量子力学期末复习课件

1、三个实验现象经典物理的理论无法解释三个实验现象经典物理的理论无法解释u黑体辐射黑体辐射u光电效应光电效应u氢原子光谱氢原子光谱从而诞生了量子力学从而诞生了量子力学引入新的理论引入新的理论黑体辐射黑体辐射、光电效应光电效应和和康普顿散射康普顿散射揭示了光的波粒二象性揭示了光的波粒二象性绪 论1Bohr原子轨道量子化原子轨道量子化1、玻尔的量子论玻尔的量子论 1913年，年，Bohr把把PlanckEinstein的概念运用来解决原子的概念运用来解决原子结构和光谱的问题，提出了结构和光谱的问题，提出了原子的量子论原子的量子论，其中极为重要的两个，其中极为重要的两个概念（假定）：概念（假定）：定态假

2、设与量子跃迁定态假设与量子跃迁（1）定态假定定态假定 假设电子围绕原子核做圆周运动时，假设电子围绕原子核做圆周运动时，只能处在一些只能处在一些分立的稳定状态分立的稳定状态，简称，简称定态定态。假设在定态时，电子的。假设在定态时，电子的轨道角轨道角动量动量也是量子化的，只能取约化普朗也是量子化的，只能取约化普朗克常数的整数倍，这些轨道才是稳定的。克常数的整数倍，这些轨道才是稳定的。定态概念定态概念是为了解决是为了解决电子绕原子核转动电子绕原子核转动时时稳定存在稳定存在而而不辐射不辐射的的问题而提出的问题而提出的n2hnL2（2）量子跃迁）量子跃迁电子从一个定态到另一个定态是跳跃式的，称为跃迁。当

3、原子电子从一个定态到另一个定态是跳跃式的，称为跃迁。当原子从高能级定态从高能级定态 向低能级定态跃迁时，发出一个光子。反之，向低能级定态跃迁时，发出一个光子。反之，则吸收一个光子。发射或吸收的光子频率则吸收一个光子。发射或吸收的光子频率是唯一确定的，是唯一确定的，由频率条件给出：由频率条件给出：mnEE 3微粒的微粒的粒子性粒子性与与波动性波动性的关系：的关系： hEknhp4 第二章：第二章：波函数和波函数和 Schrodinger Schrodinger 方程方程52.1 2.1 波函数的统计解释波函数的统计解释 2.2 2.2 态叠加原理态叠加原理 2.3 2.3 波函数随时间的变化波函

4、数随时间的变化Schrodinger Schrodinger 方程方程2.4 2.4 粒子流密度和粒子数（量子力学）守粒子流密度和粒子数（量子力学）守 恒定律恒定律2.5 2.5 定态定态SchrodingerSchrodinger方程方程2.62.6一维无限深方势阱一维无限深方势阱62.1 2.1 波函数的统计解释波函数的统计解释 72.1 波函数的波函数的统计解释统计解释波函数是描述微观粒子的状态波函数是描述微观粒子的状态由于微观粒子具有波粒二象性，坐标和动量不能同时确定，由于微观粒子具有波粒二象性，坐标和动量不能同时确定，当粒子处于某一状态时，坐标和动量一般具有许多可能值，当粒子处于某一

5、状态时，坐标和动量一般具有许多可能值，这些可能值各自以一定的这些可能值各自以一定的概率概率出现，这些出现，这些概率可以由一个概率可以由一个函数得出函数得出波函数波函数只要系统的只要系统的波函数已知，系统的其它性质波函数已知，系统的其它性质也可以知道：也可以知道：由波函数可以得到体系的各种性质，因此我们说波函数描述体系的由波函数可以得到体系的各种性质，因此我们说波函数描述体系的量子状态量子状态（简称（简称状态状态或者或者态态）8概率波：概率波：波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在改点找波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在改点找到粒子的概率成正比例。到粒子的概率成正比例

6、。按照这种解释，描写粒子的波乃是按照这种解释，描写粒子的波乃是概率波概率波假设波函数假设波函数),(tzyx描写粒子的状态，在空间一点（描写粒子的状态，在空间一点（x, y, z）和时间）和时间t，波的强度是，波的强度是的共轭复数表示,2概率密度概率密度强度与在该时刻改点找到粒子的概率成正比强度与在该时刻改点找到粒子的概率成正比2),(),(tzyxtzyx9波函数归一化条件波函数归一化条件根据波函数的统计诠释，在任何时刻，对于一个粒子而言，根据波函数的统计诠释，在任何时刻，对于一个粒子而言，一定在空间出现，所以，在整个空间中发现粒子是必然事一定在空间出现，所以，在整个空间中发现粒子是必然事件

7、。粒子在整个空间出现的概率为件。粒子在整个空间出现的概率为“一一”假如波函数的假如波函数的概率有限概率有限，但不等于，但不等于“一一”，则可以，则可以将波函将波函数乘以一个常数数乘以一个常数，使概率等于，使概率等于“一一”。这个。这个常数就是归一常数就是归一化因子化因子10111213小小 结结：描写微观粒子的量子状态：描写微观粒子的量子状态),( tr：表示几率密度，描述微观粒子在该点出现的概率：表示几率密度，描述微观粒子在该点出现的概率1),(dCdtzyx概率密度对整个空间求积分为概率密度对整个空间求积分为“1”142 2 态叠加原理态叠加原理152211cc如果如果 是体系的可能状态，

8、那么，它们的线性叠加是体系的可能状态，那么，它们的线性叠加 也是也是这个体系的一个可能状态，这就是量子力学中的这个体系的一个可能状态，这就是量子力学中的态叠加原理态叠加原理12态叠加原理态叠加原理16已知：已知：= C= C1 11 1 + C + C2 22 2 那么空间找到电子的几率则是：那么空间找到电子的几率则是： |2 2 = |C = |C1 11 1+ C+ C2 22 2| |2 2 = (C = (C1 1* *1 1* *+ C+ C2 2* *2 2* *) (C) (C1 11 1+ C+ C2 22 2) ) = |C = |C1 1 1 1| |2 2+ |C+ |C

9、2 22 2| |2 2 + C + C1 1* *C C2 21 1* *2 2 + C + C1 1C C2 2* *1 12 2* * 电子穿过上狭电子穿过上狭缝出现在点缝出现在点的几率密度的几率密度电子穿过下狭电子穿过下狭缝出现在点缝出现在点的几率密度的几率密度相干项相干项 正是由于相干项的出现，正是由于相干项的出现，才产生了衍射花纹。才产生了衍射花纹。量子力学遵从量子力学遵从态叠加原理态叠加原理，概率密度概率密度是否遵从是否遵从叠加原理？叠加原理？这表明粒子穿过这表明粒子穿过双狭缝双狭缝后在后在P点出现的点出现的概率密度概率密度一般一般不等于不等于穿过穿过上狭缝上狭缝到达到达P点的点

10、的概率密度概率密度与穿过与穿过下狭缝下狭缝到达到达P点的点的概概率密度率密度之和，而之和，而需要加上干涉项！需要加上干涉项！17以上是以上是表示为两个态表示为两个态1 1和和2 2 的的线性叠加线性叠加，推广到一，推广到一般的情况，态般的情况，态可以表示为许多态可以表示为许多态1 1 、2 2 、3 3 、n n的的线性叠加线性叠加 = C= C1 11 1 + C + C2 22 2 、+ C+ Cn nn n 这就是量子力学的态叠加原理。这就是量子力学的态叠加原理。强调强调：态叠加原理指的是：态叠加原理指的是波函数波函数，不是指，不是指概率叠加概率叠加2222112cc2.2 态叠加原理态

11、叠加原理182.3 2.3 波函数随时间的变化波函数随时间的变化Schrodinger Schrodinger 方程方程19tiE ip量子力学能量算符量子力学能量算符量子力学动量算符量子力学动量算符量子力学的两个算符量子力学的两个算符202.42.4粒子流密度和粒子数（量子力学）粒子流密度和粒子数（量子力学）守恒定律守恒定律212|),(|),(),(),(trtrtrtr 波函数是用来描述粒子在某一时间某一位置粒子波函数是用来描述粒子在某一时间某一位置粒子出现的概率出现的概率（概率密度）（概率密度）是：是：几率守恒定律几率守恒定律)(2miJ几率流密度几率流密度22质量守恒定律质量守恒定律

12、2),(tzyxmmm质量密度，为质量与概率乘积质量密度，为质量与概率乘积质量流密度，为质量与概率流密度乘积质量流密度，为质量与概率流密度乘积)(2 imJJm0mmJt质量守恒定律质量守恒定律23电荷守恒定律电荷守恒定律2),(tzyxqqq电荷密度，为电荷与概率乘积电荷密度，为电荷与概率乘积电流密度，为电荷与概率流密度乘积电流密度，为电荷与概率流密度乘积)(2 iqJJq0qqJt电荷守恒定律电荷守恒定律24波函数标准条件波函数标准条件式右含有式右含有及其对坐标一阶导数的积分，由于积分区域及其对坐标一阶导数的积分，由于积分区域是任意选取的，是任意选取的，所以所以S S是任意闭合面。要使积分

13、有意义，是任意闭合面。要使积分有意义，必须在变数的全部范围，即空必须在变数的全部范围，即空间任何一点都应是间任何一点都应是有限、连续且其一阶导数亦连续有限、连续且其一阶导数亦连续 总之，波函数在全空间每一点通常应满足总之，波函数在全空间每一点通常应满足单值单值、有限有限、连续连续三个三个条件，该条件称为波函数的标准条件。条件，该条件称为波函数的标准条件。252.5 2.5 定态薛定谔方程定态薛定谔方程26)(222rUmti一般的薛定谔方程一般的薛定谔方程 针对针对一般的薛定谔方程一般的薛定谔方程 可以可以是时间的函数是时间的函数，在这种情，在这种情况下，通过况下，通过初态波函数初态波函数 去

14、去求解末态波函数求解末态波函数 很难很难 )(rU)0 ,(r),( tr 目前我们只讨论目前我们只讨论 不随时间变化不随时间变化的情况。薛定谔方程可以的情况。薛定谔方程可以利用分离变量法求特解，薛定谔方程性质，时间部分和空间部分利用分离变量法求特解，薛定谔方程性质，时间部分和空间部分是分离的，是分离的，薛定谔方程的解薛定谔方程的解可以表示为可以表示为空间部分空间部分乘以乘以时间部分时间部分)(rU)()(),(tfrtr空间部分空间部分时间部分时间部分27 方程时间部分所描述的状态是具有方程时间部分所描述的状态是具有确定能量确定能量的状态，因而，的状态，因而，我们称为我们称为定态定态， 我们

15、称为我们称为定态波函数定态波函数tiEertfrtr)()()(),(波函数波函数),( trErUm)(222称为称为定态薛定谔方程定态薛定谔方程28求解定态问题的步骤求解定态问题的步骤（1 1）列出）列出定态定态 SchrodingerSchrodinger方程方程)()(222rErU（2 2）根据波函数三个标准条件）根据波函数三个标准条件求解能量求解能量E E的本征值问题，得：的本征值问题，得：,2121nnEEE ，本本征征函函数数本本征征值值：（3 3）写出）写出定态波函数定态波函数即得到对应第即得到对应第n n个本征值个本征值 E En n 的定态波函数的定态波函数/exp)()

16、,(tiErtrnnn （4 4）通过）通过归一化归一化确定归一化系数确定归一化系数C Cn n1| )(|2 drCnn29例例 题题一个质量为一个质量为m的粒子在一维势场的粒子在一维势场)(xVax , 0axV,0中运动，其中中运动，其中 ，写出两种条件下的定态薛定谔方程？，写出两种条件下的定态薛定谔方程？00VEm222EVm0222302.62.6一维无限深方势阱一维无限深方势阱31一、列出一、列出各势域上各势域上的的薛定谔方程薛定谔方程； 二、二、求解求解薛定谔方程；薛定谔方程； 三、利用波函数的标准条件（单值、有限、连续）三、利用波函数的标准条件（单值、有限、连续）定未定未知数知

17、数和能量本征值；和能量本征值；四、由归一化条件定出最后一个待定系数（四、由归一化条件定出最后一个待定系数（归一化系数归一化系数）32什么是一维无限深势阱问题？什么是一维无限深势阱问题？在一维空间运动的粒子，它的势能在一定区域内（在一维空间运动的粒子，它的势能在一定区域内（-axa）为零，）为零，而在此区域外势能为无限大而在此区域外势能为无限大U(x) =0 |x|a由于体系的势能由于体系的势能U(x)不随时间变化，因此一维无限深势阱在阱内不随时间变化，因此一维无限深势阱在阱内满足定态薛定谔方程满足定态薛定谔方程33定态薛定谔方程定态薛定谔方程)()()(2222xExxUdxdm34第一步：列

18、出各势区域上的薛定谔方程第一步：列出各势区域上的薛定谔方程35第第I区域和第区域和第III区域区域0|x|a针对一维无限深势阱，可以分为针对一维无限深势阱，可以分为三个区域三个区域：第一第一个区域个区域和和第三个区域第三个区域，由于，由于势能势能为为无穷大无穷大，因而，因而，这两个区域的这两个区域的波函数为零波函数为零EUdxdm2222定态薛定谔方程定态薛定谔方程:36EUdxdm2222针对区域针对区域II由于由于势阱势阱内部内部势能为零势能为零，此时薛定谔方程可以简写为：，此时薛定谔方程可以简写为：22mE02222mEdxd|x|a0222dxd|x|a|x|axBxAcossin方程

19、的解方程的解U=037二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程02 yqypyiqxiqxeCeCy2102 yqyqxCqxCycossin21或者或者或者或者)sin(1qxCy三个方程是等价的三个方程是等价的38第二步：利用波函数的标准条件（单值、有限、连续）第二步：利用波函数的标准条件（单值、有限、连续） 定未知数定未知数39根据波函数的连续性根据波函数的连续性 代入到下面的方程代入到下面的方程0)(xBxAcossin0cossinaBaA0cossinaBaA得到得到0sinaA0cosaB由于由于A和和B不能同时为零，因而，得到两组解不能同时为零，因而，得到两组解（1

20、）（2）A=00cosaB=00sina.3 , 2 , 1,2nna4022228manEn.3 , 2 , 1,2nna22mE一维无限深粒子的能量的一维无限深粒子的能量的能级公式能级公式：22228manEn能级分布能级分布是是不均匀不均匀的，的，能级越高能级越高，能级之间的能级之间的间距间距就越大就越大41两组波函数两组波函数n=xanA2sinN为正偶数，为正偶数，|x|a0|x|a（1）n=xanB2cosN为正奇数，为正奇数，|x|a0|x|a（2）42第三步：波函数归一化第三步：波函数归一化43再由波函数的归一化条件再由波函数的归一化条件1)(2dxxnaBA1n=xana2c

21、os1N为正奇数，为正奇数，|x|a0|x|an=xana2sin1N为正偶数，为正偶数，|x|a0|x|a于是波函数于是波函数44n=tiExeana2cos1N为正奇数，为正奇数，|x|a0|x|an=tiExeana2sin1N为正偶数，为正偶数，|x|a0|x|a于是波函数于是波函数根据定态波函数公式根据定态波函数公式本征函数本征函数tiEextx)(),(45 小结小结 由无限深方势阱问题的求解可以看由无限深方势阱问题的求解可以看 出，解薛定谔方程的一般步骤如下：出，解薛定谔方程的一般步骤如下：一、列出各势域上的薛定谔方程；一、列出各势域上的薛定谔方程； 二、求解薛定谔方程；二、求解

22、薛定谔方程； 三、利用波函数的标准条件（单值、有限、连续）定未三、利用波函数的标准条件（单值、有限、连续）定未知数和能量本征值；知数和能量本征值；四、由归一化条件定出最后一个待定系数（归一化系数）。四、由归一化条件定出最后一个待定系数（归一化系数）。462.72.7一维有限深势阱一维有限深势阱472/ , 0 2/ , 0)(0axVaxxV仅讨论束缚态（仅讨论束缚态（0EV0）情况）情况按阱内与阱外按阱内与阱外三个区三个区求解求解粒子所满足的定态粒子所满足的定态薛定谔薛定谔方程为：方程为： EUdxdm2222IIIIII一维空间中运动的粒子，它的势能在一一维空间中运动的粒子，它的势能在一定

23、区域为零定区域为零（ ）22axa而在此区域外，势能为而在此区域外，势能为0V48粒子所满足的定态粒子所满足的定态薛定谔薛定谔方程为：方程为： EUdxdm2222第一步：写出定态薛定谔方程第一步：写出定态薛定谔方程49第二步：分区写出定态薛定谔方程第二步：分区写出定态薛定谔方程50IIIIII势阱外区：势阱外区：也就是也就是第一第一，第三区域第三区域，定态薛定谔方程为：定态薛定谔方程为： )(202EVm令令xxBeAex )(得一般解为：得一般解为：)()()(20222xExVxdxdm0)()(2)(0222xEVmxdxd0)()(2 xx考虑到无穷远波函数为考虑到无穷远波函数为0，

24、得：，得：2/,)( 1axAexx第一区域第一区域2/-,)( 3axBexx第三区域第三区域51kxDkxCcossin2其解为其解为势阱内区势阱内区：第二区域第二区域，薛定谔方程为：薛定谔方程为： 222 mEk 令令02 k)()()(20222xExVxdxdm0 22 Em为零为零522/,)( 1axAexx2/-,)( 3axBexx第一区域第一区域第三区域第三区域kxDkxCcossin2第二区域第二区域2/2/axa532.82.8势垒贯穿势垒贯穿54粒子所满足的定态粒子所满足的定态薛定谔薛定谔方程为：方程为： EUdxdm2222第一步：写出定态薛定谔方程第一步：写出定态

25、薛定谔方程55第二步：分区写出定态薛定谔方程第二步：分区写出定态薛定谔方程560 aV(x) V0I II IIIE势阱外区：势阱外区：也就是也就是第一第一，第三区域第三区域，定态薛定谔方程为：定态薛定谔方程为： Emk212令令xikxikBeAex 11 )(得一般解为：得一般解为：)()(U)(2222xExxdxdm0)()(21 xkx0,)(111xeAAexxkxik第一区域第一区域axeCCexxikxik,)(113第三区域第三区域0)(2)(222xmExdxd), 0(axx570 aV(x) V0I II IIIE势阱内区：势阱内区：也就是也就是第二区域第二区域，定态薛

26、定谔方程为：定态薛定谔方程为： )(2022UEmk)()()(20222xExUxdxdm0)()(22 xkx得一般解为：得一般解为：axeBBexxkxik0 ,)(11i2第二区域第二区域0)()(2)(2022xUEmxdxd)0(ax 58第三步：利用波函数的标准条件（单值、有限、连续）第三步：利用波函数的标准条件（单值、有限、连续） 定未知数定未知数591. 波函数连续波函数连续综合综合 整理整理 记之记之BBAAx)0()0(:021BikBikAikAikx 221121)0( )0( :0 2. 波函数导数连续波函数导数连续 001221221221221aikaikaik

27、aikaikaikCekeBkBekAkBkBkAkCeeBBeABBAaikaikaikCeeBBeaaax122)()(:32 aikaikaikCeikeBikBeikaaax12212232)( )( : 60习题习题11波函数归一化波函数归一化由归一化条件：由归一化条件：dxAedxxx2-212-22)(161习题习题22概率概率xikAe1若若一维运动一维运动的粒子，其波函数为的粒子，其波函数为求波函数在空间区域求波函数在空间区域内出现的内出现的概率概率62习题习题22概率流密度概率流密度2miJxikAe1若若一维运动一维运动的粒子，其波函数的粒子，其波函数求该波函数的求该波函

28、数的概率流密度概率流密度共轭波函数共轭波函数xikeA163习题习题33一维势阱一维势阱一维有限深势阱一维有限深势阱一维无限深势阱一维无限深势阱IIIIIIU(x) =0 |x|aU(x) =0 |x|a/20642/ , 0 2/ , 0)(0axVaxxV粒子所满足的粒子所满足的定态定态薛定谔薛定谔方程方程为：为： EUdxdm2222IIIIII习题习题33一维有限深势阱一维有限深势阱一维空间中运动的粒子，它的势能在一一维空间中运动的粒子，它的势能在一定区域为零定区域为零（ ）22axa而在此区域外，势能为而在此区域外，势能为0V求求束缚态能级束缚态能级所所满足的方程满足的方程65III

29、III势阱外区：势阱外区：也就是也就是第一第一，第三区域第三区域，定态薛定谔方程为：定态薛定谔方程为： )(202EVm令令xxBeAex )(得一般解为得一般解为)()()(20222xExVxdxdm0)()(2)(0222xEVmxdxd0)()(2 xx考虑到无穷远波函数为考虑到无穷远波函数为0，得：，得：2/-,)( 1axBexx第一区域第一区域2/,)( 3axAexx第三区域第三区域按阱内与阱外按阱内与阱外三个区三个区求解求解66kxDkxCcossin2其解为其解为势阱内区势阱内区：第二区域第二区域，薛定谔方程为：薛定谔方程为： 222 mEk 令令02 k)()()(202

30、22xExVxdxdm0 22 Em为零为零672/-,)( 1axBexx2/,)( 3axAexx第一区域第一区域第三区域第三区域kxDkxCcossin2第二区域第二区域2/2/axa边界条件：边界条件：)2()2()2()2()2()2()2()2(32322121aaaaaaaa2222)2sin()2cos()2cos()2sin()2sin()2cos()2cos()2sin(aaaaAeakDkakCkAeakDakCakDakCeBakDakCBe（1）（2）（3）（4）68222 mEk 令令)(202EVm令令69第三章第三章量子力学中的力学量量子力学中的力学量70IIO

31、U*UdUd算符算符的复共轭算符（的复共轭算符（ * ）*)(*OdOdxyzzxyyzxpypxLpxpzLpzpyL71对易式对易式所所满足的等式满足的等式72对易式对易式所所满足的等式满足的等式73算符对易关系算符对易关系若若 ，则称，则称 与与 不对易不对易若若 = ， 则称则称 与与 对易对易若若 = -， 则称则称 与与 反对易反对易为了表述简洁，人们定义了为了表述简洁，人们定义了对易括号对易括号： , 若若, 0，则称，则称 与与 不对易不对易若若, = 0， 则称则称 与与 对易对易74对对易易。与与对对易易，而而与与对对易易，与与不不对对易易；与与对对易易，但但是是与与对对易

32、易，与与zpzpppIIxpxpppIxyyxxyyx)()(注意：注意： 当当 与与 对易，对易， 与与 对易，不能推知对易，不能推知 与与 对易与对易与否。例如：否。例如：75767778798081822) 1(ll2LzLm本征值本征值本征值本征值算符的本征函数与本征值算符的本征函数与本征值83本征函数之间的关系本征函数之间的关系)()()(ppdrrpp课本课本3.2.4这代表着这代表着动量算符动量算符不同本征值不同本征值的的两个本征函数两个本征函数在整个空间区域在整个空间区域可以归一为可以归一为 函数，如果函数，如果本征值相同本征值相同，则为则为1，不同则为不同则为00)()(dr

33、rpp对于本征函数积分为零的式子对于本征函数积分为零的式子我们称之为这我们称之为这两个本征函数正交性两个本征函数正交性这是厄米算符本征函数所特有的性质这是厄米算符本征函数所特有的性质84什么是厄米算符？什么是厄米算符？dFdFlklk)(时，有不相等，我们要证明当，本征值的的本征函数，它们所属是厄米算符，设lkF.,.,2121 0lk如何证明厄米算符具有不同本征值的本征函数具有正交性？如何证明厄米算符具有不同本征值的本征函数具有正交性？85算符和它表示的力学量之间的关系算符和它表示的力学量之间的关系量子力学的一个量子力学的一个基本假定基本假定：算符算符是作用在是作用在本征态上本征态上的，并可

34、以得到一个的，并可以得到一个具体数值本征值具体数值本征值如果如果体系体系不处于不处于算符的本征态算符的本征态，而处于，而处于任意一个态任意一个态 这时这时算符和它表示的算符和它表示的力学量之间的关系如何？力学量之间的关系如何？假设假设 是算符是算符 的本征函数，对应的本征值为的本征函数，对应的本征值为 ，则任意，则任意波函数波函数 可以按照本征函数可以按照本征函数 展开为级数展开为级数)(xnF)(x)(xn本征函数本征函数 的这种性质称的这种性质称为完全性为完全性，其中，其中系数系数 可以由可以由本征函数本征函数 和和任意波函数任意波函数 求得求得)(xn)(x)(xn)()(xcxnnnn

35、cn86如何求如何求 ？由于本征函数具有？由于本征函数具有正交归一性正交归一性，于是对于：，于是对于：nc)()(xcxnnn两边同时乘以两边同时乘以 ，并对，并对x的整个区域积分的整个区域积分 mmmnnnnmnnmccdxxcdxx)()(所以：所以：dxxcnn)(87 被称为被称为概率振幅概率振幅， 代表代表概率概率，它表示在任意，它表示在任意 态中，测量态中，测量力学量力学量F得到的结果是算符得到的结果是算符 的本征值的本征值 的概率的概率假设假设 已经归一化了，则已经归一化了，则 )(x2)()()()(1nnmnnmnmnmnmnmcccdxxxccdxxxnc2nc)(xFn8

36、8量子力学量子力学中中表示力学量的算符表示力学量的算符都是都是厄米算符厄米算符，它们的，它们的本征函数组本征函数组成完全系；成完全系；即：对于即：对于任意波函数任意波函数都可以表示为都可以表示为体系本征函数体系本征函数的的级数展开级数展开当当体系体系处于处于本征态本征态时，算符与本征函数相互作用，可以时，算符与本征函数相互作用，可以得到一个得到一个确定的力学量值确定的力学量值当体系处于当体系处于任意波函数任意波函数所描述的状态时，算符作用在任意波函数所描述的状态时，算符作用在任意波函数上上没有确定值没有确定值，而只有一系列，而只有一系列可能值可能值，这些可能值是表示这个力，这些可能值是表示这个

37、力学量算符的学量算符的本征值之一本征值之一 ，并且，并且可能值可能值也都是以确定的也都是以确定的概率概率出现出现 n2nc总结总结89例例氢原子基态波函数氢原子基态波函数 按动量算符的本征函数按动量算符的本征函数 展开展开100pdprcpp)(100drrrcpp)()(100概率振幅概率振幅概率密度概率密度2pc二、力学量的平均值二、力学量的平均值901.一般平均值公式一般平均值公式二、力学量的平均值二、力学量的平均值力学量平均值就是指多次测量的平均结果。力学量平均值就是指多次测量的平均结果。如测量长度如测量长度 x x，测了，测了 10 10 次，其中次，其中 4 4 次次得得 x x1

38、 1，6 6 次得次得 x x2 2，则，则 10 10 次测量的平均值为：次测量的平均值为：iiixxxxxxxx 2211210611042110642. 平均值公式平均值公式 dxxFxF)()(* 91（一）两力学量同时有确定值的条件（一）两力学量同时有确定值的条件体系处于体系处于任意状态任意状态 （x x）时，时，力学量力学量F F一般没有一般没有确定值确定值 如果力学量如果力学量F F有有确定值确定值， （x x）必为）必为F F的的本征态本征态，即，即 F 如果有另一个力学量如果有另一个力学量G G在在 态中也有确定值态中也有确定值，则，则 必也是必也是G G的的一个一个本征态本征态，即，即 G结论：结论：当在当在 态中测量力学量态中测量力学量 F 和和 G 时，如果时，如果同时同时具有具有确定确定 值值，那么，那么 必必是二力学量共同本征函数是二力学量共同本征函数。92