边界层-冶金传输原理

1、边界层原理与应用边界层原理与应用北京科技大学冶金与生态学院北京科技大学冶金与生态学院白白 皓皓2022-6-251边界层概念的提出边界层概念的提出 业已知道，流动业已知道，流动Re数（数（O.Reynolds，1883年，英国流体力学家）是用以表征年，英国流体力学家）是用以表征流体质点的惯性力与粘性力对比关系的。根据量级分析，作用于流体上的惯性力流体质点的惯性力与粘性力对比关系的。根据量级分析，作用于流体上的惯性力和粘性力可表示为和粘性力可表示为: 惯性力：惯性力： 粘性力：粘性力： 惯性力惯性力/粘性力：粘性力： 因此，在高因此，在高Re数下，流体运动的惯性力远远大于粘性力。这样研究忽略粘性

2、力数下，流体运动的惯性力远远大于粘性力。这样研究忽略粘性力的流动问题是有实际意义的。的流动问题是有实际意义的。20203ULtULdtdVmFJLUAdydVF0Re00202LULUULFFJ2022-6-252Reynolds数意义的回顾Re数很大时，可以忽略粘性作用。但是由理想流体得出的速度场在靠近壁面处与真实情况不符。DAlembert佯谬。无滑移边界条件真实情况下，紧贴物体表面的流体与物体之间是没有相对流动的，这样在紧靠物体表面附近的一层流体区域中，有很大的速度梯度。实际流体是有粘性的。按照Newton内摩擦定律，当流场中流体之间存在速度梯度时，粘性就以内摩擦的形式出现。其特点是使低

3、速流体加速，使高速流体减速。速度梯度越大，粘性力也就越大。这样，在近靠壁面的层中，粘性力和惯性力相比是不能忽略的。2022-6-253Prandtl在1904年提出了边界层的概念，他认为流动可以分两个区域来研究：在物体表面处有一个薄层，在这个薄层中必须考虑粘性力的作用，这个薄层称为边界层。在边界层外的区域中，流体可以当作理想的。边界层概念的作用：将粘性力的作用限制在很薄的一层中，对于薄层外部的大部分流域，则可按理想流体的处理方法，极大地简化粘性流体分析，而且所得的结果与实际的情况也相符。2022-6-254 Prandtl的边界层概念，为人们如何计入粘性的作用开辟了划时代的边界层概念，为人们如

4、何计入粘性的作用开辟了划时代的途径，因此称其为粘性流体力学之父。对整个流场提出的基本分的途径，因此称其为粘性流体力学之父。对整个流场提出的基本分区是：区是：（1）整个流动区域可分成理想流体的流动区域（势流区）和粘性）整个流动区域可分成理想流体的流动区域（势流区）和粘性流体的流动区域（粘流区）。流体的流动区域（粘流区）。（2）在远离物体的理想流体流动区域，可忽略粘性的影响，按势）在远离物体的理想流体流动区域，可忽略粘性的影响，按势流理论处理。流理论处理。 （3）粘性流动区域仅限于物面近区的薄层内，称为边界层。既然）粘性流动区域仅限于物面近区的薄层内，称为边界层。既然是粘流区，粘性力的作用不能忽略

5、，与惯性力同量级，流体质点作是粘流区，粘性力的作用不能忽略，与惯性力同量级，流体质点作有旋运有旋运 动。动。2022-6-255将绕流流场划分成边界层和外流区两个部分，首先遇到的是如何确定两者之间的分界面。参看平板边界层的图。由于粘性作用，流体速度在壁面处为零，然后沿壁面法向并逐渐增加，最终达到外部主流的速度V。考虑到边界层外边界处，速度增加到V是一个渐近过程，因此人为规定：将流体速度从u=0到u=0.99V对应的流体层的厚度定义为边界层的厚度。2022-6-256边界层厚度的量级估计 根据边界层内粘性力与惯性力同量级的条件，可估算边界层的厚度。以平板绕流为例说明。设来流的速度为U，在x方向的

6、长度为L，边界层厚度为 。 惯性力： 粘性力： 由惯性力与粘性力同量级得到 22ULtULdtdVmFJ2LUAdydVFRe1 UL 22LLUFFJ2022-6-257边界层结构 图10.7 流体绕过流线型锐端平板层流区过渡区紊流区WxwwW层流底层因为边界层厚度 极小，扰动在其中不易发展，所以此时边界层中的流动是层流，称为层流边界层，受粘性力的控制。当流体沿平板继续流动，边界层逐渐增厚，扰动便会发展起来，边界层中的流动变成紊流，此时边界层厚度 增加很快，称为紊流边界层。边界层由层流向紊流转变时，不是突然发生的，中间有一过渡区，称作变流区。在与板面直接接触的地方，还有一层极薄的层流底层（对

7、光滑板尤其明显）。边界层由层流向紊流的转变，取决于雷诺数Re的大小。对绕流流场，Re与主流流速v、流体运动粘度和自板端向后流过的距离x有关，即vxvxRe2022-6-258是否由层流转入紊流取决于临界雷诺数Re，而主流的初始扰动程度、板面的几何形状、流场的压力梯度、壁面的粗糙度、流体的可压缩性（马赫数）、加热或冷却效果等都会影响临界雷诺数Re。对于光滑表面没有压力梯度的绝热流动5103crcrvxRe2022-6-259边界层微分方程 普朗特提出边界层的微元体分析法，建立了边界层的微分方程式。边界层中的流动属于粘性流，它符合纳维斯托克斯方程式。对于忽略了质量力的不可压缩流体稳定的二维绕流流动

8、，其运动方程式和连续方程式为01122222222yvxvyvxvypyvwxvvyvxvxpywvxwvyxyyyyyxxxxyxx（10.5） 边界层计算主要解决的是边界层厚度沿界面的变化、流体压力分布和流动阻力的计算问题。下面首先讨论边界层微分方程式。2022-6-2510Ludwig PrandtlLudwig Prandtl介绍介绍 普朗特重视观察和分析力学现象，养成了非凡的直观洞察能力，善于抓住物理本质，概括出数学方程。他曾说：“我只是在相信自己对物理本质已经有深入了解以后，才想到数学方程。方程的用处是说出量的大小，这是直观得不到的，同时它也证明结论是否正确。” 普朗特指导过81名

9、博士生，著名学者Blasius、Von Karman是其学生之一。2022-6-2511现利用边界层特性来讨论方程组中各项的数量级，从而简化方程组。以 表示主流速度、 表示边界层厚度、 表示绕流物体的长度（如平板长、翼弦）。并以 表示微量，用符号“”表示数量级相同。在流动方向上， 的变化从零到 ， 与 数量级相同；相应地 由 零到 ，具有 的数量级，即 ， 由于边界层厚度很小，与绕流物体长度相比为微量，因此Vlxlxlyxly1l边界层中的速度 沿着厚度从零变化到 ，因此 ； 的数量级可由连续性方程推导如下：xvVxvVyvlVyvxvyxyv或Vvyl2022-6-2512各项除以 ，注意到

10、 ，则上式可写成式（10.5）的第一个方程中各项及对应的数量级为 22221yvxvxpyvvxvvxxxyxxlV2VvylV22lV2V当 较大时，有 ，则 1， 趋于零。lV2VlRe Re1Re21ReRe21)(12ReRe11 1 1式（10.5）的第二个方程中各项的数量级为22221yvxvypywvxwvyyyyyx22?yyyyyvlvvvlvV2022-6-2513各项除以 ，则上式可写成与第一个方程中各项的数量级相比，上式各项均为微量，从而得到 。即边界层中的压力 在y方向是不变的，与边界层外的压力相等。事实上，由实验测出的物体表面压力分布与按理想势流计算出的压力分布十分

11、接近。lV23?0ypp00122yvxvypyvxpyvvxwvyxxxyxx xVvyvvyxyx,0, 0（10.6）其边界条件为 由上述分析，得到简化后的不可压缩粘性流体二维稳定流动的层流边界层方程组2022-6-2514第十章 边界层理论 第二节 边界层微分方程 式中 表示 位置沿壁面的主流区的流速，即边界层外缘的流速。当 时，主流流速不变， 为一常数，与 无关。边界层微分方程式是边界层计算的基本方程式。但是，由于它的非线性，即使对于形状最简单的物体，求解也十分困难。因此目前只能对平板绕流层流边界层进行解析计算，对复杂物体的绕流和紊流边界层尚无法求解。 xVx0 xp xVx2022

12、-6-2515如图10.9所示，假定在稳定流动情况下，沿平板流动方向主流速度 不随 而变化，故不存在压力梯度，即 。式（10.6）变为图10.9 作用在边界层流体微元上的力dxyxdyo平板层流边界层的计算应从式（10.6）及其边界条件出发，先将运动方程和连续性方程归并、简化成常微分方程式，然后进行求解，得到边界层中速度分布规律及沿流动方向边界层厚度增长规律，最后确定出流动的剪切应力和阻力系数。Vx0 xp022yvxvyvyvvxvvyxxxyxx（10.7）xvzxyydddddzxdd为了将其简化为一常微分方程式，在边界层中取一微元体进行分析，作用在微元体上的力只有粘性力和惯性力。202

13、2-6-2516设边界层微元底面的粘性力为 ，顶面的粘性力为 ，则沿 方向粘性力的合力为 ，由于 ，故 。微元体的加速度zxddzxyydddxzyxyFdddyvxzyxyvFxddd22zvvyvvxvvtvtvaxzxyxxxxxdd对稳定流动 ，从而得 ，因此惯性力 。在层流边界层中，粘性力与惯性力成比例，即0tvxxvvaxxxzyxxvvmaFxxxadddxvvyvFFxxx22（10.8）假定边界层中的速度分布在任何截面上均相似，也就有 于是 VyvxxVxvx222VyvxxVxvvxx22022-6-2517RexVxxVV122Rex1或（10.9）代入式（10.8），可

14、得VvxyyVvx1 22xVyVvx（10.10）将（10.9）式代入上式可得xVy 2 f Vvfx2（10.11）式中 。令 为另一函数 的导数，则由上述边界层中速度分布的相似条件可知 是 的函数，即2022-6-2518对层流边界层引入流函数 ，则有yx,yvxxvy，于是 fVVvyx2xVyy fxVxV2 fxV由此得则（10.12）利用流函数 ，并将各运动参量表示成 的函数，可将边界层微分方程简化为 的常微分方程。yx,2022-6-2519 由于流线方程具有连续函数的特性，即 fxVyvfxVxvxvfxVVyvyvffxVxfxVfxxVxvfVyvxxxxxyx22222

15、1xyyvyxxvyx22,（10.13）2022-6-2520也就是可见所取流线方程式满足不可压缩流体的连续性方程。将式（10.13）代入式（10.6）中的纳维斯托克斯运动方程，整理后得到022xyyxyvxvyx 02 fff（10.14）（b）00 xvy 000ffV00yvy 00210fffxV此式是一个三阶非线性常微分方程式，其边界条件是即即（a） 即 Vvyx 1ffVvx（c）2022-6-2521利用上述边界条件，将边界层计算问题归结为求解常微分方程式（10.14），即求函数 。假定 是一个指数级数形式： f f 332210! 3! 2AAAAf其中 ， ， ， 是待定系

16、数。由上式可得函数 的各阶导数 、 、 由函数 、 及边界条件的式（a）、（b）得到， ； ，0A1A2A3A f f f f f f 00 f00A 00 f01A将 、 和 代入微分方程式（10.14），整理后可得 f f f 0! 22! 2! 3! 2254324323322AAAAAAAA0! 5211! 324! 222258523632252243AAAAAAAAAA2022-6-2522可见 、 、 、 等不为零，且均可用 表示。于是 变成下列03A04A22521AA06A07A22528411211AAAA2A5A8A11A2A f 114283252222!118375!

17、 8411! 521! 2AAAAf要满足式（10.14），上式中各项都应为零，由此可确定各系数为， ， ， ，（10.15）形式：式中系数 可利用边界条件的式（c），即 时 来确定。勃拉修斯经过计算得到 。于是可通过数值计算得出 、 、 、 等在不同 值下的数值。豪沃斯（Howarth）求得 08.8范围内上述各项的数值解，其部分结果列于表10.1中。表10.1表明：当 时， 已趋近于1。根据式（10.13）的第一式可知，此时 ，即边界层外缘流速已等于主流速度， 值（ ）已达到边界层规定厚度以上。2A 1f332. 02A f f f f 8 f VvxyxVy2022-6-2523由表中也可以看出，当 值达到0.99时， ，此时 ，或者 fVvx5Vxy5Rex5（10.16）层流情况下贴近壁面处流体的剪切应力为由式（10.13）已知00ddyxyv fxVVyvx 2022-6-252400y 332. 02 AfxVV332. 00ReVxxVVVVCf664