泄洪水渠的修建策略

1、 地区防洪设施修建策略摘 要本文讨论的是某地区防洪设施最优修建策略的问题，如何做到在一定时间内排洪量达到计划规定的值，政府所投入的总开支尽量地节省，是防洪设施最优修建的关键。问题一中，总的泄洪量包括四条天然河道的可泄洪量，开挖的排洪沟的泄洪量，还有修建的新泄洪河道的泄洪量，总的开支主要由开挖排洪沟的费用和修建新泄洪河道的费用组成。因此，采用01规划模型列出目标函数的表达式及与其对应的约束条件。通过LINGO软件对所建立的模型进行编程求解，取最优解，从而使得在排洪量达标的前提下总的开支尽量地节省。针对问题二，根据水只能从地势高的地方流向地势低的地方这一常理，将表3中的数据进行了处理，得到矩阵。同

2、样采用01规划建立模型，列出目标函数，给出约束条件，通过编程软件的求解，得到一个各村之间修建新泄洪河道网络的合理方案，画出了网络结构图，算出了总费用的最小值。问题三是在问题一和问题二的基础上通过自行设计方案再次对模型进行优化。海拔比较接近又相邻的村庄，一般会修建泄洪河道，考虑到实际情况，两个村庄的河水可以经过一定时间之后汇集于某个地方后，一起流向别的村庄。为此，假定A、B、C三个村庄，海拔ABC，故有三种水流方案：A到B再一起到C，A到C，B到C，A、B分别汇集到E之后一起流向C。然后算出三种方案各自的费用，进行比较，最后采纳费用比较少的方案。关键词：最优修建策略；01规划一、问题重述1.1问

3、题背景位于我国南方的某个偏远贫困乡，地处山区，一旦遇到暴雨，经常发生洪涝灾害。以往下雨时，完全是依靠天然河流进行泄洪。2010年入夏以来，由于史无前例的连日大雨侵袭，加上这些天然河流泄洪不畅，造成大面积水灾，不仅夏粮颗粒无收，而且严重危害到当地群众的生命财产安全。为此，乡政府打算立即着手解决防汛水利设施建设问题。1.2相关信息从两方面考虑，一是在各村开挖一些排洪沟,以满足近两三年的短期防汛需要；二是从长远考虑，可以通过修建新泄洪河道的办法把洪水引出到主干河流。经测算，修建新泄洪河道的费用为（万元），其中表示泄洪河道的可泄洪量（万立方米/小时），表示泄洪河道的长度（公里）。1.3待解决的问题问题

4、1：该乡的某个村区域内原有四条天然河流，由于泥沙沉积，其泄洪能力逐年减弱。在表1中给出它们在近年来的可泄洪量（万立方米/小时）粗略统计数字。水利专家经过勘察，在该村区域内规划了8条可供开挖排洪沟的路线。由于它们的地质构造、长度不同，因而开挖的费用和预计的可泄洪量也不同，详见表2，而且预计每条排洪沟的可泄洪量还会以平均每年10%左右的速率减少。同时开始修建一段20公里长的新泄洪河道。修建工程从开工到完成需要三年时间，且每年投资修建的费用为万元的整数倍。要求完成之后，通过新泄洪河道能够达到可泄洪量100万立方米/小时的泄洪能力。乡政府从2010年开始，连续三年，每年最多可提供60万元用于该村开挖排

5、洪沟和修建新泄洪河道，为了保证该村从2010至2014年这五年间每年分别能至少达到可泄洪量150、160、170、180、190万立方米/小时的泄洪能力，请作出一个从2010年起三年的开挖排洪沟和修建新泄洪河道计划，以使整个方案的总开支尽量节省（不考虑利息的因素在内）。表1 现有四条天然河道在近几年的可泄洪量（万立方米/小时） 年份编号2001200220032004200520062007200820091号32.231.329.728.627.526.125.323.722.72号21.515.911.88.76.54.83.52.62.03号27.925.823.821.619.517.

6、415.513.311.24号46.232.626.723.020.018.917.516.3表2 开挖各条排洪沟费用（万元）和预计当年可泄洪量（万立方米/小时）编号12345678开挖费用57546553当年泄洪量2536321531282212问题2：该乡共有10个村,分别标记为，下图给出了它们大致的相对地理位置，海拔高度总体上呈自西向东逐渐降低的态势。 其中村距离主干河流最近，且海拔高度最低。乡政府打算拟定一个修建在各村之间互通的新泄洪河道网络计划，将洪水先通过新泄洪河道引入村后，再经村引出到主干河流。要求完成之后，每个村通过新泄洪河道能够达到可泄洪量100万立方米/小时的泄洪能力。表3

7、 各村之间修建新泄洪河道的距离（单位：公里）2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 98 5 9 12 14 12 16 17 229 15 17 8 11 18 14 227 9 11 7 12 12 173 17 10 7 15 188 10 6 15 159 14 8 168 6 1111 1110请你们根据表3中的数据，为该乡提供一个各村之间修建新泄洪河道网络的合理方案，使得总费用尽量节省。（说明：从村A村B的新泄洪河道，一般要求能够承载村A及上游新泄洪河道的泄洪量。）问题3：你们是否能够为该乡提出一个更加合理的解决泄洪的办法？二、问题分析问题一要求在该地

8、区修建一段20公里长的新泄洪河道及开挖一定数目的排洪沟，保证该村从2010至2014年这五年间每年分别能至少达到可泄洪量150、160、170、180、190万立方米/小时的泄洪能力，并且使得整个方案的的总开支尽量节省。考虑到四天天然河流也能泄洪，但是表1中只给出了这四条河流20012009这九年的可泄洪量，因此必须通过表中所给的数据分别拟合出这四条天然河流每年的可泄洪量关于年限的函数。在选择要开挖哪几条排洪沟的同时，采用01规划建立模型，选择就是1，没有选到的就是0，故总的泄洪量是四条天然河道的可泄洪量、开挖的排洪沟的泄洪量、修建的新泄洪河道的泄洪量之和，总的开支包括开挖排洪沟的费用和修建新

9、泄洪河道的费用。根据这些列出目标函数，给出约束条件，通过软件编程取最优解。对于问题二，以村为研究对象，村庄上游的任何一个村庄的洪水都可以流入村，村庄的洪水可以流入其下游任何一个村庄。同样选择01规划建模，如果在上游，村庄的洪水就能流入村，取1，反之取0。根据表3中各村之间修建新泄洪河道的距离及该地区10个村庄的海拔地势可以整理出矩阵。列出目标函数，根据约束条件，在矩阵中选一组数据获得最优解，即总费用的最小值。问题三是基于问题一、问题二的完善，要求自己设计一种更加合理的解决泄洪的方法，为此，可以对问题一、二所给的信息及得出的结果归纳分析，最后运用到自己设计的方案中。三、模型假设(1)每条排洪沟的

10、可泄洪量每年减少的速率均是10%；(2)所有的排洪设施都不会受天灾的毁坏；(3)修建新泄洪河道每年的泄洪量不变：(4)不考虑利息的因素在内。 四、符号说明 第条自然河道的泄洪量 第年的排洪沟和河道的总泄洪量 第年修第条排洪沟的可能性 第条排洪沟的泄洪量 第年自然河流的泄洪量 第年修排洪沟与河道所需的总费用 第年修河道所需的费用 修第条排洪沟所需的费用 第年修新泄洪河道的长度 村庄到村庄的距离 村庄流向村庄的泄洪量五、模型建立与求解5.1问题一模型一的建立与求解对数据进行处理：由表1中的数据，通过数据拟合可以预测四条天然河道未来五年的可泄洪量。用matlab画出四条天然河道2001年到2009年

11、的可泄洪量走向如下图：由四条天然河道2001年到2009年的可泄洪量走向可知：第一、三条天然河道的可泄洪量呈线性下降趋势，可用一次多项式拟合，第二、四条天然河道的可泄洪量呈指数下降趋势，可用回归分析进行拟合。通过拟合分别得到四条天然河道的拟合函数如下：根据函数可求得20102014这五年各天然河流的泄洪量，列出表格如下：编号 年份201020112012201320141号21.420.219.017.816.62号1.41.10.80.60.43号9.17.05.02.90.84号12.711.19.78.47.3总泄洪量44.839.534.529.725.2根据题意算出第年的天然河道、排

12、洪沟和新泄洪河道的总泄洪量,，结果如下：;；;其中，表示第条排洪沟的泄洪量，表示第年天然河道的泄洪量和新泄洪河道的泄洪量之和。由题目中给出的公式得出第年所需总费用：得到第年河道所需费用：其中表示修第条排洪沟所需费用，为第年修新泄洪河道的长度；最后得出目标函数:约束条件：通过LINGO软件编程得出整个开挖排洪沟和修建新泄洪河道的计划：第一年开挖编号为2,5,6,7的排洪沟，第二年开挖编号为3的排洪沟，第三年开挖编号为8的排洪沟；得出整个费用的总开支为169.2210万元，其中政府第一年拨款37万元，第二年拨款55万元，第三年拨款46.22097万元给河道修建工程。且第一年修新泄洪河道的长度为5.

13、3公里，第二年修新泄洪河道的长度为8.0公里，第三年修新泄洪河道的长度为6.7公里。5.2问题二模型建立由于受地势因素影响，水只能从地势高的地方流向地势低的地方。以村为研究对象，村庄上游的任何一个村庄的洪水都可以流入村，村庄的洪水可以流入其下游任何一个村庄。令其中为村和村之间修泄洪河道的距离；则得到如下矩阵：以村为研究对象，令其中为村庄流向村庄的泄洪量；则得到如下矩阵：由于每个村庄通过新泄洪河道能够达到可泄洪量100万立方米/小时的能力，且村庄泄洪河道必须能够承载连接该村的上游河道的泄洪量，从上游村流入村的洪水量，从村流向下游村庄的总洪水量，则由如下约束条件：在满足以上式约束条件的同时，以总费

14、用最少作为目标函数。建立模型如下：目标函数：约束条件：模型求解用Lingo软件对上述线性规划问题进行优化，得出修建各村之间修建新泄洪河道网络的方案如下：河道网1-32-73-74-55-86-57-89-710-8流量100100200100300100500100100表6说明：表6中1-3表示从村庄1修建到村庄3的泄洪河道。图3结果分析：如图可知途中各点代表实际村庄的相对位置，图像明显可以看到有一条河流与两条河流相交，且相交的两条河流存在着泄洪量不同，可能使得泄洪能力减弱，因此相交方案不可行，对此做出更优化的方案使得每两条河流不相交，方案如下：第一步令村庄5到村庄6的距离变得很大，使得村庄

15、6不能连到村庄5，得到值为571万元。河道编号12345678910泄洪量1001002001003001005001000100100价钱34.5676.0268.9020.7372.6255.29125.63041.4776.02第二步令村庄2与村庄7的距离变得很大，使得村庄2不能连到村庄7，得到值为578.43万元。图4因此得到如下结果：河道编号12345678910泄洪量1001003004006001002001000100100价钱34.5562.2084.7242.05103.4155.2978.73041.4776.025.3问题三模型建立从问题二可以知道，海拔比较接近又相邻的

16、村庄，一般会修建泄洪河道，考虑到实际情况，两个村庄的河水可以经过一定时间之后汇集于某个地方后，一起流向别的村庄。假设现有A、B、C三个村庄，它们构成三角形，其海拔有ABC，A、B的河水最后都流向C。根据问题二有两种方案：A到B再一起到C；A到C，B到C，而新方案；A、B分别汇集到E之后一起流向C 。 方案的费用为方案的费用为对于方案、，明显有，因此，方案要比方案更节省更优。而对于方案，设模型求解对上式分别求偏导有：从而可以解得，将其带入函数最后可求。求解起来很复杂，上式证明起来有一定困难，在这里我们随机的取直角、钝角、锐角三角形，进行验算。六、模型评价与推广优点：(1)模型一通过采用拟合一次多

17、项式拟合和回归分析拟合两种方法对天然的河的泄洪能力做出了客观合理的预测。对不同变化趋势的河流采取不同的方案推测，对未来天然的河的泄洪能力进行更加准确的预测。(2)模型二通过零一分析和表三，再结合各村地势高低位置整理出各村洪水可能的流向与各村之间的距离矩阵图和各村之间泄洪量矩阵图，通过零一变量的灵活使用，很好的得出了最优的修建方案。(3)模型精简易懂，便于通过程序实现，具有很大程度上的通用性。而且，本模型比较符合实际情况，也可以根据实际的变化进行调整。缺点：(1)模型没有将新建的河道衰减考虑在内，避免不了其他相关的次要因素在一定程度上造成的偏差，使得模型的稳定性的降低。(2)实际上新修建的泄洪河

18、道在修建过程中就会一定量的排洪，但由于条件有限我们并没作考虑，但所得的结果准确性不高。推广：问题一、二所运用的01规划可推广到公路、铁路、桥梁的修建。七、参考文献【1】胡良剑，孙晓君，MATLAB数学实验，北京：高等教育出版社，2006.6【2】谢金星，薛毅，优化建模与LINGO软件，北京：清华大学出版社，2010.5【3】姜启源，谢金星，叶俊，数学模型，北京：高等教育出版社，2011.1【4】赵书兰，MATLAB编程与最优化设计应用，北京：电子工业出版社，2013.8 八、附录问题一的程序附录一：四条天然河道2001年到2009年的可泄洪量走向图曲线clear;clc;format shor

19、ty1=32.2 31.3 29.7 28.6 27.5 26.1 25.3 23.7 22.7;y2=21.5 15.9 11.8 8.7 6.5 4.8 3.5 2.6 2.0;y3=27.9 25.8 23.8 21.6 19.5 17.4 15.5 13.3 11.2;y4=46.2 32.6 26.7 23.0 20.0 18.9 17.5 16.3;x=1:9;p=csape(x,y1);figure(1);fnplt(p);p=csape(x,y2);figure(2);fnplt(p);p=csape(x,y3);figure(3);fnplt(p);x=2:9;p=csape

20、(x,y4);figure(4);fnplt(p);附录二：四条天然河道拟合曲线第一、 三条拟合程序clear;clc;format shorty1=32.2 31.3 29.7 28.6 27.5 26.1 25.3 23.7 22.7;y2=21.5 15.9 11.8 8.7 6.5 4.8 3.5 2.6 2.0;y3=27.9 25.8 23.8 21.6 19.5 17.4 15.5 13.3 11.2;y4=46.2 32.6 26.7 23.0 20.0 18.9 17.5 16.3;x=1:9;xi=10:14;p1=polyfit(x,y1,1);y1i=polyval(p

21、1,xi);p=csape(x,xi,y1,y1i);figure(1);fnplt(p);p3=polyfit(x,y3,1);y3i=polyval(p3,xi);p=csape(x,xi,y3,y3i);figure(2);fnplt(p);第二、 四条拟合程序clear;clc;y2=21.5 15.9 11.8 8.7 6.5 4.8 3.5 2.6 2.0;y4=46.2 32.6 26.7 23.0 20.0 18.9 17.5 16.3;x2=ones(9,1),1:9;x4=ones(8,1),2:9;b2,bint2,r2,rint2,stats2=regress(log(

22、y2),x2);b4,bint4,r4,rint4,stats4=regress(log(y4),x4);y2=exp(b2(1)+b2(2)*1:14);p=csape(1:14,y2);figure(1);fnplt(p);y4=exp(b4(1)+b4(2)*2:14);p=csape(2:14,y4);figure(2);fnplt(p);附录三：lingo求解开挖排洪沟和修建新泄洪河道模型MODEL:Title Location Problem;sets: din1/1.5/:d,l,q,p,b,g; din2/1.8/:v,r; link(din1,din2):k;endsetsd

23、ata: d=60,60,60,0,0; b=150,160,170,180,190; q=44.8,39.5,34.5,129.7,125.2; v=5,7,5,4,6,5,5,3; r=25,36,32,15,31,28,22,12;enddatainit: 附录一：四条天然河道2001年到2009年的可泄洪量走向图曲线clear;clc;format shorty1=32.2 31.3 29.7 28.6 27.5 26.1 25.3 23.7 22.7;y2=21.5 15.9 11.8 8.7 6.5 4.8 3.5 2.6 2.0;y3=27.9 25.8 23.8 21.6 19

24、.5 17.4 15.5 13.3 11.2;y4=46.2 32.6 26.7 23.0 20.0 18.9 17.5 16.3;x=1:9;p=csape(x,y1);figure(1);fnplt(p);p=csape(x,y2);figure(2);fnplt(p);p=csape(x,y3);figure(3);fnplt(p);x=2:9;p=csape(x,y4);figure(4);fnplt(p);附录二：四条天然河道拟合曲线第三、 三条拟合程序clear;clc;format shorty1=32.2 31.3 29.7 28.6 27.5 26.1 25.3 23.7 2

25、2.7;y2=21.5 15.9 11.8 8.7 6.5 4.8 3.5 2.6 2.0;y3=27.9 25.8 23.8 21.6 19.5 17.4 15.5 13.3 11.2;y4=46.2 32.6 26.7 23.0 20.0 18.9 17.5 16.3;x=1:9;xi=10:14;p1=polyfit(x,y1,1);y1i=polyval(p1,xi);p=csape(x,xi,y1,y1i);figure(1);fnplt(p);p3=polyfit(x,y3,1);y3i=polyval(p3,xi);p=csape(x,xi,y3,y3i);figure(2);f

26、nplt(p);第四、 四条拟合程序clear;clc;y2=21.5 15.9 11.8 8.7 6.5 4.8 3.5 2.6 2.0;y4=46.2 32.6 26.7 23.0 20.0 18.9 17.5 16.3;x2=ones(9,1),1:9;x4=ones(8,1),2:9;b2,bint2,r2,rint2,stats2=regress(log(y2),x2);b4,bint4,r4,rint4,stats4=regress(log(y4),x4);y2=exp(b2(1)+b2(2)*1:14);p=csape(1:14,y2);figure(1);fnplt(p);y4

27、=exp(b4(1)+b4(2)*2:14);p=csape(2:14,y4);figure(2);fnplt(p);附录三：lingo求解开挖排洪沟和修建新泄洪河道模型MODEL:Title Location Problem;sets: din1/1.5/:d,l,q,p,b,g; din2/1.8/:v,r; link(din1,din2):k;endsetsdata: d=60,60,60,0,0; b=150,160,170,180,190; q=44.8,39.5,34.5,129.7,125.2; v=5,7,5,4,6,5,5,3; r=25,36,32,15,31,28,22,

28、12;enddataendinitmin=sum(link(i,j):k(i,j)*v(j)+0.66*1000.51*20;for(din1(i)|1#le#i #and# i#le#3: sum(din2(j):k(i,j)*v(j)+0.66*1000.51*l(i)=d(i);); p(1)=sum(din2(i):k(1,i)*r(i)+q(1);p(2)=sum(din2(i):k(2,i)*r(i)+k(1,i)*r(i)*0.9)+q(2);p(3)=sum(din2(i):k(3,i)*r(i)+k(2,i)*r(i)*0.9+k(1,i)*r(i)*0.92)+q(3);p

29、(4)=sum(din2(i):k(3,i)*r(i)*0.9+k(2,i)*r(i)*0.92+k(1,i)*r(i)*0.93)+q(4);p(5)=sum(din2(i):k(3,i)*r(i)*0.92+k(2,i)*r(i)*0.93+k(1,i)*r(i)*0.94)+q(5);sum(din1(i):k(i,1)=1;sum(din1(i):k(i,5)=1;sum(din1(i):k(i,2)=1;sum(din1(i):k(i,6)=1;sum(din1(i):k(i,3)=1;sum(din1(i):k(i,7)=1;sum(din1(i):k(i,4)=1;sum(din

30、1(i):k(i,8)=b(i);for(din1(i):g(i)=0.66*1000.51*l(i);for(link:bin(k);sum(din1(i)|1#le#i #and# i#le#3:l(i)=20;END问题二的程序model:sets:y/1.10/;r(y,y)/1,3 1,4 1,5 1,7 1,8 1,10 2,1 2,3 2,4 2,5 2,7 2,8 2,9 2,10 3,4 3,5 3,7 3,8 3,10 4,5 4,85,8 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,7 6,8 6,9 6,10 7,4 7,5 7,8 7,10 9,3 9,4 9,5 9,7 9,8 9,10 10,5 10,8/:l,x,