2010届高三数学三角函数的图象与性质ppt课件

1、1.1.掌握三角函数的图象及其变换掌握三角函数的图象及其变换. .2.2.灵敏掌握三角函数的最值、单调性、奇偶性、周期灵敏掌握三角函数的最值、单调性、奇偶性、周期 性性. .3.3.了解三角函数的图象的对称性轴对称、中心对了解三角函数的图象的对称性轴对称、中心对 称称. .4.4.会求三角函数的单调区间，并能利用单调性求三角会求三角函数的单调区间，并能利用单调性求三角 函数的最值函数的最值. . 学案学案10 10 三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质1.(20211.(2021安徽安徽) )知函数知函数 ( 0),y=f(x) ( 0),y=f(x)的图象与直线的图象与直线y=2y=2的

2、两个相邻交点的距的两个相邻交点的距 离等于离等于 , ,那么那么f(x)f(x)的单调递增区间是的单调递增区间是 解析解析 由于函由于函ZkkkDZkkkCZkkkBZkkkA,32,6.,6,3.,1211,125.,125,12.xxxfcossin3)(. )6sin(2cossin3)(xxxxf 数数y=f(x)y=f(x)的图象与的图象与y=2y=2的两个相邻交点的间隔为的两个相邻交点的间隔为 , ,故故 函数函数y=f(x)y=f(x)的周期为的周期为 , ,所以所以 答案答案 C C.2,2即. )(63,322322226222. )62sin(2)(Zkkxkkxkkxkx

3、xf即得令所以2.(20212.(2021全国全国)假设函数假设函数y=3cos(2x+ )y=3cos(2x+ )的图象关的图象关 于点于点 中心对称中心对称, ,那么那么 的最小值为的最小值为 A. B. C. D. A. B. C. D.解析解析 由由y=3cos(2x+ )y=3cos(2x+ )的图象关于点的图象关于点 中心对称中心对称 知知, , )0 ,34()0 ,34(.6|3822|, )(382, )(238,0)38cos(3, 0)34(的最小值为即ZkkZkkf|A A64323.(20213.(2021四川四川) )知函数知函数f(x)=sin(x - )(xR)

4、,f(x)=sin(x - )(xR),下下 面结论错误的选项是面结论错误的选项是 A. A.函数函数f(x)f(x)的最小正周期为的最小正周期为 B. B.函数函数f(x)f(x)在区间在区间 上是增函数上是增函数 C. C.函数函数f(x)f(x)的图象关于直线的图象关于直线x=0 x=0对称对称 D. D.函数函数f(x)f(x)是奇函数是奇函数解析解析 y=sin(x - )=-cos x,T= ,A y=sin(x - )=-cos x,T= ,A正确正确; ; y=cos x y=cos x在在 上是减函数，上是减函数，y=-cos xy=-cos x在在 上上 是增函数，是增函数

5、，B B正确；正确； 由图象知由图象知y=-cos xy=-cos x关于直线关于直线x=0 x=0对称，对称，C C正确正确; ; y=-cos x y=-cos x是偶函数，是偶函数，D D错误错误. . 222, 022, 02, 02D D4.(20214.(2021山东山东) )将函数将函数y=sin 2xy=sin 2x的图象向左平移的图象向左平移 个个 单位，再向上平移单位，再向上平移1 1个单位，所得图象的函数解析式个单位，所得图象的函数解析式 是是 A.y=cos 2x B.y=2cos2x A.y=cos 2x B.y=2cos2x C.y=1+sin(2x+ ) D.y=

6、2sin2x C.y=1+sin(2x+ ) D.y=2sin2x解析解析 将函数将函数y=sin 2xy=sin 2x的图象向左平移的图象向左平移 个单位，得个单位，得 到函数到函数y=sin 2(x+ ),y=sin 2(x+ ),即即y=sin(2x+ )=cos 2xy=sin(2x+ )=cos 2x的图的图 象，再向上平移象，再向上平移1 1个单位，所得图象的函数解析式为个单位，所得图象的函数解析式为 y=1+cos 2x=2cos2x, y=1+cos 2x=2cos2x,应选应选B. B. 44442B B题型一题型一 三角函数图象及其变换三角函数图象及其变换【例【例1 1】知

7、函数】知函数 为偶函数为偶函数, ,且函数且函数y=f(x)y=f(x)图象的两相图象的两相 邻对称轴间的间隔为邻对称轴间的间隔为 1 1求求 的值；的值；2 2将函数将函数y=f(x)y=f(x)的图象向右平移的图象向右平移 个单位后个单位后, ,再将再将 得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4 4倍，纵坐倍，纵坐 标不变，得到函数标不变，得到函数y=g(x)y=g(x)的图象的图象, ,求求g(x)g(x)的单调递减的单调递减 区间区间. . )cos()sin(3)(xxxf)0,0()8(f6.2解解 由于由于f(x)f(x)为偶函数，为偶函数， 所

8、以对所以对xR,f(-x)=f(x)xR,f(-x)=f(x)恒成立，恒成立， 由于由于 0,0,且且xRxR，所以，所以. )6sin(2)cos(21)sin(23 2)cos()sin(3)() 1 (xxxxxxf.0)6cos(sin, )6sin(cos)6cos(sin)6sin(cos)6cos(sin. )6sin()6sin(xxxxxxx整理得即因此.0)6cos(2)(2)将将f(x)f(x)的图象向右平移的图象向右平移 个单位后个单位后, ,得到得到 的图象的图象, ,再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的 4 4倍，纵坐标不变，

9、得到倍，纵坐标不变，得到 的图象的图象. . (kR) (kR) .24cos2)8(.2cos2)(.2,222.cos2)2sin(2)(.26,0fxxfxxxf因此故所以由题意得所以故又因为6)6(xf)64(xfkxkxxxfxg2322. )32cos(2)64(2cos2)64()(当所以即即 (kZ) (kZ)时时,g(x),g(x)单调递减单调递减. .因此因此g(x)g(x)的单调递减区间为的单调递减区间为 (kZ). (kZ).【探求拓展】在用图象变换作图时，提倡先平移后伸【探求拓展】在用图象变换作图时，提倡先平移后伸 缩，但先伸缩后平移也经常出如今考题中缩，但先伸缩后平

10、移也经常出如今考题中, ,因此必需因此必需 熟练掌握，切记：无论怎样变换，都是对变量熟练掌握，切记：无论怎样变换，都是对变量“x“x 而言，即图象变换要看而言，即图象变换要看“变量有多大变化变量有多大变化, ,而不是而不是“角变化多少角变化多少. . 384324kxk384 ,324kk变式训练变式训练1 1 知函数知函数 (1) (1)求函数求函数f(x)f(x)的最小正周期及最值；的最小正周期及最值； (2) (2)令令g(x)=f(x+ ),g(x)=f(x+ ),判别函数判别函数g(x)g(x)的奇偶性的奇偶性, ,并阐明并阐明 理由理由. .解解 f(x) f(x)的最小正周期的最

11、小正周期 当当 时，时，f(x)f(x)获得最小值获得最小值-2-2； 当当 时，时，f(x)f(x)获得最大值获得最大值2. 2. .34sin324cos4sin2)(2xxxxf3. )32sin(22cos32sin)4sin21 (32sin)() 1 (2xxxxxxf.4212T1)32sin(x1)32sin(x(2)(2)由由(1)(1)知，知，f(x)=2sin f(x)=2sin 函数函数g(x)g(x)是偶函数是偶函数. . . )32(x. )(2cos2)2cos(2)(.2cos2)22sin(23)3(21sin2)(. )3()(xgxxxgxxxxgxfxg

12、又题型二题型二 三角函数图象及解析式三角函数图象及解析式【例【例2 2】知函数】知函数 xR xR 的最大值是的最大值是1 1，其图象经过点，其图象经过点 (1) (1)求求f(x)f(x)的解析式；的解析式； (2) (2)知知解解1 1依题意有依题意有A=1,A=1,那么那么 将点将点 代入得代入得, )0 , 0)(sin()(AxAxf. )21,3(M, )sin()(xxf)21,3(M,21)3sin(.cos)2sin()(,2,653,0minxxxf故而.)(,1312)(,53)(, )2, 0(,的值求且fff【探求拓展】确定三角函数【探求拓展】确定三角函数 的解析式的

13、解析式 时时, ,往往利用待定系数法往往利用待定系数法, ,根据条件求得根据条件求得 的值的值, , 进而确定所求三角函数的解析式进而确定所求三角函数的解析式. . .655613554131253sinsincoscos)cos()(,135)1312(1sin,54)53(1sin22f)sin(xAy,A, )2, 0(,1312cos,53cos)2(而由题意有变式训练变式训练2 2 知函数知函数 g(x)=cos xf(sinx) g(x)=cos xf(sinx) +sin xf(cos x), +sin xf(cos x), (1)(1)将函数将函数g(x)g(x)化简成化简成

14、的方式；的方式；(2)(2)求函数求函数g(x)g(x)的值域的值域. .解解 |cos x|=-cos x,|sin x|=-sin x. |cos x|=-cos x,|sin x|=-sin x.,11)(tttf. 1217,(x, 0, 0()sin(ABxA,|sin|cos1sin|cos|sin1cossin)cos1 (sincos)sin1 (coscos1cos1sinsin1sin1cos)() 1 (2222xxxxxxxxxxxxxxxxxxxg,1217,(x)2, 0.2)4sin(22cossinsincos1sincossin1cos)(xxxxxxxxxx

15、g).322)(,32)4sin(222,22)4sin(1).1217,(45sin)4sin(23sin,45sin35sin35,23(23,45(sin.35445,1217)2(，xgxxxx，txx的值域为故即又上为增函数在上为减函数在得由题型三题型三 三角函数图象的对称性三角函数图象的对称性【例【例3 3】(2021(2021重庆重庆) )设函数设函数(1)(1)求求f(x)f(x)的最小正周期的最小正周期; ;(2)(2)假设函数假设函数y=g(x)y=g(x)与与y=f(x)y=f(x)的图象关于直线的图象关于直线x=1x=1对称对称, , 求当求当 时，时，y=g(x)y=

16、g(x)的最大值的最大值. .解解故故f(x)f(x)的最小正周期为的最小正周期为.18cos2)64sin()(2xxxf34, 0 x, )34sin(34cos234sin234cos6sin4cos6cos4sin)() 1 (xxxxxxxf.842T(2)(2)在在y=g(x)y=g(x)的图象上任取一点的图象上任取一点(x,g(x),(x,g(x),它关于它关于x=1x=1的的 对称点为对称点为2-x,g(x).2-x,g(x). 由题设条件由题设条件, ,点点(2-x,g(x)(2-x,g(x)在在y=f(x)y=f(x)的图象上，的图象上， 从而从而g(x)=f(2-x)g(

17、x)=f(2-x).233cos3)3()(34, 0)(,32343,340. )34cos(3)342sin(33)2(4sin3maxgxgxgyxxxxx上的最大值为在区间因此时当【探求拓展】对于正弦函数【探求拓展】对于正弦函数 或余弦函或余弦函 数数 来说，以下性质在解题中起着重来说，以下性质在解题中起着重 要的作用：函数在其对称轴上取到最大最小要的作用：函数在其对称轴上取到最大最小 值，相邻两条对称轴之间的间隔是半个周期；图值，相邻两条对称轴之间的间隔是半个周期；图 象与象与x x轴的交点是其对称中心，相邻两对称中心之间轴的交点是其对称中心，相邻两对称中心之间 的间隔是半个周期的间

18、隔是半个周期. . )sin(xAy)cos(xAy变式训练变式训练3 3 函数函数 的图象为的图象为C C，如下，如下 结论中正确的选项是结论中正确的选项是_(_(写出一切正确结论的编号写出一切正确结论的编号).).图象图象C C关于直线关于直线 对称；对称；图象图象C C关于点关于点 对称；对称；函数函数f(x)f(x)在区间在区间 内是增函数；内是增函数；由由y=3sin 2xy=3sin 2x的图象向右平移的图象向右平移 个单位长度可以得个单位长度可以得 到图象到图象C.C.解析解析 为对称轴；为对称轴； )32sin(3)(xxf1211x)0 ,32()125,12(3,323si

19、n3)3611sin(3)1211(f1211x 为为f fx x的图象的对称中心；的图象的对称中心；由于函数由于函数y=3sin xy=3sin x在在 内单调递增，内单调递增，故函数故函数f(x)f(x)在在 内单调递增；内单调递增； 由由y=3sin 2xy=3sin 2x的图象向右平移的图象向右平移 个单位长度得到函数个单位长度得到函数 的图象，得不到图象的图象，得不到图象C.C.答案答案 , 0sin3)334sin(3)32(f)0 ,32(,232212512xx)2,2()125,12(, )6(2sin3)(xxf3)3(2sin3)(xxf题型四题型四 三角函数图象与性质的

20、综合运用三角函数图象与性质的综合运用【例【例4 4】知函数】知函数 试求：试求：(1)(1)函数函数f(x)f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程的最小正周期和图象的对称轴方程; ;(2)(2)函数函数f(x)f(x)在区间在区间 上的值域上的值域. .解解1 1 = cos 2x+ sin 2x+(sin x-cos x)(sin x+cos x) = cos 2x+ sin 2x+(sin x-cos x)(sin x+cos x) = cos 2x+ sin 2x+sin2 x-cos2 x = cos 2x+ sin 2x+sin2 x-cos2 x = cos 2x+ sin 2x-

21、cos 2x= = cos 2x+ sin 2x-cos 2x=. )4sin()4sin(2)32cos()(xxxxf2,12)4)(4sin(2)32cos()(xxxxf212321232123. )62sin(x (kZ) (kZ) (kZ) (kZ) 函数图象的对称轴方程为函数图象的对称轴方程为 (kZ). (kZ).32,262.22kxkxT得由周期32kx,21)2(23)12(, 1)(,3,2,3,3,12)62sin()(. 65,362,2,12)2(ffxfxxxfxx又取得最大值时当上单调递减在区间上单调递增在区间【探求拓展】求三角函数的值域通常利用三角函数的【探

22、求拓展】求三角函数的值域通常利用三角函数的 单调性求解单调性求解; ;对形如对形如y=asin x+bcos xy=asin x+bcos x的三角函数的三角函数, ,可可 经过引入辅助角化为经过引入辅助角化为 的方式，的方式， 那么那么 (kZ); (kZ); (kZ) (kZ)，也可，也可 借助三角函数的单调性求解借助三角函数的单调性求解. . . 1 ,232,12)(.23)(,12上的值域为在函数取得最小值时当xfxfx)sin(22xbaykxbay22,22max此时kxbay22,22min此时变式训练变式训练4 4 知知 (aR). (aR). (1) (1)假设假设xR,x

23、R,求求f(x)f(x)的单调递增区间；的单调递增区间； (2) (2)假设假设x0, x0, 时时,f(x),f(x)的最大值为的最大值为4,4,务虚数务虚数a a的值的值. .解解 (kZ) (kZ) f(x) f(x)的单调递增区间是的单调递增区间是 (kZ) (kZ) 当当x= x= 时，时，f(x)f(x)获得最大值获得最大值a+3.a+3. 那么由条件有那么由条件有a+3=4,a+3=4,得得a=1. a=1. 2axxxf2sin3cos2)(21)62sin(22sin312cos2sin3cos2)(2axaxxaxxxf因63,226222) 1 (kxkkxk得令6,3k

24、k,67626,2, 0)2(xx若6【考题再现】【考题再现】(2021(2021陕西陕西) )知函数知函数 xR( xR(其中其中 A0, ) A0, )的周期为的周期为 , ,且图象上一个最低且图象上一个最低 点为点为 (1) (1)求求f(x)f(x)的解析式；的解析式； (2) (2)当当x x 时，求时，求f(x)f(x)的最值的最值. .【解题示范】【解题示范】1 1由最低点为由最低点为 得得A=2.A=2. 2 2分分 由由 3 3分分),sin()(xAxf20 , 0. )2,32(M12,0)2,32(M.222,TT得 (kZ) 5分分 8分分 当当 即即x=0时时,f(

25、x)获得最小值获得最小值1； 10分分 当当 即即 时，时，f(x)获得最大值获得最大值 12分分 . )62sin(2)(,6),2, 0(,6112,2234.1)34sin(,2)34sin(2)2,32(xxfkkM又即即在图象上得由点. 3,662, 12, 0)2(xx,662x,362x12x.31.1.在解答三角函数在解答三角函数y=sin xy=sin x变换为变换为 的图象时的图象时, ,平移变换一定要弄清楚平移的方向和长度平移变换一定要弄清楚平移的方向和长度 单位单位, ,向左向左( (右右) )平移平移 个单位个单位, ,横向拉长横向拉长( (紧缩紧缩) )为原为原 来

26、的来的 倍倍, ,再纵向拉伸再纵向拉伸( (紧缩紧缩) )为原来的为原来的|A|A|倍倍, ,向上向上 ( (下下) )平移平移|m|m|个单位个单位. .牢记牢记“左加右减左加右减, ,上加下减上加下减. .2.2.三角函数三角函数 的图象关于直线的图象关于直线x=xkx=xk对称对称, , 其中其中 (kZ); (kZ);关于点关于点(xi,0)(xi,0)对称对称, ,其中其中 (kZ). (kZ).3.3.在解答三角函数的最值、单调性、奇偶性、周期性在解答三角函数的最值、单调性、奇偶性、周期性mxAy)sin()sin(xAy|1|)2(1kxk)(1kxi的问题时的问题时, ,通常是

27、将三角函数化为只含一个函数称号通常是将三角函数化为只含一个函数称号且角度独一且角度独一, ,最高次数为一次的方式最高次数为一次的方式, ,即即 假设给定区间假设给定区间xa,bxa,b上上, ,那么最大那么最大( (小小) )值、单调区间随之确定值、单调区间随之确定; ;假设定义域关于假设定义域关于原点对称原点对称, ,且且 是奇是奇函数函数; ;假设定义域关于原点对称假设定义域关于原点对称, ,且且 是偶函数是偶函数; ;其周期为其周期为xAysin(, )2 , 0, 0, 0,)Am 其中mxAymk)sin(, 0,则则, 0,2mkmxAy)sin(.2T一、选择题一、选择题1.(2

28、0211.(2021湖南湖南) )将函数将函数y=sin xy=sin x的图象向左平移的图象向左平移 个单位后，得到函数个单位后，得到函数 的图象的图象, , 那么那么 等于等于 A. B. C. D. A. B. C. D.解析解析 由图象平移的性质易得，由图象平移的性质易得，)20()6sin(xy66116765.611D D2.2.20212021天津知函数天津知函数 (xR, (xR, 的最小正周期为的最小正周期为 , ,为了得到函数为了得到函数 的图象的图象, ,只需将只需将y=f(x)y=f(x)的图象的图象 A. A.向左平移向左平移 个单位长度个单位长度 B. B.向右平移

29、向右平移 个单位长度个单位长度 C. C.向左平移向左平移 个单位长度个单位长度 D. D.向右平移向右平移 个单位长度个单位长度解析解析 由题意可知，由题意可知，)4sin()(xxf)0 xxgcos)(8844,2,2. 4)8(2sin)22sin(2cos)(),42sin()(xxxxgxxf而即A A3.(20213.(2021浙江浙江) )知知a a是实数是实数, ,那么函数那么函数f(x)=1+asin axf(x)=1+asin ax 的图象不能够是的图象不能够是 解析解析 由于三角函数的周期为由于三角函数的周期为|a|a|1, 1, 而而D D不符合要求不符合要求, ,它

30、的振幅大于它的振幅大于1,1,但周期反而大于了但周期反而大于了,|2aT,2T.2D D4.4.将函数将函数 的图象的图象F F按向量按向量 平移得到平移得到 图象图象F,F,假设假设FF的一条对称轴是直线的一条对称轴是直线 的一个的一个 能够取值是能够取值是 A. B. C. D. A. B. C. D. 解析解析 将函数将函数 的图象按向量的图象按向量 平移平移 得到的图象的解析式为得到的图象的解析式为 由由 是一条对称轴得是一条对称轴得 (kZ). (kZ). 当当k=-1k=-1时，时，)sin(3xy)3 ,3(则,4x)sin(3xy)3 ,3(.3)3sin(3xy4x234k.

31、12512512512111211A A5.5.知函数知函数 在区间在区间 上的上的 最小值是最小值是-2-2，那么，那么 的最小值等于的最小值等于 A. B. C.2 D.3 A. B. C.2 D.3解析解析 函数函数 在区间在区间 上的上的 最小值是最小值是-2-2，那么，那么 的取值范围是的取值范围是 的最小值等于的最小值等于)0(sin2)(xxf4,33223)0(sin2)(xxf4,3x,4,3,23423或.23B B6.6.知函数知函数f(x)=asin x-bcos x (af(x)=asin x-bcos x (a、b b为常数，为常数，a0,a0, xR xR在在 处

32、获得最小值，那么函数处获得最小值，那么函数 是是 A. A.偶函数且它的图象关于点偶函数且它的图象关于点 对称对称 B. B.偶函数且它的图象关于点偶函数且它的图象关于点 对称对称 C. C.奇函数且它的图象关于点奇函数且它的图象关于点 对称对称 D. D.奇函数且它的图象关于点奇函数且它的图象关于点 对称对称解析解析 函数函数f(x)=asin x-bcos x(af(x)=asin x-bcos x(a、b b为常数为常数,a0,a0, xR),f(x)= xR),f(x)= 假设函数假设函数 在在 处获得最小值，处获得最小值， 4x)43(xfy)0 ,()0 ,23()0 ,23()0

33、 ,(,2)sin(22的周期为xba4x.)0 ,()43(,sin)sin()4343sin()43(),43sin()432sin()(,432,224,)4sin(22222222222222对称于点是奇函数且它的图象关所以xfyxbaxbaxbaxfxbakxbaxfkkbaba二、填空题二、填空题7.(20217.(2021江苏江苏) )函数函数 在闭区间在闭区间 上的图象如下图上的图象如下图, ,那么那么解析解析 由图象可知，由图象可知，,)(sin(为常数AxAy)0, 0A0 ,._,32,23TT即. 3,322所以则T3 38.8.知知x,yx,y是实数且满足是实数且满足

34、sin xcos y=1,sin xcos y=1,那么那么 cos(x+y)=_. cos(x+y)=_.解析解析 sin xcos y=1, sin xcos y=1, sin x=cos y=1 sin x=cos y=1或或sin x=cos y=-1,sin x=cos y=-1, (kZ), (kZ), (kZ), (kZ),于是于是cos(x+y)=0. cos(x+y)=0. kykx,2即22kyx0 09.9.知函数知函数 的最大值为的最大值为3,f(x)3,f(x)的图象在的图象在y y轴上的截距为轴上的截距为2,2,且相邻且相邻 两对称轴间的间隔为两对称轴间的间隔为1 1，那么，那么f(1)+f(2)+f(2 010)f(1)+f(2)+f(2 010) =_. =_.解析解析 从而从而f(1)+f(2)+f(2 010)=2f(1)+f(2)+f(2 010)=22 010=4 020. 2 010=4 020. )22, 0, 0( 1)(cos)(2AxAxf,sin2,4,22, 2)0(,2, 222, 2, 3122,12)(2cos2)(xyfAAAAxAxf所以则因则又所以由题意得因为4020402010.10.知知 且且f(x)f(x)在区在区 间间 上有最小值，无最大值，那么上有最小值，无最大值，那么解析解析 如下