矩阵构造对奇异值分解信号处理效果的影响

1、矩阵构造对奇异值分解信号处理效果的影响摘 要一维信号一般可以构造两种矩阵,第一种矩阵是通过对信号的连续截断来构造的,第二种则为重构吸引子矩阵.文中从理论上证明了在这两种矩阵方式下,奇异值分解都可以将信号表示为一系列分量信号的线性叠加,但是第一种矩阵获得的分量信号是彼此正交的,而第二种矩阵获得的分量信号则不具有正交性.两种矩阵的结构都可以利用分量信号信息量的变化趋势来合理地确定.对一个铣削力信号的处理结果表明,第一种矩阵分离出了机床主轴旋转基频完整的时域波形,分辨出了两个频率很接近的信号分量,发现了信号中隐含的调幅现象;而第二种矩阵则揭示了切削过程中由于材料颗粒不均匀和间隙而产生的对刀具的微弱冲

2、击现象.关键词：奇异值分解;矩阵构造;正交;信号处理;特征提取正文奇异值分解(SVD)是指:对于一个实矩阵 ，必定存在正交矩阵 和 ，使得 (1)成立，其中 ， ,O为零矩阵,p=min(m,n),且称为矩阵A的奇异值. SVD方法在信号与图像处理、语音识别、特征提取与故障诊断等领域有着广泛的应用。将SVD应用于信号处理的关键是如何利用信号序列构造出合适的矩阵A.利用一维信号来构造矩阵,一般有两种方法,一种是通过对信号的连续截断来构造矩阵,另一种是利用信号构造一个重构吸引子矩阵.在一般利用SVD进行信号处理的文献中,大都着重于从实用出发,利用SVD实现对信号的一种分解,并基于这种分解解决某种特

3、定问题,而未具体从SVD的性质出发讨论其信号分解特性。鉴于此,文中对这两种矩阵方式下SVD的信号分解特性进行研究,证明了它们都是一种由分量信号的简单线性叠加来构成原始信号的分解过程,具有零相位偏移特性。由于U、V是正交矩阵,容易使人认为利用SVD方法获得的信号分量之间彼此独立、具有正交性,但事实并非如此。文中对此问题从理论上进行了分析,证明了通过第一种矩阵方式获得的分量信号是正交的,而通过第二种矩阵方式获得的分量信号并不具有正交性。无论是哪一种矩阵,如何确定矩阵的行数m和列数n都是一个重要的问题,这对SVD的分析效果有很大的影响。Kanjilal等针对存在周期分量的信号,提出了通过奇异值比(S

4、VR)谱来确定m和n的方法,将SVR谱定义为随n取值的不同而变化的谱。若在SVR谱上存在明显的峰值,则说明信号中存在周期分量,此时对应的m和n即为所求,但是在很多情况下(例如信号由多个周期分量组成或噪声较严重时),该方法的效果并不明显。这主要是由于该方法只利用前两个奇异值的信息,而没有考虑后面所有奇异值的信息,这未免有失偏颇.由于奇异值的大小决定相应分量信号的信息量,因此综合考虑所有奇异值的信息来确定矩阵结构应该更为合理。文中首先通过分析所有分量信号信息量的变化趋势来确定合理的矩阵结构；然后通过这两种矩阵,利用SVD从铣削力信号中提取铣削过程的状态信息,并比较这两种矩阵方式的实际处理效果。结果

5、表明,利用第一种矩阵可以从铣削力信号中分离出机床主轴旋转基频近乎完整的时域波形,能分辨两个频率很接近的信号分量,并发现信号中隐含的调幅现象,证实了机床的爬行并确定爬行频率；而利用第二种矩 则获得了良好的消噪和弱信号提取效果,发现了切削过程中由于工件材料颗粒不均匀和间隙而引起的对刀具的微弱冲击现象。一、 第一种矩阵构造方法及其分量信号的特对一维信号 ,取两个正整数m和n,对此信号按每次n个点连续截取m段,构造一个m行n列的矩阵A如下: 其中m2,n2且n=int(N /m ).为了利用SVD实现信号的分离,将式(1)改写成用列向量 和 表示的形式: (2)式中：，由SVD理论可知, 之间是两两正

6、交的, 之间也是两两正交的。令，则，从A的构造过程可知,只要将的各行首尾相接,就可以构成一个分量信号，而所有则形成了对原始信号X的一个分解。设可用行向量表示,；而A用行向量表示,，则根据式(2),A的每个行向量显然等于的相应行向量的叠加,即 （3）由于原信号X是由首尾相接而成,可用向量形式表示,而分量信号由首尾相接而成,也可用向量形式表示,则所有分量信号的和可写为，根据式(3),有 (4)由式(4)可见,原始信号是所有分量信号的简单线性叠加,从原信号中分离一个分量信号的过程就是从原信号中减去该分量信号,从而使得分离出来的各分量信号保持它们在原信号中的相位不变,即具有零相位偏移特性。二、 第二种

7、矩阵构造方法及其分量信号的特性第二种矩阵为重构吸引子矩阵,也称Hankel矩阵,它可利用信号构造如下:其1nN。对于这种矩阵,也可以利用式(2)通过计算来得到一组分量信号,不过此时在式(2)中，而p=min(N-n+1,n)。同样可用行向量表示，且两个相异矩阵和的行向量也满足式(6),其证明过程完全相同。然而分量信号却不是由的行向量首尾相接而成,根据此矩阵的构造,分量信号将由的第一个行向量和一个列向量(如图1所示)的转置首尾相接而成,即其中。根据的这一特点,在编程实现时,没有必要计算的全部行列,而只需计算的第一行和最后一列。而所有（1ip）按照此方式构成的分量就形成了对原始信号X的一个分解。图

8、1 分量信号的形成示意图可以证明,这些分量与原始信号X之间满足式(4),也构成了对原始信号的一种简单线性叠加,证明过程相似,因此不再赘述.三、 矩阵结构的确定无论是哪种矩阵,其m和n的取值对信号处理的效果都有着重要的影响。在满足m2、n2的条件下,当信号长度N较大时,m和n的取法相当多,m和n的取值不同,则信号的SVD分离效果会有很大区别,因此如何选择m和n是一个关键问题。至今还没有一个好的办法来解决此问题,Kanjilal等提出的奇异值比(SVR)谱方法也有严重的局限性,更普遍的情况下采取的方法是根据具体信号选择不同的m和n进行试凑,并观察和分析所得到的各组的特征,以期获得一组满意的分量。这

9、种试凑需要大量的计算,并且严重依赖使用者的信号分析经验。对于按照式(2)分离出来的各个分量信号,其中包含的信息量是彼此不同的,具体由相应奇异值的大小决定, 越小,则相应的信息量也越小,可以用式(10)来综合衡量的信息量: (10)而信息量过小的信号分量实际上是没有多大意义的,据此可以合理地确定矩阵行列。方法如下:取一系列不同的行数m构造矩阵,利用相应矩阵的奇异值计算各分量信号的信息量,并观察它们的变化趋势。如果不论m取何值,从某一信息量开始的后续信息量都趋向于零,则表明第i个分量之后的其它分量并没有多大意义,此时可确定矩阵行数m=i,而对于列数,第一种矩阵为n=int(N / m ),第二种矩

10、阵为n=N-m+1。该方法的优点是,无需计算和分析各分量信息量,而仅利用奇异值进行判断,从而大大减少了计算量和分析工作,并且综合考察了全部奇异值的信息,克服了SVR谱中只利用前两个奇异值信息的不足。四、 从铣削力信号中提取铣削过程状态信息铣削力信号中包含了铣削过程丰富的状态信息,如铣床主轴旋转速度信息、铣床振动信息、多刃铣削速度信息和工作台的爬行信息,如何从铣削力信号中获得并分离出这些信息是一个值得研究的问题。经典的频谱分析方法对该问题的解决效果并不是很好,文中借助这两种矩阵,利用SVD方法来处理此问题,并比较两种矩阵方式的实际处理效果。图2(a)是在一台铣床上利用四刃立铣刀进行铣削时测得的一

11、个铣削力信号,采样频率为6000Hz,一共采集了2048点数据。此信号的功率谱如图2(b)所示,其频率成分见表1。从表1中可见该信号有3个频率,其中20.5078Hz是由机床主轴旋转产生的,是信号的基频；而38.0859Hz近似为基频的2倍,这主要是因主轴轴承变形导致主轴对中不良而产生的振动频率；76.1719Hz近似为基频的4倍,是由四刃立铣刀产生的.经典的频谱分析方法只能获得这3个频率。图2 一个铣削力信号及其功率谱表1 原始信号及其分量的主要频率成分1. 第一种矩阵构造方式的信号处理结果利用此铣削力信号构造第一种矩阵,首先需要确定合理的矩阵行数。分别取行数m=3、4、5、6、7、8,利用

12、图2(a)所示信号构造矩阵并对这些矩阵进行奇异值分解,得到6组奇异值,再利用它们计算得到6组分量信号的信息量变化过程,结果如图3所示。从图3中可知,随着矩阵行数m的增加,信息量趋向于零的分量信号个数随之增加,在m=5、6、7、8的情况下,从第4个分量信号开始,之后的其它分量信号的信息量都已经趋向于零了。可见当m增大时,虽然分量信号个数增多,但是对图2(a)所示信号而言,其中信息量较大的分量信号基本上维持在4个,这说明利用此信号来构造矩阵,当矩阵行数m>4时并没有多大意义,只会增加无谓的计算量,因而可以确定以行数m=4来构造矩阵。图3第一种矩阵取不同行数时各分量信号的信息量变化趋势根据以上

13、分析,将图2(a)所示信号分为4段,每段长度为512点,从而构造一个4行512列的矩阵,对此矩阵进行奇异值分解,利用分解结果计算得到4个分量,各分量及它们的功率谱如图4所示,其频率成分见表1。 图4 m=4时第一种矩阵得到的分量信号及其功率谱。左）分量信号的时域波形，右）分量信号的功率谱从图4和表1可见, 主要由两个频率成分构成:一个是对中不良产生的2倍频振动频率38.0859Hz；另一个是73.2422Hz,它与铣削频率76.1719Hz相当接近,由于快速傅立叶变换(FFT)的分辨率原因,此频率成分并没有在原信号的功率谱中显示出来,但是通过SVD方法处理后,它被分辨出来了。由于铣削力受机床传

14、动系统的影响很大,这一频率成分很有可能来自传动系统。此结果说明, SVD方法具有很高的频率分辨率,能够分离出频率成分相当接近的信号。只有20.5078Hz频率成分,在中也含有此频率成分,但是此频率在与S4中的幅值之比为0.3576 /0.0086=41.58,可见中该频率的幅值相当小,可以忽略,这说明SVD方法将基频振动的波形近乎完全地分离到了中。众所周知,频域分析必须与时域波形识别紧密结合,因为同样显示在频谱图上同一频率处的谱线,其时域波形却有可能由于振动的线性或非线性而产生较大的差异。观察时域波形,可以看到分量是一个几乎完好的正弦波形,没有非线性振动所产生的波形削顶现象。的主要成分为铣削频

15、率76.1719Hz,容易计算出它的另外两个频率70.3125Hz和82.0312Hz与此频率的差值都约为5.859Hz,这种相等的频率差表明这两个频率是因调幅而产生的边频,因此分离出来的是一个调幅信号,载波是铣削频率76.1719Hz,而被调制的缓变信号频率为5.859Hz。结合机床特性进行分析,该缓变频率应该是工作台的爬行频率.爬行是因工作台和导轨面之间的摩擦而引起的一种自激振动,一般如果导轨面间的动静摩擦系数差别较大、传动装置的刚度较低,则容易产生爬行现象。本次试验所用的机床确实存在此问题,而分离出来的则证明了机床中爬行的存在并确定了其准确频率。反映了与相同的调幅现象,但是各频率的幅值则

16、小很多,并且叠加了一个基频振动,此基频振动的幅值与相比,也是很微弱的,因此,这一分量没有什么特别之处。可见,采用第一种矩阵构造方式,通过SVD方法可以分离出铣削力信号中基频振动近乎完整的时域波形,能分辨出两个频率很接近的信号分量,发现信号中隐含的调幅现象,证实了机床的爬行现象并确定爬行频率,这些结果都是经典的频谱分析所不能得到的.由于SVD方法是一种线性分离方法,因此各分量没有相位失真,这是一般的恒带宽滤波器组难以实现的。2. 第二种矩阵构造方式的信号处理结果图5 第二种矩阵取不同行数时各分量信号的信息量变化趋势首先确定矩阵合理的行数.分别取行数为3、4、5、6,利用图2(a)所示的铣削力信号

17、构造第二种矩阵,通过SVD方法处理后得到4组分量信号的信息量的变化趋势如图5所示。从图5中可见,与第一种矩阵有明显区别的是,在这种矩阵中,不管行数取为多少,对于每组分量信号,从第二个分量开始,各分量的信息量明显地趋向于零,而原信号的主要信息都明显地集中在第一个分量中,但是如果取行数为2则显得太小,因此文中取行数为3,通过SVD方法分离后得到3个分量信号如图6(a)所示。图6 行数不同时第二种矩阵得到的各分量信号由图6(a)可见,在频率分离方面,第二种矩阵的分解结果远远逊色于第一种矩阵,原始信号的主要频率成分仍然保持在S1中没有被分离出来。的功率谱如图7所示,其频率成分见表2,可见的主要频率成分

18、与原信号完全一致,且其幅值的变化非常小,这也验证了图5所反映的原始信号的信息量基本上都体现在第一个分量中这一现象。图7 分量信号的功率谱虽然和的主要成分为高频噪声,但是除此之外还存在很多的冲击成分,这种冲击显然不是噪声,因为它们在、中的位置具有对应性,而噪声不可能有这么规律的位置对应关系。这种冲击应当是铣削过程中由于工件材料颗粒不均匀和颗粒间隙而产生的对刀具的冲击,不过其幅度很微小,因而被淹没在原始信号中难以被觉察出来,但是利用第二种矩阵,通过SVD方法却可以将它们显示出来,这说明第二种矩阵具有弱信号提取特性。另一方面,从信号分离的角度来看,采用第二种矩阵难以实现不同频率成分的有效分离,但是如

19、果从消除噪声的角度来看,采用第二种矩阵则能获得良好的噪声消除效果。尽管原铣削力信号本来就具有很高的信噪比,但是其中那些微弱的高频噪声还是被进一步分离到、中, 为消除了噪声的结果,而且这些分量还具有零相位偏移特性,因此去除噪声后的没有相位失真,是一种零相位消噪方法。作为对比,文中还给出了第二种矩阵行数为4时的分解结果,如图6(b)所示,可见这种分解的效果并不比行数为3时好,原信号的主要频率成分仍然保持在中没有被分离,的频率成分见表2,而、除了高频噪声和冲击信息外,也没有分离出其它更多的信息,因此取行数4是没有必要的,只会增加无谓的计算量。这证明了通过对信息量变化趋势的分析而确定的矩阵行数是合理的

20、。表2 原始信号和分量信号S1的频率对比五、 结论(1)对于两种矩阵构造方式,利用SVD方法都可以将一个信号分解为一系列分量信号的简单线性叠加,这些分量具有零相位偏移特性,不存在相位失真。(2)采用第一种矩阵获得的分量信号彼此独立,两两正交,而采用第二种矩阵获得的分量信号之间则存在相关性。(3)对于两种矩阵,根据所有分量信号的信息量变化趋势都可以确定合理的矩阵结构。(4)在信号处理的实际效果方面,第一种矩阵具有良好的频率分辨率,在故障特征分离方面具有较好的优势;而第二种矩阵则具有良好的消噪效果,能够有效地消除信号中的随机噪声,并且还具有弱信号提取能力。参考文献:1 Golub G H,Vanl

21、oan C F.矩阵计算M .袁亚湘,译.北京:科学出版社, 2001: 77-79。2 Akritas A G, Malaschonok G I. Applications of singular value decomposition (SVD) J.Mathematics and Computers in Simulation, 2004, 67(1): 15-31。3 Kanjilal P P, Saha G. Fetal ECG extraction from single channel maternal ECG using SVD and SVR spectrum CM Proc

22、eedings of the 17th Annual International Conference of the IEEE Engineering in Medicine and Biology Society。Montreal IEEE, 1995: 187-188。4 KanjilalP P, PalitS。On multiple pattern extraction using singular value decomposition J。IEEE Transactions on Signal Processing, 1995, 43(6): 1536-1540。5 Wei J J,

23、 Chang C J, Chou N K. ECG data compression using truncated singular value decomposition J.IEEE Transactions on Information Technology in Biomedicine,2001, 5(4): 290-299。6 Cempel C. Multidimensional condition monitoring of mechanical system in operation J.Mechanical Systems and Signal Processing, 200

24、3, 17(6): 1291-1303。7 Ahmed S M, Alzoubi Q, Abozahhad M. A hybrid ECG compression algorithm based on singular value decomposition and discrete wave let transform J. Journal of Medical Engineering and Technology, 2007, 31(1): 54-61。8 徐金甫,韦岗,梁树雄.一种基于奇异值分解的带噪语音识别方法J.华南理工大学学报:自然科学版,2001, 29(1): 91-93.Xu Jin-fu, Wei Gang, Liang Shu-xiong. A noisy speech recognition method based on singular value decomposition。J. Journal of South China University of Technology: Natural Science Edition, 2001, 29(1): 91-93。9 许光辉,胡光锐,宋阳.基于奇异值分解的非线性滤波算法J.上海交通大学学报,