简谐振动、振动合成

1、前言：振动和波动是物理中的重要领域：前言：振动和波动是物理中的重要领域：一、简谐振动一、简谐振动振动振动: :一个物理量随时间作周期性变化一个物理量随时间作周期性变化 简谐振动是最简单的振动简谐振动是最简单的振动, ,任何复杂的振动任何复杂的振动都是简谐振动的线性迭加。都是简谐振动的线性迭加。定义：定义：物体运动时，离开平衡位置的位移（或物体运动时，离开平衡位置的位移（或角位移）随时间角位移）随时间t t按余弦（或正弦）规律变化，按余弦（或正弦）规律变化，这类运动称简谐振动。这类运动称简谐振动。)cos()(tAtxtAxcostAtxsindd2costAxtAta22cosddcos2tA

2、a速度与加速度也都是周期变化的。速度与加速度也都是周期变化的。二、简谐振动的速度、加速度二、简谐振动的速度、加速度物体离开平衡位置的最大距离。物体离开平衡位置的最大距离。单位：单位：米，米，m物体完成一次全振动所用的时间。物体完成一次全振动所用的时间。 单位：单位：秒，秒，s1秒内物体完成全振动的次数。秒内物体完成全振动的次数。单位：单位：赫兹，赫兹，HzT1)cos(tAx或曰或曰, ,物体的运动状态完全重复一次所用的时间。物体的运动状态完全重复一次所用的时间。三、谐振动的振幅、周期、（频率）和相位三、谐振动的振幅、周期、（频率）和相位每隔周期每隔周期T T物体的运动状态复原物体的运动状态复

3、原: :)()(txTtx2 T22T)cos(tAx)cos()( tAtx)(cos TtA2 2 秒内的振秒内的振动次数动次数 ( (单位单位：1/S1/S或或rad./S)rad./S) 2cos()cos()cos(2)xAtAtAtT)cos(tAx( ( t t + + ) )是是t t 时刻的时刻的相位相位t t时刻的相位反映时刻的相位反映t t时刻的振动状态时刻的振动状态 由由x =Ax =Acos(cos( t t + + ) ) t +t + 0 0 /2/2 3 3 /2/2 2 2 x x( (t t) ) A A 0 0- -A A 0 0 A A ( (t t)

4、) 0 0- - A A 0 0 A A 0 0 a a( (t t) )- - 2 2A A 0 0 2 2A A 0 0- - 2 2A A)sin(tAv)cos(2tAa初相初相(initial phase)(initial phase)是是t t = 0 = 0时刻的相位时刻的相位 ( (t t =0=0称称时间零点时间零点，是开始计时的时刻，不，是开始计时的时刻，不一定是开始运动的时刻一定是开始运动的时刻) ) 反映反映t t = 0= 0时刻的振动状态时刻的振动状态( (x0， 0 ) ) 要熟记典型要熟记典型 值所对应的振动情况和振动值所对应的振动情况和振动曲线曲线( (如图如

5、图) ) oA-Atx = 0T(a)Ax0 = AxmooA-Atx = /2x0 = 0T(b)xmoxoA-At = xmo-Ax0 = -AT(c)oA-At = 3 /2(或或 - /2) Txx0 = 0 xmo(d) 0 0 /2/2 3 3 /2/2 2 2 x x0 0 A A 0 0 - -A A 0 0 A A 0 0 0 0- - A A 0 0 A A 0 0弹簧振子的几个特殊的初始状态及相应的振动曲线弹簧振子的几个特殊的初始状态及相应的振动曲线 初始条件：初始条件：cos0Axsin0Av)cos(tAx)sin(tAv2020vxA/ /有有AxAvtg/0000

6、 xv2+(/ /)2有有22020)/(Avx,00 xxt 00VVt 相位差相位差-相位之差相位之差 对两同频率的简谐振动，相位差等于初相差对两同频率的简谐振动，相位差等于初相差 = (= ( t + t + 2 2) - () - ( t + t + 1 1) ) = = 2 2 - - 1 1 1.1.相位差和初相差相位差和初相差2.2.同相和反相同相和反相 当当 = = 2 2k k ， ( ( k k = 0,1,2,)= 0,1,2,)，两振动步调，两振动步调相同，称相同，称同相同相当当 = = (2(2k k+1)+1) ， ( k( k= 0,1,2,= 0,1,2,)，两

7、振动步两振动步调相反，称调相反，称反相反相 x2TxoA1-A1A2- A2x1t反相反相xoA1-A1A2- A2x1x2Tt同相同相 (a) 两同相振动的振动曲线两同相振动的振动曲线 (b) 两反相振动的振动曲线两反相振动的振动曲线 3.3.领先和落后领先和落后若若 = = 2 2- - 1 1 0, 0,则则x x2 2比比x x1 1较早达到正最大，称较早达到正最大，称x x2 2比比x x1 1领先领先( (或或x x1 1比比x x2 2落后落后) ) 领先、落后以领先、落后以 的相位角的相位角( (或以或以 T T/2/2的时间间的时间间隔隔) )来判断来判断 xx2ToA1-A

8、1A2- A2x1t振动的领先与落后振动的领先与落后 思考思考：在上图中，：在上图中，x1与与x2两两振动谁领先振动谁领先?1. .在平衡位置附近来回振动。在平衡位置附近来回振动。2.2.受回复力作用。受回复力作用。特点：特点：1. .弹簧质量不计。弹簧质量不计。1.1.符合符合2. .所有弹力都集中在弹簧上。所有弹力都集中在弹簧上。3. .质量集中于物体上。质量集中于物体上。4. .不计摩擦。不计摩擦。xo弹F Fx x振动位移：振动位移：从从 o 点指向物体所在位置的矢量。点指向物体所在位置的矢量。回复力：回复力：x xF Fk弹建立坐标系，建立坐标系，o点选在弹簧平衡位置处。点选在弹簧平

9、衡位置处。xo弹F Fx xkxF弹一维振动一维振动22dtxdaxmkmF弹ma022xmkdtxd令令mk20222xdtxd有有简谐振动微分方程简谐振动微分方程xo弹F Fx x)cos(tAx其中其中A为振幅，为振幅，为圆频率，为圆频率，为初相位。为初相位。mk圆频率圆频率只与弹簧振子性质有关。只与弹簧振子性质有关。单位：单位：rad/s解微分方程解微分方程mk1. .圆频率圆频率2.2.周周 期期2Tkm23.3.频频 率率T1mk21xo弹F Fx x均是作简谐振动的物理量均是作简谐振动的物理量频率相同频率相同振幅的关系振幅的关系Am2Aam相位差相位差超前超前 落后落后ax,tA

10、xcos2costAcos2tAa)cos(tAx)sin(tAv)cos(2tAaxa234o,xav,tAAA2v质量集中于小球上，不计悬线质量。质量集中于小球上，不计悬线质量。取逆时针为取逆时针为 张角张角正向，以悬点为轴，正向，以悬点为轴，只有只有重力产生力矩重力产生力矩。lg gmT TsinmglM“ “ ” ”表示力矩与表示力矩与 张角方向相反。张角方向相反。sinmglMlg gmT TMJ22dtdJsin22mgldtdJ当当 5时时sin022Jmgldtd2mlJ022Jmgldtd022lgdtd令令lg20222dtd谐振动微分方程谐振动微分方程2T周期周期gl2l

11、g gmT TT1频率频率lg21与质量无关。与质量无关。lg圆频率圆频率 简谐振动过程即有动能又有势能，简谐振动过程即有动能又有势能，Ek、Ep交交替变化。替变化。221mvEk2)sin(21tAm)(sin21222tmAxoA一、谐振动的动能一、谐振动的动能)(sin21222tAmEkmk2)(sin2122tkAEkkm2otkE221kxEp2)cos(21tAk)(cos2122tkAotkEpEEk 最大时，最大时， Ep最小，最小， Ek 、Ep交替变化交替变化. .)(sin2122tkAEk二、谐振动的势能二、谐振动的势能)(cos2122tkAEp)(sin2122t

12、kAEkpkEEEotkEpE机械能守恒，谐振过程保守力作功。机械能守恒，谐振过程保守力作功。谐振能量与振幅的平方成正比。谐振能量与振幅的平方成正比。E221kA三、谐振动的能量三、谐振动的能量将物理模型转变成数学模型。将物理模型转变成数学模型。矢量矢量 A A 以角速度以角速度 逆时逆时针作匀速圆周运动，针作匀速圆周运动，研究端点研究端点 M 在在 x 轴上投轴上投影点的运动影点的运动，xoxyAtM初相初相P用匀速圆周运动用匀速圆周运动 几何地描述几何地描述 S H VS H V一、一、xoxy0MMtAP1. . M 点在点在 x 轴上投影点的运动轴上投影点的运动)cos(tAx为简谐振

13、动。为简谐振动。2. M 2. M 点的运动速度点的运动速度)sin(tAv在在 x x 轴上投影速度轴上投影速度AvAv3. M 3. M 点的加速度点的加速度2Aaxoxy0MMtAPa在在x x轴上投影加速度轴上投影加速度)cos(2tAaM点点运动运动在在x轴投影，为谐振动的运动方程。轴投影，为谐振动的运动方程。M点点速度速度在在x轴投影，为谐振动的速度。轴投影，为谐振动的速度。M点点加速加速度在度在x轴投影，为谐振动的加速度。轴投影，为谐振动的加速度。结论：结论：2AA谐振动谐振动旋转矢量旋转矢量t+T振幅振幅初相初相相位相位圆频率圆频率谐振动周期谐振动周期半径半径初始角坐标初始角坐

14、标角坐标角坐标角速度角速度 圆周运动周期圆周运动周期二、二、xoAotxAoxyA1.1.初始条件初始条件0tAx000vcosAA1cos0l0三、三、xootxAoxyA2.2.初始条件初始条件0t00 x00vcos0A0cos2/3 , 2/l,0sin0Av0sin取取2/2oxyA3.3.初始条件初始条件0tAx000vcosAA1cosxoAloxAAxootxAoxyA4.4.初始条件初始条件0t00 x00vcos0A0cos2/3 , 2/l,0sin0Av0sin取取2/323tAxcos1、 直观地表达振动状态直观地表达振动状态优点优点tx0Axt当振动系统确定了振幅以

15、后当振动系统确定了振幅以后表述振动的关键就是表述振动的关键就是相位相位 即即表达式中的余弦函数的表达式中的余弦函数的综量综量)(t而旋转矢量图而旋转矢量图可可直观地显示该综量直观地显示该综量分析解析式分析解析式可知可知用图代替了文字的叙述用图代替了文字的叙述x如如 文字叙述说文字叙述说 t 时刻弹簧振子质点时刻弹簧振子质点 在正的端点在正的端点Ax 0t旋矢与轴夹角为零旋矢与轴夹角为零123t 质点经二分之一振幅处质点经二分之一振幅处向负方向运动向负方向运动xoA意味意味A意味意味2Ax 0A质点过平衡位置向负方向运动质点过平衡位置向负方向运动32t43t5Axt同样同样432 0向负方向运动

16、向负方向运动x12xoAA0 x 02Ax 00 x 02或或2Ax 0 xoxAAA6786780 向正向运动向正向运动cos2coscos2tAatAtAxxaAAA2由图看出：速度超前位移由图看出：速度超前位移加速度超前速度加速度超前速度2称两振动称两振动同相同相2、方便地、方便地比较振动步调比较振动步调位移与加速度位移与加速度称两振动称两振动反相反相0若若3、方便计算、方便计算用熟悉的圆周运动代替三角函数的运算用熟悉的圆周运动代替三角函数的运算例：质量为例：质量为m的质点和劲度系数为的质点和劲度系数为k的弹簧的弹簧 组成的弹簧谐振子组成的弹簧谐振子 t = 0时时 质点过平衡位置且向正

17、方向运动质点过平衡位置且向正方向运动求：物体运动到负的二分之一振幅处时求：物体运动到负的二分之一振幅处时 所用的所用的最短时间最短时间0ttt67mk67xo解：设解：设 t 时刻到达末态时刻到达末态由已知画出由已知画出t = 0 时刻的旋矢图时刻的旋矢图再画出末态的旋矢图再画出末态的旋矢图由题意选蓝实线所示的位矢由题意选蓝实线所示的位矢设始末态位矢夹角为设始末态位矢夹角为 因为因为得得繁复的三角函数的运算用匀速繁复的三角函数的运算用匀速圆周运动的圆周运动的一个一个运动关系求得运动关系求得引：引：- - 质点同时参与两个振动，研究质点同时参与两个振动，研究两个两个同方向同频率的振动合成同方向同

18、频率的振动合成。)cos(111tAx)cos(222tAx振动合成振动合成21xxx分振动分振动合成后仍为谐振动，角速度不变。合成后仍为谐振动，角速度不变。)cos(tAx一、同（振动）方向、同频率有恒定相位差一、同（振动）方向、同频率有恒定相位差的两个谐振动的合成的两个谐振动的合成t tx x1x2xx结论：两个同方向、同频率的谐振动合成后结论：两个同方向、同频率的谐振动合成后 仍为同频率的简谐振动。仍为同频率的简谐振动。1A2AA12Y Yx x、旋转、旋转、当当k212时（同相）时（同相）, , )cos(212212221AAAAA),2,1,0(k21AAA合振动振幅最大。合振动振

19、幅最大。oxtxo2A A1A AA A21、当当）（1212k时（反相）时（反相）, , )cos(212212221AAAAA),2,1,0(k21AAA合振动振幅最小。合振动振幅最小。21AA若若0Aoxt合振动初相随振幅大者。合振动初相随振幅大者。xo2A A1A AA A2适用于：两个分振动适用于：两个分振动等振幅等振幅时。时。分振动分振动21xxx合振动合振动)2cos()2cos(22112tA例例: :)cos(11tAx)cos(22tAx)4cos(05. 01tx)1219cos(05. 02tx、和差化积求合振动、和差化积求合振动、由分振动曲线求合振动、由分振动曲线求合

20、振动例：例：两同方向、同频率谐振动合成，两同方向、同频率谐振动合成，求：合成谐振动方程求：合成谐振动方程解：解：合成后合成后 不变，不变，)3cos(tAx)cos(212212221AAAAA)03/cos(242242272tx3cos41)3/3cos(22tx22112211coscossinsinAAAAtg3/cos20cos43/sin20sin45333.0合振动方程合振动方程)33.03cos(72tx 1 1、解析法：、解析法：先将先将x x1 1,x,x2 2合成，再与合成，再与x x3 3合成。合成。合成后仍为谐振动。合成后仍为谐振动。)cos(tAx)cos(111t

21、Ax)cos(222tAx)cos(333tAx 2 2、矢量合成法：、矢量合成法：x x1 1,x,x2 2，x x3 3 首尾首尾相接。相接。f fo oA A 123二、多个同方向、同频率谐振动合成二、多个同方向、同频率谐振动合成三、在垂直方向上的两个谐振动的合成三、在垂直方向上的两个谐振动的合成)cos(111tAx)cos(222tAy3256图图(a)、(b)、(c)为三个不同的简谐振动系为三个不同的简谐振动系统组成各系统的各弹簧的原长、各弹簧统组成各系统的各弹簧的原长、各弹簧的劲度系数及重物质量均相同的劲度系数及重物质量均相同(a)、(b)、(c)三个振动系统的三个振动系统的 2

22、（ 为固有角频率）为固有角频率）值之比为值之比为 (A) 2 1 (B) 1 2 4 (C) 2 2 1 (D) 1 1 2 km(a)mmkkkk(b)(c)B3557 一质点沿一质点沿x轴作简谐振动，振动范围的轴作简谐振动，振动范围的中心点为中心点为x轴的原点已知周期为轴的原点已知周期为T，振，振幅为幅为A (1) 若若t = 0时质点过时质点过x = 0处且朝处且朝x轴正轴正方向运动，则振动方程为方向运动，则振动方程为 x =_ (2) 若若t = 0时质点处于时质点处于 处且向处且向x轴负方向运动，则振动方程为轴负方向运动，则振动方程为 x =_ )212cos(TtA)312cos(TtAAx213562图中所画的是两个简谐振动的图中所画的是两个简谐振动的振动曲线若这两个简谐振振动曲线若这两个简谐振动可叠加，则合成的余弦振动可叠加，则合成的余弦振动的初相为动的初相为 (A) (B) (C) (D) 0 2321xt O A/2 -Ax1x2 B 5190一质点同时参与了三个简谐振动