平的部分组合，或多个处理组是各因素各水平的部分组合，或称析因设计的部分实施；称析因设计的部分实施；能成倍地减少试验次数；能成倍地减少试验次数；以牺牲分析各因素交互作用为代价；以牺牲分析各因素交互作用为代价；只分析有意义的主效应和部

17、分重要因素的一只分析有意义的主效应和部分重要因素的一阶交互作用。阶交互作用。正交设计表正交设计表正交设计各因素各水平的组合方式要查正交正交设计各因素各水平的组合方式要查正交设计表决定。设计表决定。每个正交表都有一个表头符号每个正交表都有一个表头符号LN(mk)，表示，表示正交表有正交表有N行行k列。列。N表示试验次数，表示试验次数，m表示各因素的水平数，表示各因素的水平数，k表示最多可安排的因素个数（交互作用当作表示最多可安排的因素个数（交互作用当作因素）。因素）。正交设计的原则正交设计的原则各实验因素的水平数最好相等。各实验因素的水平数最好相等。 二水平：二水平：L4(23)、L8(27)、

18、L12(211)、L16(215)； 三水平：三水平：L9(34)、L18(37)、L27(313)； 四水平：四水平：L16(45)、L32(49)； 五水平：五水平：L25(56)、L50(511)。正交设计的原则正交设计的原则试验的操作简单或希望得到较多的信息，可试验的操作简单或希望得到较多的信息，可选择较大的正交表。反之，操作复杂或成选择较大的正交表。反之，操作复杂或成本较高的试验，可选择较小的正交表。本较高的试验，可选择较小的正交表。分析交互作用（主要是两因素之间的交互作分析交互作用（主要是两因素之间的交互作用），选较大的正交表。若已知因素间的用），选较大的正交表。若已知因素间的交互

19、作用很小，则选较小的正交表。交互作用很小，则选较小的正交表。表表11-13 L8(27)正交表正交表处理处理列号列号12345671111111121112222312211224122221152121212621221217221122182212112表表11-14 L8(27)正交表的表头设计正交表的表头设计因素因素个数个数实施实施比例比例列号列号123456731ABABCACBCABC41/2ABABCACBCD(CD)(BD) (AD)当各因素存在一阶交互作用时，必须采当各因素存在一阶交互作用时，必须采用表头设计的内容安排各因素的水平。用表头设计的内容安排各因素的水平。例例11-

20、4 研究雌螺产卵的最优条件，在研究雌螺产卵的最优条件，在20cm2的泥盒里的泥盒里饲养同龄雌螺饲养同龄雌螺10只，试验条件有只，试验条件有4个因素，每个因素个因素，每个因素有有2个水平。试在考虑温度与含氧量对雌螺产卵有无个水平。试在考虑温度与含氧量对雌螺产卵有无交互作用的情况下安排正交试验。交互作用的情况下安排正交试验。 A因素因素(温度温度):5和和25 ，按第，按第1列安排列安排;B因素因素(含氧量含氧量):0.5和和5.0，按第，按第2列安排列安排;C因素因素(含水量含水量):10和和30，按第，按第4列安排列安排;D因素因素(pH值值):6.0和和8.0，按第，按第7列安排。列安排。表

21、表11-16 雌螺产卵条件的正交试验雌螺产卵条件的正交试验试验序号试验序号A因素因素温度温度()B因素因素含氧量含氧量(%)C因素因素含水量含水量(%)D因素因素pH值值产卵产卵数量数量1 50.5106.0862 50.5308.0953 55.0108.0914 55.0306.0945250.5108.0916250.5306.0967255.0106.0838255.0308.088方差分析方差分析离均差平方和离均差平方和SSk：第：第k列试验结果的列试验结果的SS。根据假定条件，指定某一个和某几个交互作用项根据假定条件，指定某一个和某几个交互作用项为误差项，用于计算误差均方。为误差项，用于计算误差均方。指定原则：如假定某两个因素之间没有交互作用，指定原则：如假定某两个因素之间没有交互作用，则指定反应该两个因素交互作用那一列的则指定反应该两个因素交互作用那一列的SS为误为误差项。差项。121()kkkSSTTN表表11-22 L8(27)正交试验的方差分析表正交试验的方差分析表变异来源变异来源自由度自由度SSMSF总总7A(第第1列列)1SS1SS1SS1/SSEB(第第2列列)1SS2SS2SS2/SSEC(第第4列