2.2.2反证法68216学习教案

1、会计学12.2.2反证法反证法68216直接证明：直接证明：(1)综合法综合法(2)分析法分析法由因导果由因导果执果索因执果索因1 1Q QP P2 23 3P PP P1 12 2P PP P得到一个明显得到一个明显成立的结论成立的结论P Q1Q1 Q2Q2 Q3Qn Q第1页/共26页思考？思考？ A A、B B、C C三个人，三个人，A A说说B B撒谎，撒谎，B B说说C C撒谎，撒谎，C C说说A A、B B都撒谎。则都撒谎。则C C必定是在撒谎，为必定是在撒谎，为什么？什么？分析分析: :假设假设C C没有撒谎没有撒谎, , 则则C C真真. 那么那么A A假且假且B B假假; ;

2、由由A A假假, , 知知B B真真. . 这与这与B B假矛盾假矛盾. .那么假设那么假设C C没有撒谎不成立没有撒谎不成立; ;则则C C必定是在撒谎必定是在撒谎. .第2页/共26页 将将9 9个球分别染成红色或白色。那么无个球分别染成红色或白色。那么无论怎样染，至少有论怎样染，至少有5 5个球是同色的。你能个球是同色的。你能证明这个结论吗？证明这个结论吗？间接证明：间接证明： 不是直接从原命题的条件逐步推不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法。得命题成立的证明方法。反证法反证法是一种常用的是一种常用的间接证明间接证明的方法。的方法。思考？思考？第3页/共26页 反证法：反证法

3、： 假设命题结论的反面成立，经过正确的推假设命题结论的反面成立，经过正确的推理理, ,引出矛盾，因此说明假设错误引出矛盾，因此说明假设错误, ,从而证从而证明原命题成立明原命题成立, ,这样的的证明方法叫反证法这样的的证明方法叫反证法。反证法的思维方法：反证法的思维方法： 正难则反正难则反第4页/共26页 应用反证法的情形：应用反证法的情形： (1)(1)直接证明困难直接证明困难; ; (2) (2)需分成很多类进行讨论需分成很多类进行讨论（3)3)结论为结论为“至少至少”、“至多至多”、“有无穷多有无穷多个个” -类命题；类命题； （4 4）结论为）结论为 “唯一唯一”类命题；类命题；正难则

4、反正难则反!第5页/共26页 一般地，假设原命题不成立，一般地，假设原命题不成立， 经过正确经过正确的推理，的推理，最后得出矛盾。最后得出矛盾。 因此说明假设错因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，误，从而证明了原命题成立， 这样的证明这样的证明方法叫做方法叫做反证法反证法（归谬法）。（归谬法）。其过程包括：其过程包括：反设反设假设命题的结论不成立；假设命题的结论不成立；存真存真由矛盾结果，断定反设不真，从而由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立。肯定原结论成立。归谬归谬从假设出发，经过一系列正确的推理从假设出发，经过一系列正确的推理，得出，得出矛盾矛盾；第6页/共26页归缪矛盾：归缪

5、矛盾：（1 1）与已知条件矛盾；）与已知条件矛盾；（2 2）与已有公理、定理、定义矛盾；）与已有公理、定理、定义矛盾； （3 3）自相矛盾。）自相矛盾。第7页/共26页常见否定用语常见否定用语是是不是不是 有有没有没有等等不等不等 成立成立不成立不成立都是都是不都是，即至少有一个不是不都是，即至少有一个不是都有都有不都有，即至少有一个没有不都有，即至少有一个没有都不是都不是部分或全部是，即至少有一个是部分或全部是，即至少有一个是唯一唯一至少有两个至少有两个至少有一个有（是）至少有一个有（是）全部没有（不是）全部没有（不是）至少有一个不至少有一个不全部都全部都第8页/共26页例例1 1 已知已知

6、a0a0，证明，证明x x的方程的方程ax=bax=b有且只有一个根。有且只有一个根。1 12 21 12 2不不妨妨设设其其中中的的两两根根分分别别为为x x ，x x 且且x x x xabxa根，因此方程至少有一个证：由于0至少存在两个根假设方程)0(0abax第9页/共26页1 12 2则则a ax x = = b b，a ax x = = b b1212ax = axax = ax1212 ax -ax = 0 ax -ax = 01 12 2 a a（x x - -x x ） = = 0 012121212 x x ，x -x 0 x x ，x -x 0 a = 0 a = 0与已

7、知a 0矛盾,与已知a 0矛盾,故假设不成立，结论成立。故假设不成立，结论成立。第10页/共26页用反证法证明：圆的两条不是直径用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。的相交弦不能互相平分。已知已知：如图，在：如图，在 O中，弦中，弦AB、CD交于点交于点P，且，且AB、CD不是直径不是直径.求求证：证：弦弦AB、CD不被不被P平分平分.例例 2 2证明：证明：假设弦假设弦AB、CD被被P平分平分，连结连结 AD、BD、BC、AC, DPOBAC因为弦因为弦AB、CD被被P点平分，所以四边形点平分，所以四边形ACBD是平行四边形是平行四边形所以所以CBDCADADBACB,因为因为

8、 ABCD为圆内接四边形为圆内接四边形所以所以180,180CBDCADADBACB因此因此90,90CADACB所以，对角线所以，对角线AB、CD均为直径，均为直径，这与已知条件矛盾，即假设不成立这与已知条件矛盾，即假设不成立所以，弦所以，弦AB、CD不被不被P平分。平分。第11页/共26页用反证法证明：圆的两条不是直径用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。的相交弦不能互相平分。已知已知：如图，在：如图，在 O中，弦中，弦AB、CD交于点交于点P，且，且AB、CD不是直径不是直径.求证求证：弦弦AB、CD不被不被P平分平分.POBADC例例 2 2由于由于P点一定不是圆心点一定

9、不是圆心O，连结，连结OP，根据垂径定理的推论，有根据垂径定理的推论，有所以，弦所以，弦AB、CD不被不被P平分。平分。证明：证明：假设弦假设弦AB、CD被被P平分，平分，即过点即过点P有两条直线与有两条直线与OP都垂直，都垂直，这与垂线性质矛盾，即假设不成立这与垂线性质矛盾，即假设不成立证法二证法二OPAB，OPCD，第12页/共26页演练反馈演练反馈证明：假设以任意三个点为顶点的三角形都是锐角三角形。记四个 点为A、B、C、D。考虑点D在 之内或之外两种情况。ABC(1)如果点D在 之内，根据假设，ABCDABCBDCADBADC,都为锐角三角形所以270BDCADBADC这与一个周角为这

10、与一个周角为360矛盾。矛盾。 第13页/共26页演练反馈演练反馈(1)如果点D在 之外，根据假设，ABCADBCBCDBADADCABC,都是锐角三角形，即360ADCBCDABCBAD这与四边形内角和矛盾。这与四边形内角和矛盾。所以，综上所述，假设不成立，从而题目结论成立所以，综上所述，假设不成立，从而题目结论成立。即这些三角形不可能都为锐角三角形。即这些三角形不可能都为锐角三角形。第14页/共26页总结提炼总结提炼1 1.用反证法证明命题的一般步骤是什么用反证法证明命题的一般步骤是什么? 用反证法在归谬中所导出的矛盾可以是用反证法在归谬中所导出的矛盾可以是与题设矛盾与题设矛盾,与假设矛盾

11、与假设矛盾,与已知定义、公理与已知定义、公理、定理矛盾，自相矛盾等、定理矛盾，自相矛盾等反设反设 归谬归谬 结论结论2.用反证法证题用反证法证题,矛盾的主要类型有哪些矛盾的主要类型有哪些?第15页/共26页/3abababa求证：，且，如果，和平面，已知直线例apb第16页/共26页推理推理 合情推理合情推理 演绎推理演绎推理（归纳、类比）（归纳、类比） （三段论）（三段论）证明证明 直接证明直接证明 间接证明间接证明（分析法、综合法）（分析法、综合法） （反证法）（反证法）数学数学公理化思想公理化思想第17页/共26页？是等差数列吗？为什么）数列（不是等比数列）求证：数列（项和，是它的前的等

12、比数列，是公比为、设212nnnnSSnSqa演练反馈演练反馈第18页/共26页2P26变式提升导学：3类题演练4127P第19页/共26页第20页/共26页例例1 1：用反证法证明：用反证法证明：如果如果ab0ab0，那么，那么a a b b证：假设 a b不成立，则 a b证：假设 a b不成立，则 a b若 a =b，则a = b,若 a =b，则a = b,与已知a b矛盾,与已知a b矛盾,若 a b，则a b,若 a b，则a b矛盾,与已知a b矛盾,故假设不成立，结论 a b成立。故假设不成立，结论 a b成立。第21页/共26页 例例4 4 求证：求证： 是无理数。是无理数。

13、2 2证：假设 2是有理数，证：假设 2是有理数，m m则则存存在在互互质质的的整整数数m m，n n使使得得2 2 = =，n n m m = =2 2n n2 22 2 m m= = 2 2n n2 2m m 是是偶偶数数，从从而而m m必必是是偶偶数数，故故设设m m= =2 2k k（k kN N）22222222从而有4k = 2n ，即n = 2k从而有4k = 2n ，即n = 2k2 2n 也是偶数，n 也是偶数，这与m，n互质矛盾！这与m，n互质矛盾！所以假设不成立，2是有理数成立。所以假设不成立，2是有理数成立。第22页/共26页121212122222112211221:

14、若p p = 2(q +q ),证明:关于x的方程1:若p p = 2(q +q ),证明:关于x的方程x +p x+q = 0与x +p x+q = 0中至少有一x +p x+q = 0与x +p x+q = 0中至少有一个有实根.个有实根.2 22 22 22 2: :若若a a, ,b b, ,c c均均为为实实数数, ,且且a a = = x x - -2 2y y+ +, ,2 2b b = = y y - -2 2z z+ +, ,c c = = z z - -2 2x x+ +, ,3 36 6求求证证: :a a, ,b b, ,c c中中至至少少有有一一个个大大于于0 0.

15、.作业作业第23页/共26页思考？思考？ A A、B B、C C三个人，三个人，A A说说B B撒谎，撒谎，B B说说C C撒谎，撒谎，C C说说A A、B B都撒谎。则都撒谎。则C C必定必定是在撒谎，为什么？是在撒谎，为什么？分析分析:假设假设C没有撒谎没有撒谎, 则则C真真. - - - -那么那么A假且假且B假假;由由A A假假, , 知知B B真真. . 这这与与B B假矛盾假矛盾. .那么那么假设假设C C没有撒谎不成立没有撒谎不成立; ;则则C C必定是在撒谎必定是在撒谎. .第24页/共26页思考题思考题: :甲、乙、丙三箱共有小球甲、乙、丙三箱共有小球384384个个, ,先由甲先由甲箱取出若干放进乙、丙两箱内箱取出若干放进乙、丙