数字信号处理及应用 王华奎 部分答案

1、正弦序列的周期性正弦序列的周期性若若 ，则，则按周期序列的定义，该正弦序列为周期序列。按周期序列的定义，该正弦序列为周期序列。0( )sin()x nAnwf=+0000()sin ()sin2x nNANnANnNkk若 ， 为整数，则wfwwfwp+=+=+=( )()x nx nN=+要求周期满足要求周期满足需分三种情况讨论。需分三种情况讨论。02 kNpw=02Nkpw=1 1、当、当 为整数时，为整数时，k k1 1，正弦序，正弦序列是周期序列，且列是周期序列，且N N 。02p w2 2、 是一个有理数，设是一个有理数，设 (P(P、Q Q互为素数互为素数) )取取k kQ Q，那

2、么，那么N NP,P,正弦序正弦序列是周期序列，且列是周期序列，且N NP P。3 3、 是无理数，正弦序列不是周期序列。是无理数，正弦序列不是周期序列。p w02p w02p w0202P Qp w=( )ax t ( )ax t()G j1( )aytT1 44()04G j ，8s ，1( )cos(2)axtt，2( )cos(5)axtt12( )( )aaytyt、2sh 1( )ayt2( )ayt3(2) ( )sin(),44x nAnA是常数；p=+（2 2） 是无理数，因此是无理数，因此0032843PQ，ppww=非周期序列。非周期序列。( )x n是是0nn1121(

3、)()x nx n1121()()y ny n0nn( )0(0)( )nh nnh nM ，( )h n(1)( )n000(2)()00nnnn，或(3)(3)un(4) 3( )nu n（2 2）当）当 时，若时，若 ， 所以系统是因果的。所以系统是因果的。00n 0n 0( )()0h nnn解：解：（1 1）因为）因为 时，时， ，所以，所以 系统是因果的。而系统是因果的。而所以所以系统是稳定的。系统是稳定的。0n ( )( )0h nn( )1nh n 00n 0n 0( )()0h nnn当当 时，若时，若 ， ，所，所以系统是非因果的。以系统是非因果的。而而所以系统是稳定的。所

4、以系统是稳定的。( )1nh n （4 4）当）当 时，时， ，所以系统所以系统是因果的。而是因果的。而 0n ( )3( )0nh nu n（3 3）当）当 时，时， ，所以系统，所以系统是非因果的。而是非因果的。而 0n ( )(3)0h nun3( )1 1nh n 所以系统是非稳定的。所以系统是非稳定的。01( )33nh n 所以系统是非稳定的。所以系统是非稳定的。1.7 判断下列系统的判断下列系统的: :(1) ( )( ) ( )T x ng n x n( )(3) ( )x nT x ne ( )( ) ( )T x ng n x n12121212( )( )( )( )(

5、)( )( )( )( )( )( )T ax nbx ng n ax nbx ng n ax ng n bx naT x nbT x n ()( ) ()()() ()T x nmg n x nmy nmg nm x nm， ()()T x nmy nm，所以系统不是移不变的。，所以系统不是移不变的。( ) ( )x nT x ne12( )( )12( )( )axnbxnT ax nbxne12( )( )12( )( )axnbxneeT ax nT bx n22111222( )( )( )( )( )( )y nT x nx ny nT x nx n，()(),x n mT x n

6、me()()x n my nme()()T x nmy nm所以系统是移不变的。所以系统是移不变的。2 ( )( )T x nxn221212( )( )( )( )ay nby na x nb x n221212( )( )2( )( )ax nbx nabax n x n21212( )( )( )( )T ax nbx nax nbx n1212( )( )( )( )T ax nbx nay nby n2 ()()()()T x nmx nmy nmx nm2，所以系统是移不变的。所以系统是移不变的。1.12 用定义求序列的傅立叶变换用定义求序列的傅立叶变换0(1)( )()x nnn

7、52223456(2)()jj nnjjjjjjjjX eeeeeeeeee+1+解：解：0(1)()( )j njj nnX ex n ee(2)( )(2)(6)x nu nu n解：解：2 (2)(1)5 ( )(1)(2)nnnnn()jX e0(1)()jX e2(2)()jX ed00(1)()( )( )2 1 5 1 16jjnnnX ex n ex n 注意应用序列傅立叶变换的定义、性质注意应用序列傅立叶变换的定义、性质及帕塞瓦尔定理。及帕塞瓦尔定理。帕塞瓦尔定理，令帕塞瓦尔定理，令 ，则，则所以所以1.19 解：对差分方程两边同时进行解：对差分方程两边同时进行Z变换得变换得

8、 所以，系统函数为所以，系统函数为221()( )2jnX edx n22()2( )64jnX edx n( )( )x ny n1( )0.6( )( )Y zz Y zX z1( )1( )( )1 0.6Y zH zX zz1()( )1 0.6jjjz eH eH ze(1) 2( )(2)(1)(3) 2()nnnu na unun ( )( )nnX zx n z101( )2( )21 0.5nnnnnnX zu n zzz( )nnx n zM n( )x nz10.51z0.5z 0.5z 0z ( )(1)nnnX za unz 11nnnnnnaza z 1azaz 1

9、az 1za11( )1zna u naz 1()()Z xnX z112( )1 2nu nz12()1 2nunz12z 1.27 求序列的求序列的Z变换变换解解：由题意知，：由题意知，（1 1）当当 时，时， , ,查查P35P35表表1.4.11.4.1知知( )01nx naa，11( )1X zzaaz，（2）当）当 时，时， 由由Z变换变换0n ( )( )nx na u n0n ( )()nx na un的时间反转性质得的时间反转性质得1( )1X zzaaz，1.32 研究一个输入为研究一个输入为 和输出为和输出为 的时域的时域LSILSI系统，已知它满足系统，已知它满足并已

10、知系统是稳定的，试求单位脉冲响应。并已知系统是稳定的，试求单位脉冲响应。( )x n( )y n10(1)( )(1)( )3y ny ny nx n( )h n110( )( )( )( )3z Y zY zzY zX z则则111( )1( )101( )(3)()3311(1 3)(1)3Y zzH zX zzzzzzz13z ，213z ( )H z119188( )1(1 3)(1)3H zzz所以极点为所以极点为将将 展开成部分分式有展开成部分分式有133z91 1( )3(1)( )88 3nnh nunu n ）( )h n要使系统稳定，收敛域必须包含单位圆，则要使系统稳定，收

11、敛域必须包含单位圆，则( )()rx nnrN210( )( )NjknNnX kx n e221201( )1jk NNNjknNjknNeX kee10krNrkrN， 为整数2.7求序列的求序列的N点点DFT，其中，其中 ，序列为，序列为01nN(1)( )1x n 00(3)( )()0 x nnnnN210( )( )01NjknNnX kx n ekN22110022( )( )101NNjknjknNNnnjk NNjkNX kx n eeee1(1)1naqsq等比级数等比级数求和公式求和公式02211000( )( )()NNjknjknNNnnn kNX kx n enn

12、eW00001/2shTFTFffN分析：记录长度 和频域分辨力 的关系为，抽样定理 ，最少抽样点数 满足：0002shTffNTFF解解 求求T T0 000001/10.1100.1TFFTss因为，10Hz，所以即最小记录长度为。求求T000.1 100.222 2500hT FTmsf求最少抽样点数求最少抽样点数N N00022 250050010shTffNTFF而抽样点数必须为而抽样点数必须为2 2的整数幂，所以取的整数幂，所以取N=512N=512点点. .002hTfTF2N(1)N N 2logNN2log2NN62110 10102410.5Ts622 10(1)2.10T

13、N Ns复加所需时间复加所需时间共需时间共需时间1212.15TTTs61210 10log0.512NTNs复加所需时间复加所需时间复乘所需时间复乘所需时间6222 10log0.20TNNs共需时间共需时间123.64TTTs1Z0.5)(nx)(ny-0.751Z0.25( )x n1Z)(nyZ-1-0.3750.25( )x n0.5)(nx)(ny-0.751Z1Z1112( )1( )( )(1 0.5)(1 0.75)11 0.250.375Y zH zX zzzzz( )0.5 (1)( )x nx nx n( )( )0.75 (1)y nx ny n或直接利用两或直接利用

14、两个基本二阶节个基本二阶节级联级联得到传递得到传递函数函数222200 ，( )( )0.25 (1)0.25 (1)0.375 (2)y nx nx ny ny n1121 0.25( )1 0.250.375zH zzz0.25( )x n1Z)(nyZ-1-0.3750.25( )( )0.25 (1)0.375 (2)y nx ny ny n12123520.5( )1 33zzH zzzz ( )H z0z1,2izi，12123520.5( )1 ( 33)zzH zzzz 01( )( )( )1MmmmNnnnb zY zH zX za z123012331520.5aaabb

15、b ，- ，-)(ny) 1( nx)(nxz1z1)2( nx05b 12b 20.5b 13a 23a ) 1( ny)2( nyz1z131a (3)y nz1)(nyz1z1b0b1b2)(nx1a2az13a1121125 11 1.4142( )1 0.51 1.27280.81zzzH zzzz121212121121121( )15 11 1.41421 0.51 1.27280.81kkkkkzzH zAzzzzzzzz11211222112112225101.414210.501.27280.81A ， ， ，22 A11 1Z1Z1112 1222 nx)(nyZ-151

16、Z1Z nx)(nyZ-15 nx1Z1Z)(nyZ-15 nx1Z1Z)(nyZ-11Z51Z1Z nx)(nyZ-11Z1111111( )(1)(1 8)(1 3)(1)(1)38H zzzzzz11111121211234511( )(1)(1 3)(1 8)(1)(1)38106511(1)3813932776591124242424H zzzzzzzzzzzzzzzz 1Z1Z1Zh(0)h(1)h(2)h(N-2)h(N-1)(nx)(ny9124)(ny1Z1Z1Z1)(nx1Z1Z3272476524139241( )( )2 (2)5 (4)6 (6)h nnnnn2462

17、22( )1 256(1)(1 3)(12)H zzzzzzz 构。构。解：由题意知解：由题意知12341( )(1 353)2H zzzzz13531( )( )(1)(2)(3)(4)22222h nnnnnn( )(1)h nh Nn 12nN(0)(4)0.5(1)(3)1.5(2)2.5hhhhh，( )h n122nN5N N1z1z1z1z(1)1.5h1()(2)2.52Nhh(0)0.5h( )x n( )y n设有一模拟滤波器设有一模拟滤波器抽样周期抽样周期 ，试用脉冲响应不变法和双，试用脉冲响应不变法和双线性变换法将它转变为数字系统线性变换法将它转变为数字系统 。( )31 (3)aHsss0.5Ts( )H z1111zscz取常数取常数 ，所以，所以20.5cTT，11141zsz111124(1)4(1)11