高数A习题函数项级数PPT学习教案

1、会计学1高数高数A习题函数项级数习题函数项级数二、二、 作业讲析作业讲析三、三、 典型例题讲解典型例题讲解四、四、 练习题练习题一、一、 内容总结内容总结第1页/共25页)(0 xunn 求和)(xS展开(在收敛域内进行)(0 xunn基本问题基本问题：判别敛散；求收敛域；求和函数；级数展开.为傅立叶级数.xnbxnaxunnnsincos)(当为傅氏系数) 时,时为数项级数;0 xx 当nnnxaxu)(当时为幂级数;nnba ,(一、内容总结一、内容总结. 1第2页/共25页2、求幂级数收敛域的方法、求幂级数收敛域的方法 标准形式幂级数: 先求收敛半径 R , 再讨论Rx 非标准形式幂级数

2、通过换元转化为标准形式直接用比值法或根值法处的敛散性 .第3页/共25页 求部分和式极限3、幂级数和函数的求、幂级数和函数的求法法求和 映射变换法 逐项求导或求积分nnnxa0)(*xS对和式积分或求导)(xS难直接求和: 直接变换,间接求和: 转化成幂级数求和, 再代值求部分和等 初等变换法: 分解、套用公式（在收敛区间内） 数项级数 求和nnnxa0第4页/共25页4、函数的幂级数和傅里叶级数展开法、函数的幂级数和傅里叶级数展开法 直接展开法 间接展开法 利用已知展式的函数及幂级数性质 利用泰勒公式（1）. 函数的幂级数展开法（2）. 函数的傅里叶级数展开法系数公式及计算技巧; 收敛定理;

3、 延拓方法第5页/共25页二、作业讲析二、作业讲析 略略第6页/共25页 1 解解:,)11 (limlim) 1 (enannnnn当ex1因此级数在端点发散 ,enn1)11 (nneu nn)11 ( nn)11 ( , 01e. )1,1(ee时,;)11 () 1 (12nnnxn,1eR exe11即时原级数收敛 .故收敛区间为例例1. 求下列级数的敛散区间:.2)2(21nnnxn三、典型例题讲解三、典型例题讲解第7页/共25页nnnxn212)2()()(lim1xuxunnn因)1(2121nnxn22xnnxn22,122x当时，即22x,2时当x故收敛区间为. )2,2(

4、级数收敛;一般项nun不趋于0,nlim级数发散; 第8页/共25页例例2.) 1(31的收敛半径求幂级数nnnnxn解解: 分别考虑偶次幂与奇次幂组成的级数,lim1nnaannnnalim极限不存在1)(kkx,24212kkkxk1)(kkx12112122kkkxk)()(1limxxnnn,)4(2x411R)()(1limxxnnn,)2(2x212R 原级数 =1)(kkx1)(kkx 其收敛半径4121,minRRR注意: 第9页/共25页例例3. 求幂级数求幂级数.!) 12(1) 1(120的和函数nnnxnn法法1 易求出级数的收敛域为),(022)(! ) 12(1)

5、1(21nnnxn原式120! ) 12() 1(21nnnxnx)sin(21xx,cos2sin21xxx ),(x第10页/共25页法法2先求出收敛区间, )(xS则xnnnxxxnnxxS01200d! ) 12(1) 1(d)(220! ) 12() 1(nnnxn21120! ) 12() 1(2nnnxnxxxsin2,cos2sin21)(xxxxS, ),(设和函数为),(x第11页/共25页.) 1()2(1nnnnx;212) 1() 1(21nnnxn解解: (1) )(21121nnnx原式) 120(2x12)2(1nnxx222211xxx22xx222)2(2x

6、x显然 x = 0 时上式也正确,. )2,2(x故和函数为而在2xx0,)2(2)(222xxxS例例4. 求下列幂级数的和函数：级数发散,第12页/共25页(2)nnxnn1111原式xnntt011dxnnttx01d1ttxd110tttxxd1100 x)1ln(x)1(ln11xx)1(ln)11(1xx) 10( xttnnxd110ttxnnxd110第13页/共25页1) 1(nnnnx, )1(ln)11(1xx显然 x = 0 时, 和为 0 ; 根据和函数的连续性 , 有)(xS110, )1(ln)11(1xxxx及0 0 x，1 1x，10 xx = 1 时, 级数

7、也收敛 . 即得第14页/共25页00! )12() 1(! )2() 1(21nnnnnn0! ) 12(1) 1(nnnn解解: 原式=0! )12() 1(nnn1cos21的和 .1) 12(n211sin例例5. 求级数第15页/共25页例例6. 将函数2)2(1x展开成 x 的幂级数.解解:xx21)2(1221121x0221nnnx,22111nnnxn)2,2(x第16页/共25页例例7. 设设)(xf0,arctan12xxxx0,1x, 将 f (x)展开成x 的幂级数 ,1241) 1(nnn的和. ( 01考研 )解解:211x,) 1(02nnnx)1 , 1(xx

8、arctanxxx02d11,12) 1(012nnnxn1 , 1x)(xf1212) 1(1nnnxn02212) 1(nnnxn于是并求级数第17页/共25页02212) 1(nnnxn12112) 1(nnnxn)(xf1212) 1(1nnnxn1212) 1(1nnnxn12121121) 1(1nnnxnn,41) 1(21122nnnxn1 , 1x1241) 1(nnn 1) 1 (21f214第18页/共25页xyo),上的表达式为 ),0,)0,0)(xexxfx将其展为傅氏级数 .na1xnxexdcos021)cossin(1nnxnxnex0),2, 1,0(11)

9、 1(12nnen例例8. 设 f (x)是周期为2的函数, 它在解答提示解答提示第19页/共25页xnxebxndsin1021)cos(sin1nnxnnxex0),2, 1(1) 1(12nnenn21)(exf11n)sin(cosnxnnx 211) 1(nen),2,1,0,(kkx思考思考: 如何利用本题结果求级数?11) 1(02的和nnne根据傅氏级数收敛定理 , 当 x = 0 时, 有21e11n211) 1(nen2)0()0(ff21提示提示:第20页/共25页四、练习题四、练习题1、选择题111) 1(3 ).1 (nnnnnnxnaxa，则的收敛半径为设幂级数)2

10、, 4()(4, 2)()3, 3()()4, 2()(DCBA)(1,2) 1( ).2(1处则此级数在处收敛在设xxxannn收敛性不确定发散绝对收敛条件收敛)()()()(DCBA)(的收敛区间为第21页/共25页2. 求下列级数的收敛域.;212)2(;12) 1() 1 (121112nnnnnnxnnx.)5()4();21() 3(11nnnnnnnxxx3. 求下列幂级数的和函数.;12) 1() 1 (1121nnnnx.2) 1(,2) 1()2(11111nnnnnnnxnn并求第22页/共25页4. 把下列函数展成关于 x 的幂级数.d)1ln()()2(;)21)(1 (3)() 1 (0 xxxxfxxxfx5. 把下列函数在指定点处展成的幂级数.; 4,)21)(1 (3)() 1 (0 xxxxf在. 1,lg)()2(0 xxxf在上展开在2 , 0 . 621 ,210 ,)(xxxxxf.211nSn为余弦级数，并求第23页/共25页答案：答案：1. 选择题：A B).6, 4 )4();1 ,21()21, 1() 3();2,2()2(;1, 1) 1 (. 2;1, 1,arc